高考第一轮复习数学51向量的概念向量的加法与减法实数与向量的积

1、七平面向量7.1 本章说明充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，是数形结合的重要体现，因此，平面向量容易成为中学数学知识的一个交汇点。7.2基本知识储备：7.2.1基本概念1.向量的基本要素：大小和方向.2.向量的表示：几何表示法；字母表示：a；坐标表示法aj（，）.因此向量可以分解为任意不共线的两个方向的向量之和。3.向量的长度：即向量的大小，记作a.4.特殊的向量：零向量aOaO.单位向量aO为单位向量aO1.5.相等的向量：大小相等，方向相同(1，1)（2，2）6.相反向量：a=-bb=-aa+b=07.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作ab.平行

2、向量也称为共线向量.(1)平面向量基本定理e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)两个向量平行的充要条件abab(b0)x1y2x2y1O.(3)两个向量垂直的充要条件ababOx1x2y1y2O.7.2.2 向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质（坐标+几何）向量的加法1.平行四边形法则2.三角形法则向量的减法三角形法则,数乘向量1.是一个向量,满足:2.0时,同向;0时,异向;=0时,.向量的数量积是一个数1.时，.2.说明：1.加减法的几何表示2.运算性质运用时通常是代数与几何结合使用。3.向量的数量积：a

3、b=|a|b|cos，夹角公式：；平行：A|bb=a；垂直：ab(a0)ab=0。|cos称为在的方向上的投影，的几何意义是：的长度|在的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。4.向量的数量积与实数的积的相同点：实数的乘积向量的数量积运算的结果是一个实数运算的结果是一个实数交换律分配律且|向量的数量积与实数的积的不同点：实数的乘积向量的数量积结合律或7.2.3 向量的运用1. 线段的定比分点公式设点P分有向线段所成的比为，即，则 (线段的定比分点的向量公式) (线段定比分点的坐标公式)当1时，得中点公式：（）或2. 平移公式点按向量a=平移后得到点始终不变的是这个

4、关系式：+a, 即，故有：m=m=但向量平移，向量的坐标是不会变化的。3. 正、余弦定理正弦定理：余弦定理：a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC.附：三角形的五个“心”设为所在平面上一点，角所对边长分别为：重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点三角形面积计算公式：设ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.S=1/2aha=1/2bhb=1/

5、2chcS=Pr S=abc/4RS=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinA S= 海伦公式 S=1/2（b+c-a）ra=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb注：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.7.3考查方式7.3.1 考题主要特点特点一:考小题,重在于基础.有关平面向量的小题,其考查的重点在于基础知识:其中,平面向量数量积、加减运算是考查的重点，向量共线，向量垂直，向量的模，坐标运算等内容的试题都突出了对平面向量基础知识的考查.特点二:考大题,与其它知识结合.考查平面向量的大题，经常与三角、圆锥曲线、函数结合，与三角函数相结合

6、的试题难度不大，属中档题，与圆锥曲线、函数相结合的试题，属中等偏难，主要考查学生对基本知识,基本方法,基本技能的理解,掌握和应用情况.特点三:考方法,常体现数形结合的思想方法.向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，体现了数形结合的思想。7.3.2 主要考查内容：1.考查向量的基本概念和几何意义，这部分以小题为主：A组题型1：平面向量的概念例1（1）给出

7、下列命题：若|，则=；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若=，=，则=；=的充要条件是|=|且/；若/，/，则/；其中正确的序号是。（2）设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=|;(2)若与a0平行，则=|；（3）若与平行且|=1，则=。上述命题中，假命题个数是（）A0B1C2D3解析：（1）不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；正确；，且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，因此，。正确；=，的长度相等且方向相同；又，的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同，故。

8、不正确；当/且方向相反时，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要条件，而是必要不充分条件；不正确；考虑=这种特殊情况；综上所述，正确命题的序号是。点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。（2）向量是既有大小又有方向的量，与|模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若与平行，则与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时=|，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。点评：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行

9、向量、同向向量等概念。题型2：平面向量的运算法则例2（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，表示出来。（2）（06上海理，13）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A B C D（3）（06广东，4）如图1所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量（）A BC D（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以，=，=+，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABO

10、F，所以=+=+=2+，同样在平行四边形BCDO中，()2，。点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用，表示，且可用规定其中任两个向量为，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示。（2）C（3），故选A。例3设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：，。解析：原式= ；原式=；原式=。例4设为未知向量，、为已知向量，解方程2-(5+3-4)+-3=0解析：原方程可化为：(2- 3) + (-5+) + (4-3) = 0， =+ 。点评：平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质。题型3：平面向量的坐标及运算例5已知中，A

11、(2,1)，B(3,2)，C(3,1),BC边上的高为AD，求。解析：设D(x,y)，则得所以。例6已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标。解析：设，则因为是与的交点，所以在直线上，也在直线上。即得，由点得，。得方程组，解之得。故直线与的交点的坐标为。题型4：平面向量的性质例7平面内给定三个向量，回答下列问题：（1）求满足的实数m,n；（2）若，求实数k；（3）若满足，且，求。解析：（1）由题意得，所以，得。（2），；（3）由题意得，得或。例8已知（1）求；（2）当为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反向？解析：（1）因为所以则（2），因为与平行，所以即得。此时，则，即此时向

12、量与方向相反。点评：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。题型5：共线向量定理及平面向量基本定理例9（2002天津文12，理10）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（1，3），若点C满足，其中、R，且+=1，则点C的轨迹方程为（）A3x+2y11=0 B（x1）2+（y2）2=5C2xy=0 Dx+2y5=0解法一：设，则。由得，于是，先消去，由得。再消去得，所以选取D。解法二：由平面向量共线定理，当，时，A、B、C共线。因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得即选D。点评：熟练运用向量的加法、

13、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向量平行的坐标表示；运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。例10（1）（06福建理，11）已知=1，=,=0,点C在AOB内，且AOC=30，设=m+n(m、nR)，则等于（）A B3 C DABOM图（2）（06湖南文，10）如图：OMAB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x,y）可以是（）AB. C. D. 解析：（1）B；（2）C。练习：例1、（07北京）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（）例2（07浙江）若非零向量满足，则（）例3(07山东)在直角中，是斜

14、边上的高，则下列等式不成立的是（C）（A）（B）（C）（D）例4（08全国）在中，若点满足，则（ A ）ABCD例5、（2007陕西）如图，平面内有三个向量、,其中与与的夹角为120，与的夹角为30,且|1，| ，若+（，R）,则+的值为6.例6（2008湖南）设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与( A )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直例7（2008安徽）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则（ B ）A（2，4）B（3，5）C（3，5）D（2，4）例8（2009上海）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量在直角三角形中，若，

15、则的可能值个数是（B）1 2 3 4例9（2008广东）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ B ）ABCD2. 考查向量的数量积和相关运算平面向量本身的综合，特别是平面向量的坐标表示，线性运算，基本定理以及内积的应用，以及课本例题的教学价值，例如2002年的选择题（2002文(12)，理(10)）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程为（）（）（）（）（）这道题可以用向量的坐标表示计算。设，由题意于是2得于是点的轨迹方程为但是如果利用平面向量基本定理一节中课本的一道例题例5，已知不共线，则有，如果用表示，表示，则有这里给出了共线的

16、一个条件而2002年选择题恰恰就是这个例题的变化，因此点在两点确定的直线上，利用两点式直线方程公式立即有，即从这道试题可以启发我们，在教学中一定要落实课本，落实课本的例题，挖掘课本例题在培养数学能力上的作用题型1：数量积的概念例1判断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，有。解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零。例2（1）（2002上海春，13）若、为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是（）ABC

17、m（）=m+m D（2）(2000江西、山西、天津理，4)设、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则（）（）=| （）（）不与垂直（3+2）（32）=9|24|2中，是真命题的有（）A.B.C.D.解析：（1）答案：D；因为，而；而方向与方向不一定同向。（2）答案：D平面向量的数量积不满足结合律。故假；由向量的减法运算可知|、|、|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为（）（）=（）（）=0，所以垂直.故假；（3+2）（32）=94=9|24|2成立。故真。点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。题型2：向量的夹角例3（1）（06全国1文，

18、1）已知向量、满足、，且，则与的夹角为（）A B C D（2）（06北京文，12）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是。（3）已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。（4）（2005北京3）| |=1，| |=2，= + ，且，则向量与的夹角为（）A30B60C120D150解析：（1）C；（2）；（3）由题意，且与的夹角为，所以，同理可得。而，设为与的夹角，则。（4）C；设所求两向量的夹角为即：所以点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量

19、垂直（平行）的充要条件必需掌握。例4（1）（06全国1理，9）设平面向量、的和。如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（）A+= B-+=C+-= D+=（2）（06湖南理，5）已知且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是（）A B C D解析：（1）D；（2）B；点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题。题型3：向量的模例5（1）（06福建文，9）已知向量与的夹角为，则等于（） A5B4C3D1（2）（06浙江文，5）设向量满足,则（）A1B2C4D5解析：（1）B；（2）D；点评：掌握向量数量积的逆运算，以及。例6已知（3，4），（4，3），求x,y的值使(

20、x+y)，且x+y=1。解析：由（3，4），（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)；又（x+y）(x+y)3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；即25x+24y；又x+y=1x+y；（x+4y）（x+3y）；整理得25x48xy+25y即x(25x+24y)+24xy+25y；由有24xy+25y；将变形代入可得：y=；再代回得：。点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。题型4：向量垂直、平行的判定例7(2005广东12)已知向量，且，则。解析：，。例8已知，按下列条件求实数的值。（1）；（2）；。解析：（1）；（2）；。点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基

21、本运算。3. 考查平面向量与其它知识的结合。A与平面几何的结合：在平行四边形中，若，则，即菱形模型。若，则，即矩形模型。在中，是的外心；一定过的中点；通过的重心；，是的重心；，是的垂心；通过的内心；则是的内心；例11（2002年高考题）已知两点，且点P（x，y）使得，成公差小于零的等差数列。（1）求证；（2）若点P的坐标为，记与的夹角为，求。解析：（1）略解：，由直接法得（2）当P不在x轴上时，而所以，当P在x轴上时，上式仍成立。图1点评：由正弦面积公式得到了三角形面积与数量积之间的关系，由面积相等法建立等量关系。例12用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。已知：如图，AB是O的直径，点P是O

22、上任一点（不与A、B重合），求证：APB90。证明：联结OP，设向量，则且，即APB90。点评：平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。题型7：平面向量在物理中的应用例13如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力的合力。解析：所求五个力的合力为，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则，由正六边形的性质可知，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则，由正六边形的性质可知，且F点在PC的延长线上。由正六边形的性质还可求得故由向量的加法可知所求五个力的合力的大

23、小为，方向与的方向相同。B与代数的结合弄清实数乘积与平面向量数量积的异同点：代数不等式：由,，可得。例9已知。分析：，可以看作向量的模的平方，而则是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。证明：设则。点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。例10已知，其中。（1）求证：与互相垂直；（2）若与（）的长度相等，求。解析：（1）因为所以与互相垂直。（2），所以，因为，所以，有，因为，故，又因为，所以。点评：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。C与解析几何结合定比分点公式若，则是的定比分点，为定比，满足。点向式直线方程已知点及方向向量，可确定过，以为方向向量的直线方程为（3）精选典型例题及练习题扩大学生的解题视野。例1、已知a=，b，c=a+b，是否存在实数，使a 与c的夹角为锐角，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由。（考查数量积的应用及严密的推