高三数学复习专题——化归转化思想人教版

1、化归和类比化归转化思想是指把待解决的问题通过转化归结为已有知识范围内可解的问题的一种思维方式，化归在数学上是应用最为广泛的一种思维方式，解数学题转化，可以说数学解题就是转化问题，每一个数学问题无不是在不断地转化中获得解决的，既使是数形结合思想、函数方程思想也都是化归思想的表现形式。化归一般总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，不熟悉转化为熟悉。如：对于的一切值，是使恒成立的_条件。把转化为，即当时不等式成立，这仅仅只是恒成立的特殊情况，显然答案为必要不充分条件。化归包含三个基本要素： 化归对象，即把什么东西进行化归； 化归目标，即化归到何处去； 化归途径，即如何进行化归。所谓类

2、比，是指根据两个对象之间存在的某种关系，从一种对象具有的属性类比到另一个对象也有类似的属性的思维方式。因此求解类比问题的关键在于确定类比物，建立类比项。然而不能把类比仅停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上，还需要对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析。比如2001年的高考题：小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）（A）26 （B）24（C）20 （D）19这个问题比较陌生，如果把A看成是自来水总厂，B看成是某一用户的水龙

3、头，那么从A分4路到达B，每一路管线中，水流量是由最细的管线所决定的，即是由最大流量的最小值决定的，否则会使水管暴烈的，自然的本题中的最大信息量为4条网路中网线单位时间内可以通过的最大信息量的最小值之和。 化归和类比都是把陌生的问题转化为熟悉的问题，用已有的知识去探求未知知识领域的思维方式与策略。近年来，在高考试题中频频出现陌生的题目，往往要通过化归和类比的方法来解决。例1、一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积是_分析：把正四面体补全为正方体，为正方体的顶点，那么正方体的边长为1，再把正方体内接于球（如图1），这样把正四面体内接于球问题转化为正方体内接于球问题，又球

4、的直径正好是正方体的体对角线长，所以此球的表面积是。 图1 图2小结与反思：球的切接问题往往需要较高的空间想象能力，这就要把较难的问题化归为我们所常见的某个数学模型。类似的，一个四面体的相对的棱长相等，分别为，且四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积是多少？设四面体，考虑到长方体的相对面中互相异面的两条对角线长相等，所以把四面体补全为长方体，为长方体的顶点，再把长方体内接于球（如图2），这样把四面体内接于球问题转化为长方体内接于球问题，球的直径正好是长方体的体对角线长。设长方体的棱长为，那么，得，所以球的半径，表面积。再如三棱锥的三条侧棱两两垂直，求外接球的表面积，我们同样可以补全为长芳体来解

5、决。例2、已知锐角中，三个内角，两向量，若与是共线向量。（1）求的大小；（2）求函数取最大值时，的大小。解：（1），化简得，得，是锐角三角形，。（2）所以当，。小结与反思：在解决三角函数的问题时，一般都要对三角函数式进行化简，这时要注意化归的目标，往往把三角函数式转化为的形式，从而可以解决有关最值，奇偶性、对称性、单调性等函数性质的问题。例3、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，异面直线所成的角，公垂线为，（1）求证：面（2）当，求四棱锥的体积。解：是异面直线的公垂线， ，所以面（2） 平面又所成的角，则所以小结与反思：有时几何体的体积难以直接求得时，我们往往把几何体分割成几个三棱锥，由于三棱

6、锥的每一个面都可以当成底面，每个顶点都可以作为顶点，所以通常可以变换其顶点，使之底面积和高都比较容易求得。当然我们可以利用等底同高体积相等进行转化，等底同高转化模型有二（如图），平面；的中点在平面。都可以得到另解（2）总之，棱锥的体积可以分割为若干个三棱锥或补全为棱柱来求解。例4、已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点的位置无关的定值，试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。解：类似的性质为：若是双曲线上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点的位置无关的定

7、值。证明：设点的坐标为、，则因为点在已知双曲线上，所以，同理.则（定值）.小结与反思：椭圆和双曲线从标准方程上看，只是和的区别，所以在许多类似的结论中，我们只须将和的互换就可以了，本题在椭圆中的定值为。我们还可以将结论进一步统一为。例5、从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中任意取出个球（），共有种取法，在这取法中，可以分成两类，一类是取出的个球全是白球，共有种取法；另一类是取出的个球有个白球和1个黑球，共有种取法。显然，即有等式成立，试根据上述思想化简。分析：类似的从装有个球（其中个白球，个黑球）的口袋中任意取出个球，共有种取法，在这取法中，可以分成类，第1类是取出的个球全是白球，共有种

8、取法；第2类是取出的个球有个白球和1个黑球，共有种取法； 依次类推；第类是取出的个球有个白球和个黑球，共有种取法。那么，。例6、如图是一个方格迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的两处，现以每分钟一格的速度同时出发，在每个路口只能向东、西、南、北四个方向之一行走。若甲向东、向西行走的概率均为，向南、向北行走的概率分别为和，乙向东、南、西、北四个方向行走的概率均为（1）求和的值；（2）设至少经过分钟，甲、乙两人能首次相遇，试确定的值，并求分钟时，甲乙两人相遇的概率。解：（1），。 （2）至少经过2分钟，甲、乙两人能首次相遇，如图，可以在三处相遇。设在三处相遇的概率分别为，则 ，即所求的概率为。.例7、已

9、知数列（为正整数）的首项为，公比为的等比数列. （1）求和：；（2）由（1）的结果，归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明。分析：本题由（1）的结论，通过大胆猜测，归纳猜想出一般性的结论：解：（1）=，.（2）归纳概括的结论为：若数列是首项为，公比为的等比数列，则.证明：小结与反思：类比往往是猜想的前提，猜想又往往是发现的前兆。本题通过抓住问题的实质，探讨具有共同的属性，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。主要考查探索能力、类比归纳能力与论证能力。例8、平行六面体的底面是边长为6的正方形，为的中点，在下底面上的射影为，且满足（1）求证：平面平面；（2）若与底面所成的角大小为，求与的距

10、离。证明：（1）为的中点，又是公共点，共线，平面，平面，平面平面（2）如图，建立空间直角坐标系，轴与的交点为，则，由三垂线定理知，就是所要求的距离，设，由（1）知，得，平面的一个法向量，得，本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉本题考查由平面几何的勾股定理到空间的拓展推广，例9、已知点，直线，点是上的动点，若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点。（1）求点的轨迹的方程；（2）设与轴交于，直线与曲线交于两点，求证：向量与向量的夹角相等。解：（1）如图，由条件得，即动点到定直线与到定点的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点为准线的抛物线。故点的轨迹的方

11、程为。（2）如图，当轴时，显然由抛物线的对称性得；当不垂直轴时，设，直线的斜率分别为联立方程，得得，而，综上所述，向量与向量的夹角相等。另解（2）如图，作于，于那么，又，即向量与向量的夹角相等。小结与反思：在解决圆锥曲线中有关过焦点直线问题时，我们往往把到焦点的距离转化为到准线的距离，问题会变得容易掌握，利用这一点，我们不难将结论推广，“在圆锥曲线中，过焦点的直线交曲线于两点，为相应准线与焦点所在的对称轴的交点，那么。”证明只要将“”，改为“，”就可以了。例10、已知函数.（1）求的值，使点到直线的距离最短为；（2）若不等式在恒成立，求的取值范围。解：（1）点到直线的距离。当时，舍去；当时，解

12、出。 另解：点到直线的距离，而，也就是当时，不等式恰好恒成立，即不等式的解集为，那么，得 （2），即，即， 解之，得 ， 。例11、如图所示，在等边三角形中，为中心，过的直线交于，交于，求的最大值和最小值。解：由于为正三角形的中心，所以，设，则。在中，由正弦定理，得：，得，在中，由正弦定理，得，所以，故当时，取得最大值；当或时，此时取得最小值。小结与反思：将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂，要求必须做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果。本题将利用正弦定理转化为的三角函数式，注意的隐含范围。例12、已知定义在区间上，且，又，是其图象上的任意两个点。 （1）求证：

13、函数的图象是关于点成中心对称图形； （2）设直线的斜率为，求证：； （3）求证：解：（1），从而设是图象上的任意一点，则，那么关于的对称点为故点也在的图象上，进而由点的任意性，得知函数的图象关于点成中心对称图形。 （2）， ， ，则（3）令，得，例13、设是函数 的图象上任意两点，且满足，已知点的横坐标为.（1）求证：点的纵坐标为定值；（2）若，求；（3）已知是否存在实数 ，对于任意，都有恒成立，若存在，求出的值（或取值范围）；若不存在，请说明理由。解：（1）证明：，是的中点，设由，得， 点的纵坐标为定值；（2）解：由（I）知，那么，则，两式相加得： .（3）依题意：当时，；当时，故存在成立。

14、小结与反思：本题通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更出新的命题.这样，无论是对内容的发散，还是对解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效。例14、（1），求证：； （2），求证。解：（1）令，由知，于是，原不等式等价于。令，则有，当，有从而可以知道，函数在上是递增函数，所以有，即是；令，则，从而可以知道，函数在上是递增函数，所以有，即得；综上可知：，则。 （2）由（1）可知，令，得 令，得 令，得将以上所得各不等式相加，得，即小结与反思：本题的变量转化难以想到，由于出现了对数，用常规的作差，放缩都是难以实现的，必定是要通过构造函数，利用单调

15、性，然后与区间端点函数值去比较，但发现值不能代入和，所以将其换元，实现算法。换元还可以使求导变为简单。1、已知是方程的两根，且，则（ ）（A） （B） （C）或 （D）. 2、不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）3、已知，则（ ）（A） （B） （C） （D）4、如图为一长方体纸盒的展开图，尺寸如图所示，若是原长方体纸盒中不在同一面上的两个顶点，则长方体中两点间的距离是（ ）（A） （B） （C） （D）5、计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制0123456789ABCDE

16、F十进制0123456789101112131415例如用十六进制表示：，则（ ）（A） （B）72 （C） （D）6、已知圆和圆交于两点，则弦中垂线方程为_7、已知：在椭圆中，若是椭圆上异于长轴端点的任一点，若是长轴端点，则是直线纵截距的等比中项.。类比上述性质，相应的在双曲线中，若是实轴端点，则直线纵截距的积等于_。8、若从点所作的两条射线上分别有点与点，则三角形面积之比为：，若从点所作的不在同一个平面内的三条射线和上分别有点与点和，则类似的结论为 。9、同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两

17、个事实可以用数学语言描述为：若有限数列 满足，则 （结论用数学式子表示）.10、某纺织厂的一个车间有台织布机，编号分别为；该车间有技术工人名，编号分别为。定义记号，如果第名工人操作了第号织布机，此时规定，否则。例如第3号织布机有且仅有一个人操作，则，那么，7号工人操作了二台机器，请用一个等式来表示 。11、已知函数的图象如图所示（1）求函数的解析式；（2）令，求的最大值。12、在数轴上有一个随机游动的 粒子A，从原点开始每隔1秒钟随机的向左或右移动1次，每次移动一个长度单位，已知每次向左移动的概率为，设粒子A从原点开始经过3次所达到的位置的坐标为，（1）求概率；（2）求概率；（3）求的数学期望

18、。13、在中，角的对边分别为，若的外接圆半径为，且，试分别求出和边的大小。14、设数列的前项和为，已知，且满足3 （1）求证：为等差数列； （2）设数列的前项和为，求。15、（1）已知是不在同一直线上的三点，是平面内的一定点，是平面内的一动点，若，求证：的轨迹过的中点；（2）已知是不在同一平面内的四点，是空间的一定点，是空间的一动点，类似（1）若满足_，则的轨迹过_。16、学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航

19、天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？17、如图，都垂直于等边三角形所在的平面，且，是的中点（1）求证：平面平面；（2）若点关于平面的对称点恰好在上，求证是的中点；（3）在（2）的条件下，求二面角的大小。18、平面直角坐标系中，为坐标原点，给定两点，点满足，其中，且（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹与双曲线交于两点，且以为直径的圆过原点，求证：.为定值。19、已知函数，将满足的所有正数从小到大排成数列，（1）证明数列是等比数列；（2）记是数列的前项和，求20、已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究