八年级数学上册12.5因式分解《完全平方公式法分解因式》典型例题素材(新版)华东师大版

1、完全平方公式法分解因式典型例题例题 1 1 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？2 2(1 1)a -6a 9；(2 2)x -8x 9；(3 3)4x212x-9； (4 4)- 12xy x236 y2. .例题 2 2 把下列各式分解因式：1-x24x4；222(m -2n) -6(2n -m)(m n) 9( m n)；3a4-8a2b216b4；43ax26axy 3ay2. .例题 3 3 分解因式：2 2 2(1 1)16x 9x； (2 2)-m4n 4mn；(3)(m -n)2-12(m-n) 36；(4)(m22m)22(m22m) 1. .例题 4 4 若x2

2、2(a4)x 25是完全平方式，求a的值. .1212例题 5 5 已知a，b=2，求一a ab b的值. .2 2例题 6 6 已知x-y=1，xy=2，求x3y2x2y2 xy3的值. .例题 7 7 用几何图形的面积来说明a2-b2= (a b)(a - b).例题 8 8 能否利用因式分解说明：当n是整数时，两个连续奇数的平方差数.8 8 的倍参考答案例题 1 1 分析 可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点 此题，即看是否是三项式，又看是否可凑成a2_2ab b2的形式，可以按“先两头，后中间”的步骤进行， 即先看首末两项是否同号且能写成a2、b2的形式，再看中间项能否写成_

3、2ab的形式. .解答 (1 1)幕a2=(a)2，9=32，6a =-2 a 3，2 2a -6a，9=(a-3)能用完全平方公式分解2 2 2(2)x=(x),9=3,-8x=-2 x 3，X2-8X，9 不能用完全平方公式分解(3)；4x2=(2x)2，- 9=一32，但(2x)2与-32符号不同，24x -12x-9不能用完全平方公式分解因式(4)先将多项式整理为：X2-12x 36y22 2 2 2x =(x)，36y =(6y)，-12xy =-2 x 6y，2 2-12xy x - 36y能用完全平方公式分解因式. .例题 2 2 解法 一x2+4x_4 = -(x2_4x+4)

4、- -(x -2)2(提取负号)2(m -2n)2-6(2n - m)(m n) 9( m n)22 2=(m -2n)6(2n)(m n) 9(m 5)(交换形式，保持项的一致，注意符号(2n -m)二-(m -2n)=(m -2n) 3(m - n)2(添加括号，避免出错)= (m-2n 3m 3n)2(能合并同类项的要合并)2= (4m n)3a4-8a2b216b42 2 2 2 2 2=(a ) -2 a 4b (4b )= (a2-4b2)2(能分解的要继续分解)=(a 2b)2(a 2b)22243ax 6axy 3ay2 2= 3a(x 2xy y )(先提公因式)2 _= 3

5、a(x y)(分解要彻底)说明解题前需先分析多项式特点，针对特点选择公式另外在因式分解时还应注意：分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提取，再进一步分解 分解因式必须进行彻底，如式，提公因式3a后，再运用完全平方公式分解，直至每个因式都不能再分解为止 . .例题 3 3 分析 从表面看，上面四个多项式都不能直接套公式，但可以根据题目结构特点，把每一个多项式整理成a2_2ab b2=(a _b)2公式原型的形式，再观察a、b分别相 当于题目中的哪些量，从而可以顺利套用公式2 2 2 2解答 (1 1)1 -6x 9x =1 -2 3 x (3x) =(13x)(2)-m2-4n2

6、4mn2 2 2-(m -4mn 4n ) - -(m-2n)(3)(m -n)2-12(m - n) 36=(m -n)2-2 (m -n) 6 62=(m -n -6)2(4)(m22m)22(m22m) 12 2 2 2二(m 2m) 2 (m 2m) 1 1(m22m - 1)2(把m2- 2m看作a，把 1 1 看作b，仍要继续分解，不可忽略)-(m 1)2 2=(m 1)4解答x22(a 4)x 252 2=x 2(a 4)x 5此多项式是完全平方式，.2(a 4)x = 2 x 5，2(a 4) =：10当2(a 4) =10时，a=1；当2(a 4) - -10时，a - -9

7、 .说明 熟练公式中2ab的a、b两量便可自如求解 例题 5 5 分析 将所求的代数式变形，使之成为a b的表达式，然后整体代入求值. .121212 2解答a ab b (a 2ab b )2 2 2(a b)22a b= 2，12原式2 =22例题 6 6 分析这类问题一般不适合通过解方程组求出x、y的值再代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy与x-y的式子，再整体代入求值. .解答；x - y =1，xy = 2，.x3y -2x2y2xy3= xy(x2-2xy y2)2 2二xy(x-y) =2 1 =2. .说明 通过因式分解实现转化. .例题 7

8、7 分析 因为正方形的面积是边长的平方，所以我们把a2和b2分别看成是边长为a和b的两个正方形的面积(aAb)，故可用正方形的面积来说明这个等式.a2-b2的面积，再把右边的矩形拼到左边矩形的顶上，就构成了一个长为a b，宽为a- b的长方形，因此面积为(a b)(a -b).22故a -b = (a b)(a -b)说明本题我们找到平方差公式的一个几何图形，这是我们研究数学问题常用的方法数形结合.例题 8 8 解答 设两个连续的奇数为(2n -1), (2n 1),2 2则(2n1) -(2n -1)4(2n 1) (2n -1)( 2n 1)-(2n -1) =8n.当n是整数时(2n 1)(2n