数理统计的MATLAB求解

1、2022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解1 1概率统计的概率统计的MATLAB求解求解 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机变量的数字特征随机变量的数字特征参数估计参数估计2022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解2 21 随机变量及其分布随机变量及其分布注：注：以后碰到命令末尾为：以后碰到命令末尾为：rnd-产生随机数产生随机数X； cdf-产生分布函数产生分布函数F(x)pdf-产生密度函数产生密度函数p(x)或分布列或分布列Px=PX=xinv-计算计算x=F-1(p) p=F (x)2022-1-122022

2、-1-12数理统计的MATLAB求解3 3常见分布的随机数产生2022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解4 4专用函数计算概率密度函数表 2022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解5 5专用函数的累积概率值函数表 2022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解6 6常用临界值函数表 2022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解7 7常见分布的均值和方差 2022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解8 83.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n例例3.1某人向空中抛硬币某人向空中抛硬币100次，落下为正

3、面的概次，落下为正面的概率为率为0.5。这。这100次中正面向上的次数记为次中正面向上的次数记为X：(1)试计算试计算x=45的概率和的概率和x45的概率；的概率；(2)绘制分布函数图象和分布列图象。绘制分布函数图象和分布列图象。程序：程序：clear;px=binopdf(45,100,0.5) % 计算计算x=45的概率的概率 px = 0.0485fx=binocdf(45,100,0.5) % 计算计算x45的概率的概率 fx =0.1841x=1:100;p1=binocdf(x,100,0.5);plot(x,p1,+);title(分布函数图分布函数图)2022-1-122022

4、-1-12数理统计的MATLAB求解9 93.1 随机变量及其分布随机变量及其分布p2=binopdf(x,100,0.5);plot(x,p2,*r)；title(概率分布图概率分布图）2022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解10103.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n例例3.2设设XN(2,0.25)(1) 求概率求概率P1X2.5；(2)绘制分布函数图象和分布密度图象绘制分布函数图象和分布密度图象;(3)画出区间画出区间1.5,1.9上的分布密度曲线下方区域。上的分布密度曲线下方区域。程序程序:(1)p=normcdf(2.5,2,0.5)- normcdf(

5、1,2,0.5) p = 0.8186(2) x=0:0.1:4;px=normpdf(x,2,0.5);fx= normcdf(x,2,0.5); plot(x,px,+b);hold on;plot(x,fx,*r);legend(正态分布函数正态分布函数,正态分布密度正态分布密度);(3) specs=1.5,1.9;pp=normspec(specs,2,0.5)2022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解11113.1 随机变量及其分布随机变量及其分布00.511.522.533.5400.10.20.30.40.50.60.70.8Probability Betw

6、een Limits is 0.26209DensityCritical Value2022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解12123.2 随机变量函数的分布随机变量函数的分布根据概率统计教材中的定理：根据概率统计教材中的定理：如果已知随机变量如果已知随机变量X的密度的密度fX(x),随机变量函数随机变量函数Y=g(X)单调，则单调，则Y的密的密度函数为：度函数为： fY(x)= fX(h(y)|h(y)|,其中其中x=h(y)是是y=g(x)的反函数。的反函数。如果如果y=g(x)不单调，则将定义域分成若干单调区不单调，则将定义域分成若干单调区间进行讨论。也可利用：间进

7、行讨论。也可利用：据此意思，计算随机变量函数的分布相当于据此意思，计算随机变量函数的分布相当于编程编程dyydFyfdxxfyXgPyYPyFYYyXgXY/)()()()()()(2022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解1313n例例3.3设随机变量设随机变量X服从均匀分布服从均匀分布U0,1，求，求Y=eX的分布。的分布。程序：程序：clear;x=solve(y=exp(x) x=log(y)dy=diff(x,y) dy=1/yfy= 1*abs(dy) fy=1/|y|注：取值区域需要自己确定，用积分求法作为练习！注：取值区域需要自己确定，用积分求法作为练习！3

8、.2 随机变量函数的分布随机变量函数的分布2022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解14143.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n随机变量的数学期望随机变量的数学期望1.数组的平均值数组的平均值-Y=mean(X)功能：当功能：当X为向量时，输出一个平均数；当为向量时，输出一个平均数；当X为矩阵时，输出为为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的平均值，应用嵌套：平均值，应用嵌套：mean(mean(X)或或m=mean(X(:)与此类似的有：求和与此类似的有：求和(sum),最大最大(m

9、ax),最小最小(min)等等2.离散型随机变量的期望离散型随机变量的期望-EX=sum(X.*P)功能：计算随机值向量功能：计算随机值向量X与对应概率向量与对应概率向量P的乘积之和的乘积之和3.连续型随机变量的期望连续型随机变量的期望-EX=int(x*fx,x,a,b)功能：用积分计算期望功能：用积分计算期望2022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解15153.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n例例3.4设随机变量设随机变量X的分布列，求期望。的分布列，求期望。程序：程序：clear;x=-1,0,2,3;p=1/8,1/4,3/8,1/4;EX=sum(x.*

10、p) 1.3750X-1023P1/81/43/81/42022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解16163.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n例例3.5设随机变量设随机变量X的分布密度为：的分布密度为：且且EX=3/5，求常数，求常数a,b的值。的值。程序：程序：clear;syms a b x;fx=a+b*x2;EX=int(x*fx,x,0,1) EX=1/4*b+1/2*a F=int(fx,x,0,1) F=a+1/3*b f1=EX-3/5;f2=f-1; a,b=solve(f1,f2) a=3/5,b=6/5其他100)(2 xbxaxf2022-

11、1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解17173.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n例例3.6设随机变量设随机变量X的分布密度为：的分布密度为：求随机变量求随机变量Y=|X|的期望。的期望。程序：程序：clear;syms x;fx1=0.5*exp(x); fx2=0.5*exp(-x);EY=int(-x*fx1,x,-inf,0) + int(x*fx2,x,0, inf) EY= 1其他05 . 05 . 0)(xeexfxxdxxfxgEY)()(2022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解18183.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n

12、随机变量的方差随机变量的方差1.统计数据的方差统计数据的方差-D=var(X,1)功能：当功能：当X为向量时，输出一个标量；当为向量时，输出一个标量；当X为矩阵时，输出为行为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方差值，应用嵌套：差值，应用嵌套：var(var(X) 缺省缺省1，计算：，计算：否则计算：否则计算：2.统计数据的标准差统计数据的标准差-S=std(X,1)功能：用法和功能：用法和1的解释同上的解释同上3. 一般随机变量的方差一般随机变量的方差-DX=E(X2)-(EX)2功能：用积分或级数编程计算功能

13、：用积分或级数编程计算niixxnS122)(11niixxnS122)(12022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解19193.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n例例3.7设随机变量设随机变量X的分布密度为：的分布密度为：求随机变量求随机变量X的期望和方差。的期望和方差。程序：程序：clear;syms x;fx=2/pi*(cos(x)2;EX=int(x*fx,x,-pi/2,pi/2)E2X=int(x2*fx,x,-pi/2,pi/2)DX=E2X-EX2 其他2|02cos2)(xxxf2022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解202

14、03.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n常见分布的期望和方差常见分布的期望和方差1.二项分布二项分布-E,D=binostat(n,p)说明说明:n,p可以是标量可以是标量,向量向量,矩阵矩阵,则则E,D是对应的标量是对应的标量,向量向量,矩阵矩阵2.超几何分布超几何分布-E,D=hygestat(M,N,K)3.泊松分布泊松分布-E,D=poissstat(lambda)4.均匀分布均匀分布-E,D=unifstat(a,b)5.指数分布指数分布-E,D=expstat(lambda)6.正态分布正态分布-E,D=normstat(mu,sigma)其他：其他：gamstat(),t

15、stat(),fstat(),chi2stat()等等等等2022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解21213.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n协方差与相关系数的计算协方差与相关系数的计算1.随机变量的随机变量的协方差协方差-cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)2.随机变量的随机变量的相关系数相关系数-=cov(X,Y)/sqrt(DX*DY)3.统计数据的协方差统计数据的协方差cov(X)-当当X为向量时为向量时,cov(X)=var(X);当当X为矩阵时为矩阵时,结果结果为为X的协方差矩阵的协方差矩阵.对角线是对角线是X每列的方差每列的方差,Xij为为

16、X的第的第i列列和第和第j列的协方差值。列的协方差值。cov(X,Y)-计算向量计算向量X和和Y的协方差值的协方差值4.统计数据的相关系数统计数据的相关系数corrcoef(X),corrcoef(X,Y)-说明与用法与说明与用法与cov()相同相同2022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解22223.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n矩的计算矩的计算1.随机变量的随机变量的k阶中心矩阶中心矩-Bk=moment(X,k)2.随机变量的随机变量的k阶原点矩阶原点矩-Ak=sum(X.k)/length(X)kniikxxnB1)(1kniikxnA1)(12022-

17、1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解23233.4 参数估计参数估计n常用分布的参数估计常用分布的参数估计1.正态分布的参数估计正态分布的参数估计格式：格式：muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(X,alpha)功能：数组功能：数组X服从正态分布服从正态分布,给定显著水平给定显著水平alpha,缺省时为缺省时为0.05,前二项给出点估计，后二项给出区间估计。前二项给出点估计，后二项给出区间估计。X为矩阵时为矩阵时,针对针对列进行计算。列进行计算。2.二项分布的参数估计二项分布的参数估计(n重已知重已知,p未知未知)格式：格式：phat,puci

18、=binofit(X,n,alpha)3.泊松分布的参数估计泊松分布的参数估计格式：格式：lbdhat,lbdci=poissfit(X, alpha)4.均匀分布的参数估计均匀分布的参数估计格式：格式：ahat,bhat,aci,bci=unifit(X,alpha)2022-1-122022-1-12数理统计的MATLAB求解24243.4 参数估计参数估计5.指数分布的参数估计指数分布的参数估计格式：格式：lbdhat, lbdci=expfit(X,alpha)6.通用命令通用命令mle()格式：格式：输出参数项输出参数项=mle(分布函数名分布函数名,X,alpha ,N)说明：分布函数名有：说明：分布函数名有：bino(二项二项),geo(几何几何),hyge(超几何超几何)poiss(泊松泊松),uinf(均匀均匀),unid(离散均匀离散均匀),exp(指数指数)nor