高考数学难点突破训练—立体几何

1、高考数学难点突破训练立体几何1. 将两块三角板按图甲方式拼好，其中，现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如图乙(1)求证：平面；(2)求二面角的大小；(3)求异面直线与所成角的大小2. 如图，在正三棱柱中，各棱长都等于a，D、E分别是、的中点，（1）求证：DE是异面直线与的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面AEC的距离3. 如图，在棱长为a的正方体中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF交BD于H（1）求二面角的正切值；（2）试在棱上找一点M，使平面，并证明你的结论；（3）求点到平面的距离4. 如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，ACCB，AB

2、C=45，侧面A1ABB1是边长为a的菱形，且垂直于底面ABC，A1AB=60，E、F分别是AB1、BC的中点. （1）求证EF/平面A1ACC1； （2）求EF与侧面A1ABB1所成的角； （3）求三棱锥ABCE的体积.5. 已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点。（I）求证：DE平面ABC；（II）求证：B1F平面AEF；（III）求二面角B1AEF的大小（用反三角函数表示）。6. 在直角梯形ABCD中，A=D=90，ABCD，SD平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在线段SA上取一点E（不含端点）

3、使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。（）求证：四边形EFCD为直角梯形；（）求二面角B-EF-C的平面角的正切值；（）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使DMC为直角三角形？请给出证明。7.如图，已知正四棱柱的底面边长为3，侧棱长为4，连结，过A作，垂足为F，且AF的延长线交于E。（I）求证：平面AEC（II）求三棱锥的体积（III）求二面角的正切值。8. 如图已知斜三棱柱ABC-的各棱长均为2，侧棱与底面ABC所成角为，且侧面垂直于底面ABC（1）求证：点在平面ABC上的射影为AB的中点；（2）求二面角C-B的大小；（3）判断与是否垂直，并证明你的结论9. 如图，以正四棱锥V-ABCD

4、底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中OxBC，OyAB，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h（1）求cos（，）；（2）记面BCV为a，面DCV为b ，若BED是二面角a-VC-b 的平面角，求BED10. 已知长方体ABCD-中，棱ABBC3，4，连结，过B点作的垂线交于E，交于F（1）求证：平面EBD；（2）求ED与平面所成角的大小；（3）求二面角E-BD-C的大小11. 如图，在正方体ABCD-中，E、F分别是，CD的中点（1）证明：AD；（2）求AE与所成的角；（3）证明：面AED面；（4）设2，求三棱锥F-的体积12. 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中

5、，E为AA1上一点，平面B1CE平面BCE，AB=BC=1，AA1=2。（1）求平面B1CE与平面B1BE所成二面角的大小；（文科只要求求tan）（2）求点A到平面B1CE的距离。13. 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底边长为1，高为h(h3)，点M在侧棱BB1上移动，到底面ABC的距离为x，且AM与侧面BCC1所成的角为；（）（本问6分）若在区间上变化，求x的变化范围；（）（本问6分）若所成的角.14. 如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E是PB的中点，与夹角的余弦值为（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；（2）在平面PAD内求一点F，使EF平面PCB15.如图所示

6、，已知直三棱柱中，90o，侧面与侧面所成的二面角为60，M为上的点，30，90，（1）求BM与侧面所成角的正切值；（2）求顶点A到面的距离16.ABC111ACB如图，斜三棱柱，已知侧面与底面ABC垂直且BCA=90，=2，若二面角为30，（）证明； （）求与平面所成角的正切值；（）在平面内找一点P，使三棱锥为正三棱锥，并求P到平面距离17. 已知平行六面体的底面为正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面的射影是。（I）求证：平面平面（II）若点分别在棱上上，且，问点在何处时，（III）若，求二面角的大小（用反三角函数表示）答案：1. （1）设在的射影为，则平面， 又，平面，又，平面（2）由（

7、1），又，为中点以为轴，为轴，过且与平行的直线为轴建系，则设为平面的法向量，由，可得易知为平面的法向量，所以所求二面角为（3），所以所求角为2. （1）取AC中点F，连接DF因为D是的中点，所以DF，且又，E是的中点，所以DFBE，DFBE，所以四边形BEDF是平行四边形，所以DEBF，DEBF因为面ABC，面ABC，所以BF又因为F是AC的中点，ABC是正三角形，所以BFAC，因为BF，所以BF，所以BF面，又因为面，所以BF，因为DEBF，所以DE，DE，所以DE是异面直线与的公垂线段，且（2）因为，DE，所以DE，又因为DE，所以DE面又面，所以面面，所以二面角的大小为90（3）连接CE

8、，则三棱锥的底面面积为，高所以在三棱锥中，底面AEC中，则其高为a，所以设点到平面AEC的距离为d，由得，所以，即点到平面AEC的距离为3. （1）连AC，则EFAC，因为ACBD，所以BDEF因为平面ABCD，所以EF，所以为二面角的平面角在Rt中，所以（2）在棱上取中点M，连，因为EF平面，所以EF在正方形中，因为M，F分别为，BC的中点，所以又因为平面，所以，所以，所以平面（3）设与平面交于点N，则为点到平面的距离在Rt中，因为，所以，故点到平面的距离为4.（1）A1ABB1是菱形，E是AB1中点， E是A1B中点，连A1CF是BC中点， EFA1CA1C平面A1ACC1，EF平面A1A

9、CC1， EF/平面A1ACC1（2）作FGAB交AB于G，连EG 侧面A1ABB1平面ABC且交线是AB FG平面A1ABB1，FEG是EF与平面A1ABB1所成的角由AB=a，ACBC，ABC=45，得 由AA1=AB=a，A1AB=60，得（3）VABCE=VEABC 由EGAB，平面A1ABB1平面ABC，EG平面ABC5. 解法一：（I）连接A1B、A1E，并延长A1E交AC的延长线于点P，连接BP。由E为C1C的中点，A1C1CP可证A1EEPD、E是A1B、A1P的中点，DEBP又BP平面ABC，DE平面ABC，DE平面ABC 4分（II）ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点B

10、CAF，又B1B平面ABC，由三垂线定理可证B1FAF设ABA1Aa则 9分（III）过F做FMAE于点M，连接B1MB1F平面AEF，由三垂线定理可证B1MAEB1MF为二面角B1AEF的平面角 C1C平面ABC，AFFC，由三垂线定理可证EFAF在RtAEF中，可求在RtB1FM中，B1FM90，二面角B1AEF的大小为 14分解法二：如图建立空间直角坐标系Oxyz令ABAA14，则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B1（4，0，4） 2分（I）同解法一 6分（II） 10分（III）（有个别学生按超出课本要求的方法求解，按此标准给分）平面AEF的法向

11、量为，设平面B1AE的法向量为即令x2，则二面角B1AEF的大小为6. （）CDAB，AB平面SABCD平面SAB面EFCD面SAB=EF，CDEF又面平面SAD，又为直角梯形（）平面平面SAD 即为二面角DEFC的平面角中而且为等腰三角形，（）当时，为直角三角形 平面平面在中，为SB中点，平面平面 为直角三角形7. （I）是正四棱柱平面ABCD连AC，又底面ABCD是正方形由三垂线定理知，同理，平面AEC5分（II）平面ABC的长为E点到平面ABC的距离（III）连CF平面，又由三垂线定理知，于是，为二面角的平面角在中，在中，即二面角的正切角为8. （1）如图，在平面内，过作AB于D，侧面平

12、面ABC，平面ABC，是与平面ABC所成的角，60四边形是菱形，为正三角形，D是AB的中点，即在平面ABC上的射影为AB的中点（2）连结CD，ABC为正三角形，又平面平面ABC，平面平面ABCAB，CD平面，在平面内，过D作DE于E，连结CE，则CE，CED为二面角C-B的平面角在RtCED中，连结于O，则，所求二面角C-B的大小为arctan2（3）答：，连结，是菱形CD平面，AB，平面，9. （1）依题意，B（a，a，0），C（-a，a，0），D（-a，-a，0），E，由向量的数量积公式，有，）（2）BED是二面角a-VC-b的平面角，即有又由C（-a，a，0），V（0，0，h），得（a，

13、-a，h），且，即此时有，）10. （1）连结AC交BD于O，则ACBD又平面AC，BDBE而平面，BEBDBEB，平面BED（2）连结，由CD知D在平面内，由（1）是EB又BE，BE平面，即得F为垂足连结DF，则EDF为ED与平面所成的角由已知ABBC3，4，可求是5，则，在RtEDF中，ED与平面所成的角为（3）连结EO，由EC平面BDC且ACBD知EOBDEOC为所求二面角E-BD-C的平面角，在RtEOC中，二面角E-BD-C的大小为11.如图所示，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），（0，0，2），（2，0，2），E（2，

14、2，1）（1）（-2，0，0），（0，1，-2），且0010（-2）0（2）=（0，2，1），=（0，1，-2）设与的夹角为q ，则q90，即AE与所成的角为直角（3）由（1）知，由（2）知，平面AED又面，面AED面（4）设AB的中点为G，连结GE，面，12. （1）BC，平面BB1E，又平面B1CE，B1E，CEB1E，BEB1EBEC就是平面B1CE与平面B1BE所成二面角的平面角。设AEB=，则A1B1E=AE=ABcot=cot，A1E=A1B1tan=tanAE+EA1=AA1=2,cot+tan=2tan=1. 即AE=A1E=1在RtCBE中，BC=1，BE=tan。（2）在三

15、棱锥C-AEB1中，从而在RtB1CE中，设A到平面B1EC的距离为h,则13. （I）设BC的中点为D，连结AD、DM，在正ABC中，易知ADBC，又侧面BCC1与底面ABC互相垂直，AD平面BCC1，即AMD为AM与侧面BCC1所成的角，AMD=，在RtADM中，cosAMD=依题意BM即为点B到度面ABC的距离，BM=x，且，由已知即x的变化范围是；（II）（还可按解答的图形所示作辅助线，用常规方法解决）14.（1）如题图以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A（2，0，0）、B（2，2，0），C（0，2，0），设P（0，0，2m）E（1，1，m），则（-1，

16、1，m），（0，0，2m），所以E点的坐标是（1，1，1）（2）平面PAD，可设，0，平面，0，则，2，所以点F的坐标是（1，0，0），即点F是DA的中点15.（1）三棱柱为直棱柱，为二面角的平面角，所以60，又90侧面连接MC，则MC是MB在侧面上的射影所以为BM与侧面所成的角又90，30，所以60设，则，所以（2）过A作垂足为N，因为，所以面面，过N作，垂足为H，则NH是N到面的距离，也即A到的距离，且30，可得，且60所以说明：本题（2）亦可利用来求解16. （1）面面，因为面面，所以面（2）取中点，连接，在中，是正三角形，又面且面，即即为二面角的平面角为30，面，在中，又面，即与面所成的线面角，在中，（3）在上取点，使，则