剪切应力计算精编版

1、最新资料推荐 6 拉伸、压缩与剪切 1 基本概念及知识要点 1.11.1 基本概念 轴力、拉（压）应力、力学性能、强度失效、拉压变形、胡克定律、应变、变形能、 静不定问题、剪切、挤压。 以上概念是进行轴向拉压及剪切变形分析的基础，应准确掌握和理解这些基本概念。 1.21.2 轴向拉压的内力、应力及变形 1. 横截面上的内力：由截面法求得横截面上内力的合力沿杆的轴线方向，故定义为轴力 FN ,符号规定：拉力为正，压力为负。工程上常以轴力图表示杆件轴 力沿杆长的变化。 2 2轴力在横截面上均匀分布，引起了正应力，其值为 正应力的符号规定：拉应力为正，压应力为负。常用的单位为 3 3.强度条件 强度

2、计算是材料力学研究的主要问题之一。轴向拉压时，构件的强度条件是 -FN _：；I A 可解决三个方面的工程问题，即强度校核、设计截面尺寸及确定许用载荷。 4 4胡克定律 线弹性范围内，杆的变形量与杆截面上的轴力 FN、杆的长度 I I 成正比，与截面尺寸 A A 成反比；或描述为线弹性范围内，应力应变成正比，即 I = FN| - E ； EA 式中的 E E 称为材料的弹性模量，EAEA 称为抗拉压刚度。胡克定律揭示在比例极限内，应力和 应变成正比，是材料力学最基本的定律之一，一定要熟练掌握。 1.31.3 材料在拉压时的力学性能 材料的力学性能的研究是解决强度和刚度问题的一个重要方面。 材

3、料力学性能的研究一 般是通过实验方法实现的，其中拉压试验是最主要、最基本的一种试验，由它所测定的材料 性能指标有： MPaMPa、 PaPa。 最新资料推荐 7 E 材料抵抗弹性变形能力的指标； s b 材料的强度指标; 材料的塑性指标。低碳钢的拉伸试验是一个典型的试验。最新资料推荐 8 详见教材，应理解本部分知识。 1.41.4 简单拉压静不定问题 1.1. 未知力的个数超过静力平衡方程个数的问题为静不定问题， 其中未知力可以是结构的约 束反力或构件的内力。 2.2. 解决静不定问题，除列出静力平衡方程外，还需列出一定数量的补充方程，这些补充方 程可由结构各部分变形之间的几何关系以及变形和力

4、之间的物理关系求得， 将补充方程 和静力平衡方程联立求解，即可得出全部未知力。 3.3. 静不定结构还有一个特性，即由于杆件在制造中的误差，将引起装配应力；由于温度变 化会引起温度应力。 1.51.5 应力集中的概念 工程实际中，由于结构上和使用上的需要，有些零件必须有切口、 切槽和螺纹等。在构 件尺寸的突变处，发生局部应力急剧增加的现象，称为应力集中现象。 1 16 6 剪切和挤压的实用计算 1 1.工程中经常使用到联接件，如铆钉、销钉、键或螺栓等。联接件一般受剪切作用，并伴 随有挤压作用，因而联接件应同时满足剪切强度和挤压强度。 有时还要考虑被联接部分 的拉伸强度问题。 2. 两作用外力之

5、间发生相互错动的面称为剪切面。剪切面上的切应力为 T，其中Fs 为剪力，A A 为剪切面的面积，即假设切应力在剪切面上均匀分布。剪切强度条件 A Abs为挤压面积，即假设挤压应力在挤压面上均匀分布。挤压强度条件为 二bs 匚一 L bS Abs 2重点与难点及解析方法 2.12.1 轴向拉压的应力、强度计算及变形计算 强度计算是本章的重点内容，它能够解决三类工程问题。而胡克定律是联系力与变形 的基本定Fs 3 3.产生相互挤压的表面称为挤压面。 挤压面上的挤压应力为 匚bs二旦,式中 F F 为挤压力, Abs 最新资料推荐 9 律，应重点掌握。 解析方法：1 1 对等截面直杆，横截面上的正应

6、力最大，强度计算时必须明确在哪最新资料推荐 10 解: 个截面进行强度计算；而纵向截面上的应力等于零。 2 2 应用胡克定律计算变形时，内力应以代数值代入。求解结构上节点的位移时，设想 交于该节点的各杆， 沿各自的轴线自由伸缩， 从变形后各杆的终点作各杆轴线的垂线， 这些 垂线的交点即为节点新的位置 。 22简单拉压静不定问题 解静不定问题的关键是列出正确的变形几何关系。在列几何关系时，注意假设的变形 应是杆件可能的变形。 解析方法：1 1 列静力平衡方程； 2 2 根据变形协调关系列出变形的几何关系； 3 3 列出力与变形之间的物理关系； 4 4 联立解方程组求出未知力。 2.32.3 材料

7、在拉压时的力学性能 力学性能是材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性。是通过实验研究的 方法来实现的，这种方法对我们以后的工程设计有一定的指导作用。 应理解力学性质中涉及 到的几个强度指标及塑性指标。 2.42.4 剪切和挤压的强度计算 联接件的强度计算，关键在于正确判断剪切面和挤压面。剪切面积为受剪面的实际面积， 当挤压面为半圆柱面时，一般取圆柱的直径平面面积为挤压面面积，以简化运算。 3典型问题解析 3.13.1 轴向拉压的强度、变形计算 例题 2.12.1: 已知 ACAC 杆为直径 d d= 25mm25mm 的 A3A3 圆钢，材料的许用应力 丰 141MPa 141MPa

8、, ACAC、ABAB 杆夹角 a =30 30 ，如图 2 2 1 1 (a a)所示， A A 处作用力 F F = 20kN 20kN , 1 1 校核 ACAC 杆的强度；2 2 选择最经济的直径 d d ； 3 3 若用等边角钢，选择角钢型号。 求: 最新资料推荐 11 1 1 校核 ACAC 杆的强度 用一截面将 ACAC、ABAB 杆截开，取 A A 节点作为研究对象，如图 2 2- 1 1 (b b)所示，禾 U U 用平 衡方程计算FNi。 、Fy=0 FNgn30 F =0 FN 1 = 40kN 代入强度条件，校核 ACAC 杆的强度 F N 1 匚AC = AC A 3

9、 = 40 10 =81.5MPa 284mm 284mm ，查表可选 5050X 3 3 号等边角钢。 解题指导： 杆件轴力方向未知时，可使用设正法，即假设轴力为正，由平衡 方程求解出的结果为正，说明是拉力；结果为负，说明是压力。 例题 2.22.2: 零件受力如图 2 2 2 2 所示，其中 FP= 50 50 kNkN。求零件横截面的最大正应力，并指出发生 A FN1 40 103 2 L.- I 141 10厂 284mm 最新资料推荐 12 在哪一横截面上。最新资料推荐 13 解： 用截面法分析零件各横截面上的轴力，得轴力都是相同的，即 又因为开孔使截面积减小，所以最大正应力可能发生

10、在孔径比较小的两个横截面上 II II II II 上。 对于 I I 一 I I 截面，其横截面积 2 4 2 ! = 50-22 mm 20mm = 560mm =5.60 10_ m 对于 II II 一 IIII 截面，其横截面积 4 A =50-22 mm 15mm 2 =840mm =8.40 10 m 则最大正应力发生在 I I 一 I I 截面，其上之正应力 解题指导: 由于开孔，在孔边形成应力集中，因而横截面上的正应力并不是 均匀分布的。严格地讲，不能采用上述方法计算应力。 上述方法只是 不考虑应力集中时的应力， 称为“名义应力”。 如果将名义应力乘上 一个应力集中系数，就可

11、得到开孔附近的最大应力。应力集中系数可 从有关手册中查得。 例题 2.32.3max FN FP 50 1 03N A 5.60 104m2 =89.29MPa F卩 图 2 2-2 2 最新资料推荐 14 图 2 2 3 3 ( a a)所示铰接正方形结构，各杆的横截面面积均为 30cm30cm2，材料为铸铁，其许 用拉应力 比】=30MPa许用压应力 &】=120MPa，试求结构的许可载荷。 解： 1 1 求各杆轴力 取 B B 节点作为研究对象，如图 2 2 3 3 (b b)所示，代平衡方程 即 ABAB、BCBC 杆轴力为 取 A A 节点作为研究对象，如图 2 2 3 3

12、(c c)所示，代平衡方程 FN2 2FNi cos45 =0 , FN2 = -F (压) 即 ADAD、DCDC 杆轴力为 ACAC 杆轴力为- -F F 。 2 2 求许可载荷 由斜杆的拉伸强度条件 F_.2ADtl- 2 30 10， 33 106 =127.3kN 由 ACAC 杆的压缩强度条件 a = FN2 = F 汀 c A A c F 乞人匕-30 10* 120 106 =360kN 故结构的许可载荷为 F ： 27.3kN 解题指导： 尽管拉力FNI要比压力FN2小约 40%40%，但结构的许可载荷还是受拉 伸强度所限制，这是因为铸铁的抗拉强度要比其抗压强度低得多。在F

13、_2FN 1 cos45 二 0 , F N1 （拉） 图 2 2 3 3 最新资料推荐 15 工程实际中，受压构件通常选用铸铁等脆性材料， 而受拉构件一般选 用低碳钢等塑性材料，以合理地利用各种材料的力学性能。 例题 2.42.4: 图 2 2-4( 4( a)a)所示之结构中，ABAB 和 ACAC 均为 Q235Q235 钢制成的圆截面杆，直径相同 d d = 20mm 20mm , 许用应力lc .1= lc .1= 160 160 MPaMPa。试确定该结构的许用载荷。 解: 对于节点 A A，由二Fx = 0得 将(1 1)、(2 2)式联解 可见 ABAB 杆比 ACAC 杆受力

14、大，而两者的材料及横截面尺寸都是相同的。因此，两根杆的危险 程度不同。如果 ABAB 杆的强度得到满足， ACAC 杆的强度也一定安全。 2 2 根据强度条件计算许用载荷 1 1 由平衡条件计算各杆轴力, 设 ABAB 杆轴力为FNI , ACAC 杆轴力为 FN2 ,如图 2 2 - 4 4 ( b b)所示。 FN1 sin 30 = FN2 sin 45 (1) FN1 COS30 FN2 COS45 F (2) = 0.732 F F N2 2 F 1 .3 = 0.518F F N 1 最新资料推荐 16 有 据此解得 2 L- I n2 160 106 n 20 10-3 F -

15、4 0.732 4 0.732二 68.67kN 最新资料推荐 17 因而得 If I- 68.67kNkN 若改为，由强度条件计算许用轴力 2 4 二 22 10 4 由于 ABAB、ACAC 杆不能同时达到最大许用容许轴力，则将 I.FI.FN1 1 1，IFIFN2 代入（2 2）式，解得 F 79.1kN 这个解显然是错误的。 解题指导： 上述错误解法，实际上认为两根杆同时达到了危险状态。但实际 上，两根杆的材料、截面尺寸相同，而受力不同，因而应力不同，其 中受力较大的杆中应力达到许用应力时，另一根的应力必然小于许用 应力。因而二者不可能同时到达危险状态 。 例题 2.52.5： 1

16、1、2 2 杆均为圆截面钢杆，杆端为铰接。两杆长度 L、直径 d d、材料 E E 均相等，A A 处作用 力 F F，如图 2 2 5 5 所示，试求节点 A A 在力 F F 作用下的位移。 解： 二 22 10 4 6 160 10 =50.3kN FN2 J A2 IS I - 160 106 =50.3kN 最新资料推荐 18 图 2 2 5 5 在力 F F 作用下，杆 1 1、2 2 为轴向拉伸，由静力平衡关系得:最新资料推荐 i4 Fx = 0 FNI sin 口 = FN2 sina FNI = FN2 v Fy =0 2FN1 COS，- F FN1 = FN2 - 2CO

17、SG 代入胡克定律解得 1 1、2 2 杆的变形量 FL 兀 2 2cos： E d 4 但两杆铰接在一起，不能自由伸长，可判断出变形后节点 A A 位移向下。分别以 圆心，L Li、L L2为半径作圆弧，所作圆弧的交点 A Ai就是杆件变形后节点 A A 的位置。 在实际工程中，为了便于计算，从杆件变形后的端点作杆件的垂线， 用垂线代替圆弧线，近 似认为其交点 A A2为变形后 A A的位置，AAAA2为节点 A A 的位移。这种求位移的方法称为图解法。 A A 点的位移： AA2= L FL cos 2COS2： E】d2 4 解题指导: 理论上计算节点位移时，应由两杆伸长后的长度为半径画

18、圆弧， 两圆弧的交点即为节点新的位置。 但由于杆件的变形是小变形，实际 上是用切线代替圆弧来简化运算。 作图法简单易行，计算结果满足工 程要求。 3.23.2 简单拉压静不定问题 例题 2.62.6: 已知 1 1 杆的抗拉压刚度 E EiA Ai, 2 2、3 3 杆的抗拉压刚度相等 E E2A A2= E E3A A3。三杆铰接在一起，L L i = L L 2 = L L 3= L L。试求在力 F F 作用下各杆的内力。 解： 丄1 B B、C C 为 图 2 2 6 6 最新资料推荐 15 F N2 = F N3 F厂0 三个未知数，两个独立平衡方程，为一次静不定问题。 根据图解法，

19、作节点 A A 的位移图，得变形关系： 代物理关系: (1 (1 )、( 2 2 )、( 3 3)联立解得 F N2 = F N3 - 2cos 2- E 2A2 cos : 解题指导: 由此例题可知，静不定结构各杆件受力与杆件刚度比有关，这是静 不定结构区别于静定结构的显著特征之一。 例题 2.72.7: 已知正方形截面组合杆， 由两根截面尺寸相同、 材料不同的杆 1 1 和杆 2 2 组成，二者的弹性模 量为 E Ei和 E E2 ( E EiE E2),若使杆 1 1 和杆 2 2 均匀受压，求载荷 F F 的偏心距 e e。 解： 1 I 2 ! & b2 - A 2 h r

20、- b2 静力平衡关系: 用截面同时截开 1 1、2 2、3 3 杆, 取节点 A A 为研究对象，由静力平衡关系: (1) 2F N2 cos、F N 二 F N1L N2L L3 E2 A2 (3) F旦 cos2 已 A 最新资料推荐 16 为一次静不定问题。 变形关系; -L = - L2、Fx =0 F N1 - F N2 二 F Fe-pF* 2 bF N2=0 2 最新资料推荐 17 物理关系: (1 (1 )、(2 2)、(3 3)联立解得 代入(1 1)中第二式解得偏心距 e e 为 b 巳 - E2 e = 2 Ei E2 例题 2.82.8: 已知杆 1 1 为钢杆 E

21、Ei = 210GPa, 210GPa, i=12.5 10- C , A Ai =30cm=30cm2。杆 2 2 为铜杆, ：2 =19 10/C , A A 2=30cm=30cm2。载荷 F F = 50kN50kN。若 ABAB 为刚杆且始终保持水平, 高还是降低？求温度的改变量 AT 解： 设由 F F、AT引起的总的内力为 F N1、F N2 , 静力平衡关系: Me =0 F N1 = F N1 F 为一次静不定问题。 变形关系： 匚Li = LN 匚 LIT =0 =L2 二 L2N l L2T = 0 物理关系:F NI L 已 A 二 L2= F N2 L E 2 A2

22、F N1 F N2 (3) E E2= 105GPa,105GPa, 试问温度升 (1) 最新资料推荐 18 (1 (1 )、(2 2)、(3 3)联立解得 26.5 ：2 E 2 A2 - : 1E1A1 即温度降低 26.526.5C,可保证 ABAB 刚杆始终保持水平。 解题指导： 装配应力和温度应力同属于静不定问题，求解简单静不定问题的 关键是列出正确的变形几何关系。 3.33.3 剪切和挤压 例题 2.92.9: 如图所示冲床，F = 200kN，冲头 I I- - .1 .1 - - 260MPa，冲剪钢板 - 360 MPaMPa，设计冲 头的最小直径值及钢板厚度最大值。 解:

23、解题指导: 对于剪切的强度计算，关键是确定剪切面和挤压面。可以先找 变形过程中相互压紧的面即为挤压面，可能产生剪切破坏的面即为挤 压面。L 2= = F NI L E i Ai FN2 L E 2 A2 丄丁 = ： 1 二TL -丄2T =:-2 ：TL (3) 1 1 按冲头压缩强度计算 d rd fcr 2 2 按钢板剪切强度计算t Fs t - = 3.2cm d b F 图 2 2-9 9 最新资料推荐 19 例题 2.102.10: 如图 2 2- 1010 所示连接，D D、t t、d d 均已知，材料的许用应力分别为 d、 T、 %s%s。试确定 许用载荷。 解： 1 1 由强

24、度条件 2 2 由剪切强度条件: 3 3 由挤压强度条件: F 3 D2 - d2 l F F2 F F3，则该结构的实际许可载荷F F 为（）。 （A A） F F i ； （ B B） F F2； （ C C） F F 3； （ D D）（ F F i + F F3） /2/2。 正确答案是 _ 。 8.8. 图示桁架， 受铅垂载荷 F F = 50kN50kN 作用， 杆 1 1、 2 2 的横截面均为圆形， 其直径分别为 d d2=20mm=20mm，材料的许用应力均为寸=150MP150MPa a。试校核桁架的强度。 F F1、 F F 2、 d di=15mm=15mm、 最新资料

25、推荐 24 9.9. 已知直杆的横截面面积 A A、长度 L L 及材料的重度丫、弹性模量 E E,所受外力 P P 如图示。 求：（1 1）绘制杆的轴力图； （2 2） 计算杆内最大应力； （3 3） 计算直杆的轴向伸长。 1 1 1 7 1 1 剪切 1 1 在连接件上，剪切面和挤压面分别（ ）于外力方向。 （A A）垂直、平行； （B B）平行、垂直； （C C）平行； （D D）垂直。 正确答案是 _ 。 2.2. 连接件应力的实用计算是以假设（ ）为基础的。 （A A） 切应力在剪切面上均匀分布； （B B） 切应力不超过材料的剪切比例极限； （C C） 剪切面为圆形或方行； （D D） 剪切面面积大于挤压面面积。 正确答案是 _ 。 3.3. 在连接件剪切强度的实用计算中 ，剪切许用力T是由（）（） 得到的 （A A） 精确计算；（B B）拉伸试验；（C C）剪切试验；（D D）扭转试验。 正确答案是 _ 。 4.4. 置于刚性平面上的短粗圆柱体 AB AB ,在上端面中心处受到一刚性圆柱压头的作用， 如图所 示。若已知压头和圆柱的横截面面积分别为 150mm150mm2、250mm250mm2，圆柱 ABAB