误差原理第三章 误差的传递与合成

1、第三章第三章 误差的传递与合成误差的传递与合成3.1 误差的传递误差的传递一一.系统误差的传递系统误差的传递在间接测量中，其表达式为式中x1,x2xn各个直接测量值；y 间接测量值。 12(,)nyfx xx1212nnfffyxxxxxx 增量可用函数的全微分表示则上式的函数增量为由于误差是微小量，因此可得到函数的系统误差y为1212nnfffdydxdxdxxxx可表示为 式中的各个误差传递系数ai 为常数。12312nyxxxaaa 例3-1 用弓高弦长法间接测量大直径D，如图所示，直接测得其弓高h和弦长S，然后通过函数关系计算出直径D。 若弓高与弦长的测得值及若弓高与弦长的测得值及其系

2、统误差为其系统误差为求测量结果。解：函数关系式为若不考虑测得值的系统误差，则计算出的直径Do为因为直径D的系统误差为式中各个误差传递系数为将已知各误差值及误差传递系数代人直径的系统误差式，得 通过修正可消除所求得的直径系统误差D，则被测直径的实 际尺寸为二二.随机误差的传递随机误差的传递函数的一般形式为为了求得用各个测量值的标准差表示函数的标准差公式，设对各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为可得函数y的随机误差为将方程组中每个方程平方得将方程组中各方程相加，可得将上式的各项除以将上式的各项除以N N，并根据单次测量的标准差公式可得，并根据单次测量的标准差公式可得若各测量值的随机

3、误差是相互独立的，且当N适当大时，则有令则ia 式中ai为误差传递系数当各个测量值的随机误差为正态分布时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式为例3-2 对例3-1用弓高弦长法间接测量大直径D若已知三三.误差间的相关关系和相关系数误差间的相关关系和相关系数1.误差间的线性相关关系误差间的线性相关关系直径的最后结果为直径的极限误差为2.相关系数相关系数nKD 确定两误差之间的相关系数是比较困难的确定两误差之间的相关系数是比较困难的,通常通常采用以下几种方法采用以下几种方法:(1)直接判断法直接判断法(2)试验观察和简略计算法试验观察和简略计算法 通过两误差之间关系的分析通过两误差之间关系

4、的分析,直接确定相关系数直接确定相关系数.观察法观察法 直接计算法直接计算法简单计算法简单计算法13cos()nnn 1234nnnnn22()()() ()iiii(3)理论计算法理论计算法 有些误差间的相关系数有些误差间的相关系数,可根据概率论和最小可根据概率论和最小二乘法直接求出二乘法直接求出.3.2 随机误差的合成随机误差的合成一一.标准差的合成标准差的合成211()2nniiijijijiijaa a 一般情况下一般情况下,各个误差互不相关各个误差互不相关,相关系数相关系数ij=0，则有，则有21()niiia二二.极限误差的合成极限误差的合成21()niiia 若已知各单项极限误差

5、为的，各个误差互iiit lim1, lim2limn不相关，且置信概率相同，则总极限误差为 一般情况下，各单项极限误差的置信概率可能不同，根据各单项误差的分布情况，引入置信系数，单项极限误差为1, 2;in则则总的极限误差为 21()niiiiatt t一般的极限误差合成公式为1()niiita 3.3 系统误差的合成系统误差的合成一一.已定系统误差的合成已定系统误差的合成 已定系统误差是指大小及符号已知的误差已定系统误差是指大小及符号已知的误差.故它的合成故它的合成采用代数和。采用代数和。1riiia 二二.未定系统误差的合成未定系统误差的合成1.未定系统误差的特征极其评定未定系统误差的特

6、征极其评定 注意：已定系统误差按代数和法合成后，可以从测量结果注意：已定系统误差按代数和法合成后，可以从测量结果中修正，所以最后的测量结果中一般不再包含有已定系统误差。中修正，所以最后的测量结果中一般不再包含有已定系统误差。2.未定系统误差的合成未定系统误差的合成(1)标准差的合成标准差的合成(2)极限误差的合成极限误差的合成211()2ssiiijijijiijuaua a uu211()2ssiiijijijiijetaa a uu 2.1未定系统误差的特征（五点，详见p60）2.2未定系统误差的合成3.4 系统误差与随机误差的合成系统误差与随机误差的合成一一.按极限误差合成按极限误差合成

7、22111qsiiiien 总二二.按标准差合成按标准差合成2211qsiiiiuR当个误差间互不相关时当个误差间互不相关时,则则2211qsiiiiu22111qsiiiiun单次测量单次测量多次重复测量多次重复测量例3-3 在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度两次，测得结果分别为1250.026,50.025lmmlmm求测量结果极其用极限误差表示的测量不确定度。已知：，已知工件的高度H=80mm，1系统误差：万能工具显微镜刻线尺的刻度误差在50mm范围内系统 误差为=0.0008mm10.8 m 21 m 180 50140004000HLemm 2. 随机误差：读数误差瞄准

8、误差3. 未定系统误差阿贝误差277500.3510001000Lemm 30.5em 温度误差刻度尺的鉴定误差01211()(50.02650.025)50.025522Lllmmm解：两次测量结果的平均值为总误差合成2322222221111(10.8 )(10.350.5 )1.4822ijijemm 50.02470.0015Lmmmm则测量结果为050.02550.000850.0247LLmmmmmm 修正已定系统误差：3.5 误差分配误差分配一一.按等作用原则分配误差按等作用原则分配误差二二.按等可能性调整误差按等可能性调整误差三三.验算调整后的误差验算调整后的误差等作用原则认为

9、各个局部误差对函数误差的影响相等等作用原则认为各个局部误差对函数误差的影响相等,即即12ynDDDn 对难以实现的测量的物误差项适当扩大对难以实现的测量的物误差项适当扩大,对容易实对容易实现的误差项尽可能的缩小现的误差项尽可能的缩小,而对其余误差项不予调整而对其余误差项不予调整. 误差分配后误差分配后,应按误差合成公式计算实际总误差应按误差合成公式计算实际总误差,若超若超出给定的允许误差范围出给定的允许误差范围,应选择可能缩小的误差项再予缩应选择可能缩小的误差项再予缩小误差小误差;若实际总误差较小若实际总误差较小,可适当扩大难以测量的误差项可适当扩大难以测量的误差项的误差的误差.3.6 最佳测量方案的确定最佳测量方案的确定一一.选择最佳函数误差公式选择最佳函数误差公式二二.使误差传递