八年级数学“分式及其基本性质与运算”复习华东师大版知识精讲

1、初二数学初二数学“分式及其基本性质与运算分式及其基本性质与运算”复习复习华东师大版华东师大版【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容： “分式及其基本性质与运算”复习二. 重点、难点： 1. 重点： （1）了解分式、有理式、最简分式、最简公分母等概念，掌握分式的基本性质，会熟练地进行通分和约分。 （2）掌握分式的加、减、乘、除与乘方的运算法则，会进行简单的分式运算. 2. 难点： （1）在分式的混合运算中，灵活选择运算律，掌握一些常用的运算技巧； （2）掌握分式求值中的几种技巧和方法。三. 知识梳理： 1. 分式的概念： 设 A、B 是两个整式，AB 就可以写成的形式，如果 B 中含有字母，

2、则叫做分BABA式，其中 A 为分子，B 为分母。当分母 B0 时，分式有意义；当 A0，且 B0 时，分式的值为 0；当 A0，且 B0，或 A0，且 B0，且 B0，或 A0 时，。0BA 2. 分式基本性质： 分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为 0 的整式，分式的值不变，即(M 为不为 0 的整式)。它是分式通分和约分的根据。MBMAMBMABA 3. 分式的约分： 把分式的分子、分母中的公因式约去叫约分。 公因式是分子与分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂。 4. 分式的通分： 将几个异分母的分式化成同分母的分式叫分式的通分。最简公分母是各分母系数的最小公倍数，相同因式的最高次

3、幂，所有不同因式的积。 5. 分式乘法： 将分子、分母分别相乘，即。bcaddcba 分式除法：将除式分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即。bcadcdbadcba 6. 分式乘方： (b0)。nnnbaba 分式开方： (a0，b0)。baba 7. 分式的加减： （1）同分母分式相加减：；bcabcba （2）异分母分式相加减：。bdbcadbdbcbdaddcba 8. 分式混合运算：分式混合运算的顺序为：分式的混合运算，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号内的。 运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律等，运算结果必须是最简分式或整式。 注：前两节的知识框架总结

4、如下：【典型例题典型例题】 例 1. 若分式的值等于零，则 x_；若分式的值等于 0，则12xx23) 1)(2(2xxxxx_。 分析：分析：根据分式的值为零的条件来解答，即：如果是一个分式，则0BABA. 0, 0BA 解：解：由 x20，得 x2. 当 x2 时 x10，所以 x2； 由（x2） （x1）0，得 x20 或 x10，所以 x2 或 x1。当 x1 时， =0，所以只取 x2。232 xx 例 2. 当 x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（） A. B. C. D. 21xx 121xx112xx1|1xx 分析：分析：一个分式有无意义，取决于它的分母是否等于 0。即

5、若是一个分式，则有BABA意义B0。 解：解：当 x0 时，x20，所以选项 A 不是；当 x时，2x10，所以选项 B 不21是；因为 x20，所以 x210，即不论 x 为何实数，都有 x210，所以选项 C 是；当 x1 时，x10，所以选项 D 不是。故选 C。 例 3. 23111xxxx 分析：分析：分式的混合运算，与实数的混合运算相似，一般是先算乘除，后算加减，有括号应先算括号里面的。本题注意整体思想的运用。 解：解：原式=2213213111111xxxxxxxxx =.222421(2)1111141(2)(2)2xxxxxxxxxxxxxx 例 4. 化简123(1)(1)

6、(3)(3)(6)x xxxxx 分析：分析：如果直接通分，运算非常复杂.观察到分母中两因式之差等于分子，可逆用分式的通分法则，把每个分式拆成两分式之差，消去一些项使分式运算变简单。 解：解：原式111111()()()11336xxxxxx 116xx 6(6)x x 例 5. 计算221111()()()abababab 分析：分析：若先算括号里面的，运算就比较复杂，考虑到后面除以，可以用11abab平方差公式分解因式后化简。 解：解：原式=111111()()()abababababab =11abab =222aab 例 6. 计算22()33xyxyxyxxyxx 分析：分析：如果按

7、照法则进行，先算括号里面的，过程就比较繁琐，而用乘法分配律进行计算.运算就简单多了。 解：解：原式=222()33xyxxyxxyxxyxy =22(2)33xxxxy =2xxy 注：注：当碰到有括号的运算时，要根据具体的式子，观察分析是先算括号里面的还是使用乘法分配律。 例 7. 已知，则 M_。yxyxyxyxyyxM222222 分析：分析：两个相等的分式，如果分母相等，那么，它们的分子也一定相等；反之，如果分子相等，它们的分母也一定相等（分子不为 0） 。 解：解：yxyxyxyxy2222 =.2222222222222222222yxxyxyxyxyxyyxyxyxyxyxy ，

8、=x222222yxxyxM 例 8. 已知 x 为整数，且为整数，求所有符合条件的 x 值的和。222218339xxxx 分析：分析：显然在原式形式下无法确定满足条件的 x 的值， 需先经过化简计算才能使问题得到解决，这是解决分式问题常用的做法。 解：解：原式=2221833(3)(3)xxxxx =2(3)2(3)218(3)(3)(3)(3)(3)(3)xxxxxxxxx =2626218(3)(3)xxxxx =262(3)2(3)(3)(3)(3)3xxxxxxx 显然，当 x-3=2，1，-2 或-1，即 x=5，4，2 或 1 时，的值是整数，所以满足条23x件的数只有 5，4

9、，2，1 四个，所以符合条件的 x 的值的和是：5+4+2+1=12。 例 9. 已知=8，求和的值。221aa1aa1aa 分析：分析：本题充分运用了 a 与的倒数关系，注意运用以下的关系式：1a 222112aaaa 灵活运用这一变形便可巧妙地解决这类求值问题。 解：解：在=8 的两边都加上 2，得221aa2110aa 所以有=1aa10 类似地：=8 的两边都减去 2，得221aa216aa 所以有=1aa6 变式题：变式题：已知，求的值。2310 xx 221xx 由得：2310 xx 1130 3xxxx 即: 22211()27xxxx 例 10. 若 x，y，z 满足，求分式3

10、71xyz4102006xyz的值。2005200520053xyzxy 分析：分析：可将其中的字母 z 看做已知数，用含有的 z 的代数式分别表示 xy，再将其代入分式计算，最后约去 z，从而求出分式的值。这里我们用整体思想来解答。 解：解：由题意得：3714102006xyzxyz 化简得：2(3 )()13(3 )()2006xyxyzxyxyz 解得：320054009xyxyz 原式40092005()2005 ( 4009)32005xyzxy 例 11. 甲工人与乙工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产 8 个，现在要求甲生产出168 个这种零件，要求乙生产出 144 个这种零件

11、，他们两个人谁能先完成任务呢？ 分析：分析：先用含 x 的代数式分别表示甲和乙生产 168 个和 144 个零件各需要的时间，再比较时间的大小从而得出结果.需要注意的是，本题要用到求差比较两数大小与分类的思想。 提醒：提醒：利用求差来比较两个数的大小，是比较大小的一种常用方法。 求差的结果无法直接与 0 比较大小时，则必须讨论各种可能出现的情况。 解：解：设乙每小时生产 x 个零件，则甲每小时生产（x+8）个零件。 则乙生产 144 个这种零件需小时，甲生产 168 个这种零件需小时。144x1688x 168144168144(8)168144(8)8(8)(8)(8)xxxxxxx xx xx x 1681441152241152(8)(8)xxxx xx x