方法技巧专题17,函数不等式证明(解析版)

1、本文格式为word版，下载可任意编辑方法技巧专题17,函数不等式证明(解析版) 方法技巧专题 函数不等式的证明 解析篇 一、 函数不等式的证明学问框架 二、构造帮助函数证函数不等式 1.例题 【例 1】已知函数 x x x f - + = ) 1 ln( ) ( ，求证：当 1 - > x 时，恒有 x xx£ + £+- ) 1 ln(111 【解析】1111) (+- = -+= ¢xxxx f 当 0 1 < < - x 时， 0 ) ( >¢ xf ，即 ) (x f 在 ) 0 , 1 (- Î x 上为增函数

2、 当 0 > x 时， 0 ) ( <¢ xf ，即 ) (x f 在 ) , 0 ( +¥ Î x 上为减函数 故函数 ( ) f x 的单调递增区间为 ) 0 , 1 (- ，单调递减区间 ) , 0 ( +¥ 于是函数 ( ) f x 在 ) , 1 ( +¥ - 上的最大值为 0 ) 0 ( ) (max= = f x f ，因此，当 1 - > x 时， 0 ) 0 ( ) ( = £ f x f ，1、 解题技巧：把不等式的证明转化为利用导数讨论函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何依据不等式的结构

3、特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键. 2、 、 解题程序： （1）移项（有时需要作简洁的恒等变形），使不等式的一端为 0，另一端即为所构造的帮助函数 ) (x f ； （2）求 ) (xf ¢，并求 ) (x f 在指定区间上的单调性； （3）求 ) (x f 在指定区间上的最值，作比较即得所证. 即 0 ) 1 ln( £ - + x x x x £ + ) 1 ln( （右边得证）， 现证边面，令 111) 1 ln( ) ( -+ + =xx x g ， 2 2) 1 ( ) 1 (111) (+=+-+= ¢xxx xx g 则 当 0

4、 ) ( , ) , 0 ( ; 0 ) ( , ) 0 , 1 ( > ¢ +¥ Î < ¢ - Î x g x x g x 时 当 时 ， 即 ) (x g 在 ) 0 , 1 (- Î x 上为减函数，在 ) , 0 ( +¥ Î x 上为增函数， 故函数 ) (x g 在 ) , 1 ( +¥ - 上的最小值为 0 ) 0 ( ) (min= = g x g ， 当 1 - > x 时， 0 ) 0 ( ) ( = ³ g x g ，即 0 111) 1 ln(

5、79; -+ +xx 111 ) 1 ln(+- ³ +xx ，综上可知，当 x xxx £ + £ -+- > ) 1 ln( 111, 1 有 时 【例 2】证明当a bb a e a b > > > 证明 , 【解析】不等式两边取对数得 b a a b ln ln > ，可化为bbaa ln ln> 令xxx fln) ( = （ e x > ），求导得 0ln 1) (2<-= ¢xxx f ， 所以 ) (x f 在 ( ) +¥ , e 上单调递减， 又 e a b > >

6、 ，所以 ) ( ) ( b f a f > ， 所以bbaa ln ln> 即 b a a b ln ln > 所以a bb a > 【例 3】证明：对任意的正整数 n，不等式3 21 1) 11ln(n n n- > + 都成立. 【解析】令 ) 1 ln( ) (2 3+ + - = x x x x h ， 则1) 1 ( 3112 3 ) (2 32+- +=+ - = ¢xx xxx x x h 在 ) , 0 ( +¥ Î x 上恒正， 所以函数 ) (x h 在 ) , 0 ( +¥ 上单调递增， ) , 0

7、( +¥ Î x 时，恒有 ， 0 ) 0 ( ) ( = > h x h 即 0 ) 1 ln(2 3> + + - x x x ，3 2) 1 ln( x x x - > + 对任意正整数 n，取3 21 1) 11ln( ) , 0 (1n n n nx - > + +¥ Î = ，则有 2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知函数 . ln21) (2x x x f + = 求证：在区间 ) , 1 ( ¥ + 上，函数 ) (x f 的图象在函数332) ( x x g = 的 图象的下方； 【解析】设 ) (

8、) ( ) ( x f x g x f - = ，即 x x x x f ln2132) (2 3- - = ， 则xx x x f12 ) (2- - = ¢ =xx x x ) 1 2 )( 1 (2+ + - 当 1 > x 时， ) (xf¢=xx x x ) 1 2 )( 1 (2+ + - 从而 ) (x f 在 ) , 1 ( ¥ + 上为增函数， 061) 1 ( ) ( > = > f x f 当 1 > x 时 0 ) ( ) ( > - x f x g ，即 ) ( ) ( x g x f < ， 故在区间

9、 ) , 1 ( ¥ + 上，函数 ) (x f 的图象在函数332) ( x x g = 的图象的下方。 【练习 2】若函数 ) (x f y = 在 r 上可导且满意不等式 ) ( ) ( x f x f x - > ¢ 恒成立，且常数 b a, 满意 b a > ，求 证： ) ( ) ( b bf a af > 【解析】由已知 x ) (xf ¢+ ) (x f gt;0 构造函数 ) ( ) ( x xf x f = ， 则 = ) ("x f x ) (xf ¢+ ) (x f gt;0， 从而 ) (x f 在

10、r 上为增函数。 q b a > ) ( ) ( b f a f > 即 a ) (a f gt; b ) (b f 【练习 3】已知函数 x x x g ln ) ( = ，设 b a < < 0 ,证明 ： 2 ln ) ( )2( 2 ) ( ) ( 0 a bb ag b g a g - <+- + < . 【解析】证明：对 x x x g ln ) ( = 求导,则 1 ln ) ("+ = x x g . 在 )2( 2 ) ( ) (b ag b g a g+- + 中以 b 为主变元构造函数, 设)2( 2 ) ( ) ( ) (x

11、 ag x g a g x f+- + =,则2ln ln )2( 2 ) ( ) (" " "x axx ag x g x f+- =+- =. 当 a x < < 0 时， 0 ) ("< x f ,因此 ) (x f 在 ) , 0 ( a 内为减函数. 当 a x > 时, 0 ) ("> x f ,因此 ) (x f 在 ) , ( +¥ a 上为增函数. 从而当 a x = 时, ) (x f 有微小值 ) (a f . 由于 , , 0 ) ( a b a f > = 所以 0 ) (

12、 > b f ,即 . 0 )2( 2 ) ( ) ( >+- +b ag b g a g 又设 2 ln ) ( ) ( ) ( a x x f x g - - = .则) ln( ln 2 ln2ln ln ) ("x a xx ax x g + - = -+- =. 当 0 > x 时, 0 ) ("< x g .因此 ) (x g 在 ) , 0 ( +¥ 上为减函数. 由于 , , 0 ) ( a b a g > = 所以 0 ) ( < b g ,即 2 ln ) ( )2( 2 ) ( ) ( a bb ag b

13、g a g - <+- + . 三、函数不等式的变形原理 【一】幂函数与 x ln 的积商形式 1.例题 【例 1】已知函数( 1)( ) lnb xf x a xx+= + ,曲线 ( ) y f x = 在点 ( ) ( ) 1, 1 f 处的切线方程为 y=2 （1）求 a,b 的值； （2）当 0 x > 且 1 x¹ 时，求证：( 1)ln( )1x xf xx+>- 【解析】（1）2( )a bf xx x¢ = - ， 由直线 2 y = 的斜率为 0，且过点 (1,2) 得(1) 2(1) 0ff= ìí= ¢

14、î，化简得：10ba b= ìí- =î ， 解得： 1 a = ， 1 b= . （2）1( ) lnxf x xx+ += + . 当 1 x> 时，不等式( 1)ln 1( ) 2ln 01x xf x x xx x+> Û - - >-， 当 0 1 x < < 时，不等式( 1)ln 1( ) 2ln 01x xf x x xx x+> Û - - <-. 令1( ) 2ln g x x xx= - - ， 2 22 2 21 2 2 1 ( 1)( ) 1x x xg xx x x

15、 x- + -¢ = + - = = . 当0 x > 时，( ) 0 g x ¢ ³ ，所以函数 ( ) g x 在 (0, ) +¥ 单调递增， 当 1 x> 时， ( ) (1) 0 g x g > = ，故( 1)ln( )1x xf xx+>-成立. 当 0 1 x < < 时， ( ) (1) 0 g x g < = ，故( 1)ln( )1x xf xx+>-也成立. 所以当 0 x > 且 1 x¹ 时，不等式( 1)ln( )1x xf xx+>-总成立. 对于这类函

16、数,一般来说，每次求导数，多项式的次数就降低一次，但最终的导数形式需化成不含 x ln的式子，如x x x f ln ) 1 ( ) ( + =，需两次求导才能化成不含 x ln 的式子，假如把 x ln 分别出来，只需一次求导就可化成不含 x ln 的式子，所以，在解决这类问题时，方法是： 尽可能把 x ln 分别出来. 2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知函数 ( ) ( )ln x af x a rx+= Î . （1）若曲线 ( ) y f x = 在点 ( ) ( ) 1, 1 f 处的切线与直线 1 0 x y - - = 平行，求 a 的值； （2）在（1）条件下，求

17、函数 ( ) f x 的单调区间和极值； （3）当 1 a = ，且 1 x ³ 时，证明： ( ) 1 f x . 【解析】（1）函数 ( ) f x 的定义域为 | 0 x x> ，所以 ( )21 ln"x af xx- -= . 又曲线 ( ) y f x = 在点 ( ) ( ) 1, 1 f 处的切线与直线 1 0 x y - - = 平行， 所以 ( ) " 1 1 1 f a = - = ，即 0 a = . （2）令 ( ) " 0 f x = ，得 xe =，当 x 变化时， ( ) " f x ， ( ) f x 的

18、变化状况如下表： x ( ) 0,e e ( ) , e +¥ ( ) " f x + 0 - ( ) f x 极大值 由表可知： ( ) f x 的单调递增区间是 ( ) 0,e ，单调递减区间是 ( ) , e +¥ ， 所以 ( ) f x 在 xe =处取得极大值， ( ) f x 的极大值为 ( )1f ee= . （3）当 1 a = 时， ( )ln 1 xf xx+= .由于 ) 1, xÎ +¥ ，要证 ( )ln 11xf xx+= £ ， 只需证明 ln 1 x x + £ ，令 ( ) ln 1 h

19、x x x = - - ，则 ( )1 1" 1xh xx x-= - = . 由于 1 x ³ ，所以 ( ) " 0 h x ³ ，故 ( ) h x 在 ) 1,+¥ 上单调递增， 当 1 x ³ 时， ( ) ( ) 1 0 h x h ³ = ，即 ln 1 x x + £ 成立 故当 1 x ³ 时，有ln 11xx+£ ，即 ( ) 1 f x . 【二】幂函数、xe 与 x ln 的混合形式 1.例题 【例 1】设函数 ( ) lnxf x e x = . （1）求( ) f x

20、 在区间1，2上的最小值； （2）证明：对任意的 (0, ) xÎ +¥ ，都有12( ) 1xef xx-> - . 【解析】（1）由题e 1( ) e ln e lnxx xf x x xx x¢æ ö= + = +ç ÷è ø， 令1( ) ln h x xx= + ，则21 1 1 1( ) 1 h xx x x x¢æ ö= - = -ç ÷è ø， 令 ( ) 0 h x¢ >，解得 1 x> ，

21、令 ( ) 0 h x¢ <，解得 1 x< ， ( ) h x 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, ) +¥ 上单调递增. min( ) (1) 1 0 h x h = = > ， ( ) f x 在区间 1,2 上单调递增， min( ) (1) 0 f x f = = . （2）证明：要证12e( ) 1xf xx-> - ，只要证12ee ln 1xxxx-> - ， 从而只要证2lne exxx x > - ，令 ( ) ln g x x x = ，2( )e exxf x = - ， ( ) ln 1 g x x¢

22、; = +，1( )e xxf x¢-= ， ( ) g x 在10,eæ öç ÷è ø上单调递减，在1,eæ ö+¥ç ÷è ø上单调递增， ( ) f x 在 (0,1)上单调递增，在 (1, ) +¥ 上单调递减， min1 1( )e eg x gæ ö= = -ç ÷è ø，max1( ) (1)ef x g = = - ， 对任意的 (0, ) xÎ +¥

23、; ，都有12e( ) 1xf xx-> - .（等号不能同时取得）， 【例 2】已知函数 . (1)若 上存在极值，求实数 m 的取值范围； 对于同时含有幂函数、xe与x ln的形式，一般的处理方法或思路是： 把xe与含幂函数形式的代数式配对； 把x ln与含幂函数形式的代数式配对. (2)求证：当 时， 【解析】 （2）要证 即证 令 ， 则 再令 ，则 当 时， ， 在 上是增函数， ， 在 上是增函数 当 时， 令 ， 则 当 时， ， 即 在 上是减函数 当 时， 所以 ，即 2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知函数ln( 1)( )xf xx+= （1）求函数( ) f x

24、 的单调区间； （2）若 0 x > ，证明：2(e 1)ln( 1)xx x - + > 【解析】（1）函数的定义域为 ( ) ( ) 1,0 0, - È +¥ ，求导得( )( )2ln 11"xxxf xx- +=， 令( ) ( ) ( )( ) ( )2 21 1ln 1 , "1 11 1x xg x x g xx xx x= - + = - = -+ + +， 令 g(x)0，解得-1x0，令 g(x)0 解得 x0， 所以 ( ) g x 单调增区间为 ( ) -1,0 ， 减区间为 ( ) 0 +¥ ， g(x)

25、g(0)=0，即 f(x)0 在定义域上恒成立， 所以 ( ) f x 的单调减区间为 ( ) -1,0 ， ( ) 0 +¥ ， ； （2）证明：将不等式变形为( ) ln 11xx xx e+-，由于( )ln 1 1ln1 1 1xxx x xex ee e e- += =- - -， 即不等式等价于( ) ( )ln 1 1ln 11xxexx e- +-， 由（1）有所以 ( ) f x 在 ( ) 0 +¥ ， 上单调递减， 所以要证原不等式成立，需证当 x0 时，xe x -1，令 ( ) 1xh x e x = - - ， 则 ( ) " 1xh

26、x e = - ，可知 h(x)0 在 ( ) 0 +¥ ， 恒成立， 即 h(x)在 ( ) 0 +¥ ， 上单调递增，故 h(x)gt;h(0)=0，即 xe x -1，故 f(x)f(e x -1)， 即( ) ( )ln 1 1ln 11 1xx xex xx e e- +- - ， 即 ( ) ( )21 ln 1xe x x - + . 【练习 2】已知函数 ( )lnxf x axx= - . （1）当 0 a = ，求函数( ) f x 的单调区间； （2）证明：当 0 x > 时，21 3ln4xxe x> - . 【解析】（1）函数( )(

27、)2ln 1"lnxf xx-=， 当 0 x e < < 且 1 x¹ 时， ( ) " 0 f x < ；当 xe >时， ( ) " 0 f x > ， 所以函数 ( ) f x 的单调递减区间是 ( ) 0,1 ， ( ) 1,e ，单调递增区间是 ( ) , e +¥ . （2）问题等价于223ln4xxx xe> - . 令 ( )2 lnm x x x = ，则 ( ) ( ) " 2 ln 2ln 1 m x x x x x x = + = + ， 当12x e-=时， ( )2 l

28、nm x x x = 取最小值12e- . 设( )234xxh xe= - ，则 ( )( ) 2"xx xh xe-= - . ( ) h x 在 ( ) 0,2 上单调递增，在 ( ) 2,+¥ 上单调递减. ( ) ( )2max4 324h x he= = - ， 2 21 4 3 3 1 42 4 4 2 e e e eæ ö- - - = - -ç ÷è ø ( )( )22 23 8 2 3 2 1604 4e e e ee e- + - -= = > ， ( ) ( )min maxm x

29、h x > ，223ln4xxx xe> - ， 故当 0 x > 时，23 1ln 04xxx e+ - > . 四、函数不等式的单零点隐零点问题 1.例题 【例 1】已知函数 ( ) lnxf x ae b x = - 在点 (1, (1) f 处的切线方程为 ( 1) 1 y e x = - + （1）求 a，b 的值； （2）求证： ( ) 2 f x > 对于 隐零点问题，题目结构特征往往呈现出指数函数、对数函数、幂函数三者中的两者混合形态，之所以要引入隐零点，归根究竟还是导数零点无法求出，在引入隐零点后，接下来的转换原则概括为： "指对幂上转

30、'，意思是：把指数结构、对数结构往幂函数上转换. 【解析】(1)函数 ( ) lnxf x ae b x = - 的导数为 ( ) "xbf x aex= - ， 函数 ( ) lnxf x ae b x = - 在点 ( ) ( ) 1, 1 f 处的切线斜率为 k ae b = - ， 由切线方程 ( ) 1 1 y e x = - + ，可得 1 ae b e - = - ， eae =， 解得 1 a= ， 1 b= ； (2)证明： ( ) lnxf x e x = - ， 导数为 ( )1"xf x ex= - ， 0 x > ，易知 ( ) &q

31、uot; f x 为增函数，且 ( )11 0, 02f fæ ö> <ç¢÷è ø¢. 所以存在1,12mæ öÎ ç÷è ø,有 ( ) 0 f m¢ = ,即1mem= ， 且 xm >时， ( ) " 0 f x > ， ( ) f x 递增； 0 x m < < 时， ( ) " 0 f x < ， ( ) f x 递减， 可得 xm =处 ( ) f x 取得最小

32、值 ( ) lnmf m e m = - 12 mm= + > ， 可得 ( ) 2 f x > 成立 【例 2】设函数 ( ) ( ) ( )22e rxf x x a a = - - Î ，e 为自然对数的底数. （1）若 ( ) f x 在 ) 0,+¥ 上单调递增，求 a 的取值范围； （2）证明：若 0,ln2 2 1 x a ³ - £ < - ，则 ( )0 f x ³ 【解析】（1）由于 ( ) f x 在 ) 0,+¥ 上单调递增, 所以 ( ) ( ) ( ) " 2 2 2 0x xf

33、 x e x a e x a = - - = - + ³ 恒成立. 令 ( )xg x e x a = - + ,当 ) 0, xÎ +¥ , ( ) " 1 0xg x e = - ³ ( ) g x 在 ) 0,+¥ 上单调递增, 依题意有 ( ) ( )min0 1 0 g x g a = = + ³ ,得 1 a³- （2）由（1）可知, ( ) g x 在 ) 0,+¥ 上单调递增,当 ln2 2 1 a - £ <- 时, ( ) 0 1 0 g a = + < , (

34、) ln2 2 ln2 0 g a = - + ³ , 存在 ( 00,ln2 x Î ,使得 ( )00 00xg x e x a = - + = , 且当 ( )00, x x Î 时, ( ) 0 g x < ,即 ( ) " 0 f x < , ( ) f x 在 ( )00,x 上单调递减 当 ( )0 ,x x Î +¥ 时, ( ) 0 g x > ,即 ( ) " 0 f x > , ( ) f x 在 ( )00,x 上单调递增 所以 ( ) f x 在 ) 0,+¥ 上的

35、最小值为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )02 20 0 0 0 0 0=2 =2 = 2xf x e x a x a x a x a a x - - - - - - + - ln2 2 1 a - £ <- , ( 00,ln2 x Î ,00 x a - > ,02 0 a x + - ³ ( )00 f x ³ ,即 ( ) 0 f x ³ 成立 或者( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0220 0=2 =2 = 2x x x x xf x e x a e e e e - - - - ( 00,ln2 x

36、 Î ,01 2xe < < ( )00 f x ³ ,即 ( ) 0 f x ³ 成立 【例 3】已知函数 ( ) 2 3xf x xe ax = + + （1）若曲线 ( ) y f x = 在 0 x = 处切线与坐标轴围成的三角形面积为92，求实数 a 的值； （2）若12a = - ，求证： ( ) ln 4 f x x ³ + 【解析】（1） ( ) ( ) 1 2xf x x e a ¢ = + + ，则 ( ) 0 2 1 f a ¢ = + 为切线斜率 又 ( ) 0 3 f = ， 切点为 ( ) 0,

37、3 曲线在 0 x = 处切成方程为 ( ) 3 2 1 y a x - = + 当 0 x = 时，3 y =，当 0 y = 时，32 1xa-=+（易知 2 1 0 a+ ¹ ） 则切线与坐标轴围成三角形面积为1 3 932 2 1 2 a-´ ´ =+ 2 1 1 a+ = 得 2 1 1 a+ =± 所以 0 a = 或 1 - （2）法一：12a = - 时， ( ) 3xf x xe x = - + 要证的不等式为 3 ln 4xxe x x - + ³ +，即 ln 1 0xxe x x - - - ³ 令 ( ) l

38、n 1xh x xe x x = - - - ，则 ( ) ( ) ( )1 11 1 1x xh x x e x ex xæ ö¢ = + - - = + -ç ÷è ø 易知 ( )h x ¢递增， ( ) 1 0h¢> ，( )1 32 02 2h eæ ö¢ = - <ç ÷è ø， ( ) 0 h x ¢ = 仅有一解0x 且001xex=，即0 0ln x x = - 当 ( )00, x x 

39、6; 时， ( ) 0 h x ¢ < ， ( ) h x 递减；当 ( )0 ,x x Î +¥ 时， ( ) 0 h x ¢ > ， ( ) h x 递增 从而 ( ) h x 最小值为 ( )00 0 0 0 0 0ln 1 1 ln 1 0xf x x e x x x x = - - - = - - - = ( ) ( )00 h x h x ³ = ，故原不等式成立 法二：12a = - 时，要证的不等式为ln 1 0xxe x x - - - ³令xt xe =，则 ln ln t x x = + 故问题化为证

40、不等式 ln 1 0 t t - - ³ 恒成立 ( ) 0, xÎ +¥ 时， ( ) 0,xt xe = Î +¥ 令 ( ) ln 1 h t t t = - - ，则 ( )1 11th tt t-¢ = - = ，当 ( ) 0,1 tÎ 时，( ) 0 h t¢ <， ( ) h t 递减； 当 ( ) 1, tÎ +¥ 时， ( ) 0 h t ¢ > ， ( ) h t 递增 ( ) ( ) 1 0 h t h ³ = ，从而原不等式成立 2.巩固

41、提升综合练习 【练习 1】已知 ( )xf x e = ， ( ) ( ) ln 2 g x x = + . （） ( )f x 和 ( ) g x 的导函数分别为( ) f x¢和 ( ) g x ¢ ，令 ( ) ( ) ( ) h x f x g x ¢ ¢ = - ，推断 ( ) h x 在 ( ) 2, - +¥ 上零点个数； （）当 2 x>- 时，证明 ( ) ( ) f x g x > . 【解析】（i） xe x f = ¢ ) (， ( ) ( )122g x xx¢ = > -+ (

42、) ( )122xh x e xx = - > -+ xe y =与12yx= -+在 ( ) 2, - +¥ 上单调递增 ( ) h x 在 ( ) 2, - +¥ 上单调递增 ( )11 1 0 he- = - < ， ( )1 10 1 02 2h = - = > $ 唯一的 ( )01,0 x Î - ，使得 ( )00 h x = ( ) h x 在 ( ) 2, - +¥ 内有且只有一个零点 （ii）令 ( ) ( ) ( ) ( ) ln 2xh x f x g x e x = - = - + ，则 ( )12xh x e

43、x¢ = -+. 由（i）可知：存在0( 1,0) x Î - 使得 ( )000102xh x ex¢ = - =+，即：0012xex=+ 当 ( )02, x x Î - 时， "( ) 0 h x < ， ( ) h x 单调递减；当 ( )0 ,x x Î +¥ 时， "( ) 0 h x > ， ( ) h x 单调递增 ( ) ( ) ( )( )0 0200 0 0 0min0 01 1ln 2 02 2x xxh x h x e x e x xx x+ = = - + = + = +

44、= >+ + ( ) ( ) f x g x > 【练习 2】已知函数 ( ) sin cos ( , ) f x a x b x a b r = + Î ，曲线 ( ) y f x = 在点 ( , ( )3 3fp p处的切线方程为：3y xp= - . （1）求 a ， b 的值； （2）设 kÎr ，求函数 ( ) ( )3g x kx f xp= - + 在 0, 2p上的最大值. 【解析】（1）由切线方程知，当3xp= 时， 0 y = ，3 103 2 2f a bp æ ö= + =ç ÷è &#

45、248; ( ) cos sin f x a x b x = - ¢ ， 由切线方程知，1 313 2 2f a bp æ ö= ¢ - =ç ÷è ø 1 3,2 2a b = = - （2）由（1）知， ( )1 3sin cos sin2 2 3f x x x xp æ ö= - = -ç ÷è ø ( ) sin g x kx x = - ， ( ) cos g x k x = - ¢ 当 0 k £ 时，当0,2xp 

46、3; ùÎ êúë û时， ( ) 0 g x ¢ £ ，故 ( ) g x 单调递减 ( ) g x 在 0,2p é ùê úë û上的最大值为 ( ) 0 0 g = 当 0 1 k < < 时 ( ) 0 1 0 g k- ¢ = < ， 02g kp æ ö¢ = >ç ÷è ø， 存在00,2xp æ öÎ &#

47、231;÷è ø，使 ( )00 g x ¢ = 当 )00, x x Î 时， ( ) 0 g x ¢ < ，故 ( ) g x 单调递减 当0 ,2x xp æ ùÎ çúè û时， ( ) 0 g x ¢ > ，故 ( ) g x 单调递增 ( ) g x 在 0,2p é ùê úë û上的最大值为 ( ) 0 g 或2gp æ öç ÷

48、è ø 又 ( ) 0 0 g = ， 12 2kgp p æ ö= -ç ÷è ø， 当20 kp< < 时， ( ) g x 在 0,2p é ùê úë û上的最大值为 ( ) 0 0 g = 当21 kp< < 时， ( ) g x 在 0,2p é ùê úë û上的最大值为 12 2kgp p æ ö= -ç ÷è

49、; ø 当 1 k ³ 时，当0,2xp é ùÎ êúë û时， ( ) 0 g x ¢ ³ ，故 ( ) g x 单调递增 ( ) g x 在 0,2p é ùê úë û上的最大值为 12 2kgp p æ ö= -ç ÷è ø 综上所述，当2kp£ 时， ( ) g x 在 0,2p é ùê úë

50、û上的最大值为 ( ) 0 0 g = 当2kp> 时， ( ) g x 在 0,2p é ùê úë û上的最大值为 12 2kgp p æ ö= -ç ÷è ø 【练习 3】已知函数 ( ) ( ) 1xf x alnx x e = - - ，其中 a 为非零常数 ( ) 1 争论 ( ) f x 的极值点个数，并说明理由； ( ) 2 若 ae >， ( ) i 证明： ( ) f x 在区间 ( ) 1,+¥ 内有且仅有 1 个零点；

51、( ) ii 设0x 为 ( ) f x 【解析】 ( ) 1 解：由已知， ( ) f x 的定义域为 ( ) 0,+¥ ， ( )2 xxa a x ef x xex x-= - = ¢ ， 当 0 a < 时，20xa x e - <，从而 ( ) " 0 f x < ， 所以 ( ) f x 在 ( ) 0,+¥ 内单调递减，无极值点； 当 0 a > 时，令 ( )2 xg x a x e = - ， 则由于 ( ) g x 在 ) 0,+¥ 上单调递减， ( ) 0 0 g a = > ， ( ) (

52、) 1 0a ag a a ae a e = - = - < ， 所以存在唯一的 ( )00, x Î +¥ ，使得 ( )00 g x = ， 所以当 ( )00, x x Î 时， ( ) 0 g x > ，即 ( ) " 0 f x > ；当 ( )0 ,x x Î +¥ 时， ( ) 0 g x < ，即 ( ) " 0 f x < ， 所以当 0 a > 时， ( ) f x 在 ( ) 0,+¥ 上有且仅有一个极值点. 综上所述，当 0 a< 时，函数 ( )

53、f x 无极值点；当 0 a > 时，函数 ( ) f x 只有一个极值点； ( ) 2 证明： ( ) i 由 ( ) 1 知 ( )2 xa x ef xx-¢ = 令 ( )2 xg x a x e = - ，由 a e > 得 ( ) 1 0 g a e = - > ， 所以 ( ) 0 g x = 在 ( ) 1,+¥ 内有唯一解，从而 ( ) " 0 f x = 在 ( ) 0,+¥ 内有唯一解， 不妨设为0x ，则 ( ) f x 在 ( )01,x 上单调递增，在 ( )0 ,x +¥ 上单调递减， 所以0x

54、是 ( ) f x 的唯一极值点 令 ( ) 1 h x lnx x = - + ，则当 1 x> 时， ( )1" 1 0 h xx= - < ， 故 ( ) h x 在 ( ) 1,+¥ 内单调递减， 从而当 1 x> 时， ( ) ( ) 1 0 h x h < = ，所以 1 lnx x < - 从而当 ae >时， 1 lna> ，且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0lnaf lna aln lna lna e a lna lna a = - - < - - - = 又由于 ( ) 1 0 f

55、= ，故 ( ) f x 在 ( ) 1,+¥ 内有唯一的零点 ( ) ii 由题意，( )( )0100f xf xì =ïí=¢ï î即( )01201 101 0xxa x ealnx x eì - =ïí- - =ï î， 从而 ( )0 120 1 11x xx e lnx x e = - ，即1 011201x xxlnx ex-= 由于当11 x > 时，1 11 lnx x < - ，又1 01 x x > > ， 故1 0112021

56、x xxe xx-< -，即1 020x xe x-< ， 两边取对数，得1 020x xlne lnx-< ， 于是1 0 02 x x lnx - < ，整理得0 0 12 x lnx x + > 五、函数不等式的双零点问题 【一】双零点是二次函数的零点 1.例题 【例 1】已知函数 ( )2ln 2 , f x x ax a a r = + - Î ( ) 1 若 ( ) f x 在13x = 处取得极值,求函数的单调区间 ( ) 2 若, m n 是函数( ) f x 的两个极值点,且 mn <,求证： 1 mn> 【解析】(1) (

57、 ) f x 的定义域为 ( ) 0, ¥ + , ( )12 2 f x axx¢ = + - , ( ) f x 在13x = 处取得极值,1 2 33 2 0,3 3 2af a ¢ = + - =æ öç ÷è ø = - 当讨论的双零点是二次函数的零点时，此时可认为两零点的关系是明确的，可依据韦达定理得到两零点之间满意的关系，消元后进一步求解. ( )( )( )21 3 1 1 3 2 13 2x x x xf xx x xx+ - + -¢ = - - = - = - . 103x

58、 < < 时, ( ) " 0 f x > ；13x > 时, ( ) " 0, f x < ( ) f x 的单调增区间为10,3æ öç ÷è ø,单调减区间为1,3æ+¥öç ÷è ø ( ) 2 ( ) ( )22 2 1 " 0ax xf x xx- += > , ( ) f x 有两个极值点, m n , 4 8 0, 0 a a d = - > > ,102a < &l

59、t; 故112mna= > 得证 【例 2】已知函数21 3( ) ln 22 2f x x ax x = + - + ( 0) a ³ . （1）争论函数( ) f x 的极值点的个数； （2）若( ) f x 有两个极值点1 ,x2x ，证明： ( ) ( )1 20 f x f x + < . 【解析】（1）1( ) 2 f x axx¢ = + -22 1 , ax xx- +=(0, ) xÎ +¥ . 当 0 a = 时，2 1( )xf xx- +¢ = . 当10,2xæ öÎ 

60、1;÷è ø时， ( ) 0 f x¢ >，所以( ) f x 在10,2æ öç ÷è ø上单调递增； 当1,2xæ öÎ +¥ç ÷è ø时， ( ) 0 f x¢ <，所以( ) f x 在1,2æ ö+¥ç ÷è ø上单调递减. 即函数( ) f x 只有一个极大值点12，无微小值点. 当 0 1 a < <

61、; 时， 4 4 0 a d = - > ， 令 ( ) 0 f x¢ =，得1 1 axa± -=. 当1 1 1 10, ,a axa aæ ö æ ö- - + -Î +¥ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø时， ( ) 0 f x¢ >， 所以( ) f x 在1 10, ,aaæ ö- -ç ÷ç ÷

62、è ø1 1,aaæ ö+ -+¥ç ÷ç ÷è ø上单调递增； 当1 1 1 1,a axa aæ ö- - + -Î ç÷ç ÷è ø时， ( ) 0 f x¢ <， 所以( ) f x 在1 1 1 1,a aa aæ ö- - + -ç ÷ç ÷è ø上单调递减. 即函数( ) f x 有一个极

63、大值点 11 aa- -，有一个微小值点 11 aa+ -. 当 1 a³ 时， 4 4 0 a d= - £ ，此时( ) 0 f x ¢ ³ 恒成立， 即( ) f x 在 (0, ) +¥ 上单调递增，无极值点. 综上所述，当 0 a = 时，( ) f x 有且仅有一个极大值点，即只有 1 个极值点； 当 0 1 a < < 时，( ) f x 有一个极大值点和一个微小值点，即有 2 个极值点； 当 1 a³ 时，( ) f x 没有极值点. （2）由（1）可知，当且仅当 0 1 a < < 时， (

64、) f x 有两个极值点1 ,x2x ，且1 ,x2x 为方程22 1 0 ax x - + =的两根， 即1 22, x xa+ =1 21x xa= ， 所以 ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 1 2 1 2ln 2 32af x f x x x x x x x + = + + - + + 21 4 2 4ln 32aa a a aæ ö= + - - +ç ÷è ø 2ln 2 aa= - - + . 令2( ) ln 2, g a aa= - - + (0,1) aÎ ， 则2 21 2 2( )

65、0ag aa a a-¢ = - + = > 恒成立， 所以 ( ) g a 在 (0,1) 上单调递增， 所以 ( ) (1) ln1 2 2 0 g a g < = - - + = ， 即 ( ) ( )1 20 f x f x + < . 【例 3】已知函数( )( )( )2ln2x af x x a r+= + Î的导函数为 ( ) " f x . （1）若曲线 ( ) y f x = 在 1 x= 处的切线与直线 3 1 0 x y + + = 垂直，求 a 的值； （2）若 ( ) " f x 的两个零点从小到大依次为1x

66、 ，2x ，证明：( )122xf x > . 【解析】（1）由于( )( )( )2ln 02x af x x x+= + >，所以 ( ) ( )1" 0 f x x a xx= + + > . 由于直线 3 1 0 x y + + = 的斜率为13- ， 曲线 ( ) y f x = 在 1 x= 处的切线与直线 3 1 0 x y + + = 垂直，所以 ( )1" 1 13fæ ö´ - = -ç ÷è ø， 即 1 1 3 a + + = ，所以 1 a = . （2）由于(

67、 ) ( )21" 0x axf x xx+ += > ，且 ( ) " f x 的两个零点从小到大依次为1x ，2x ， 所以1x ，2x 是方程21 0 x ax + + =的两个根， 所以1 2x x a + = - ，1 21 = x x ， 又1 gt;0x ，20 x > ，1 2x x < ，所以1 20 1 x x < < < 且221a xx= - -， 欲证 ( )122xf x > ，只需证( )2112f xx> ， 而( )( )22 222 21 221ln12ln12x a xf xx xx xx

68、+ += = +， 令 ( ) ( )1ln 12x g x x xx= + > ，则 ( )2"1ln 1 02xxg x = - + + > ， 所以 ( ) g x 在 ( )1,+¥ 上单调递增， ( )121 g = 所以 ( )12g x > ， 所以 ( )122xf x > 成立. 2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知函数21( ) 1 f x ax x nx= - - （1）若 ( ) f x 在点 ( ) (1 ) 1 f ， 处的切线与直线 2 1 y x = + 平行，求 ( ) f x 在点 ( ) (1 ) 1 f ，

69、的切线方程； （2）若函数 ( ) f x 在定义城内有两个极值点1x ，2x ，求证： ( ) ( )1 22ln2 3 f x f x + < - 【解析】（1）2( ) ln , f x ax x x = - + 1( ) 2 1 f x axx¢ = - + " (1)2 k f a = = 由于( ) f x 在点 (1, (1) f处的切线与直线 2 1 y x = + 平行， 2 2 a = ，即 1 a = (1) 0, f = 故切点坐标为 ( ) 1,0 切线方程为 2 2 y x = - （2）21 2 1( ) 2 1 ,ax xf x axx x- +¢ = - + = 由题知方程22 1 0 ax x - + =在 ( ) 0 +¥ ， 上有两个不等实根1 2, x x . 1 21 21 8 0,10,210,2ax xax xaìïd = - >ïï + = >íïï= >ïî10 .8a < < 又2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ln ln f x