导数应用常见九种错解剖析

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑导数应用常见九种错解剖析 导数应用常见九种错解剖析 导数作为一种工具，在解决数学问题时极为便利，尤其是利用导数求函数的单调性、极值、最值、和切线的方程，但是笔者在教学过程中，发觉导数的应用还存在很多误区。 一、对导数的定义理解不清致错 例 1、已知函数 63241) (3 4+ - = x x x f ，则0(1 x)- ( x)lim ( )2xf fxD +D D=D B 0 C 12- D 2 错解： Q 1 ) 1 ( , 2 ) (/ 2 3 /- = = - = f x x x f 原式 ，从而选；或 0 ) 0 ( , 2 ) (/ 2 3 /

2、= = - = f x x x f 原式 剖析：防错的关键是仔细理清导数的定义特殊是要分清导数定义中 x D 与 y D 的对应形式的多样性。 正解：原式=/0 0(1 x)- (1) 1 (1 x)- (1) 1 1lim lim (1)=2 2 (1 ) 1 2 2x xf f f ffx xD D +D +D= = -D +D -,从而应选。 点评：/ ( )f x =xx f x x fxyx xD- D +=DD D D) ( ) (lim lim0 00 0,函数在某一点 x 0 处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中

3、的自变量的增量 x D 必需保持对应全都，它是非零的变量，它可以是2 x D ，21x D 等。在导数定义中应特殊留意 x D 与 y D 的对应形式的多样性，但不论哪种形式都应突现 x D 与 y D 的全都性。 二、对连续与可导定义理解不清致错。 例 2、函数 y=f(x)在 x=x 0 处可导是函数 y=f(x)在 x=x 0 处连续的（ ） 、充分不必要条件 B 必要不充分条件 、充要条件 、既不充分也不必要条件 错解： 认为连续与可导是同一个概念而错选。或者对充分、必要条件的概念不清而导致错选。 剖析：防错关键是（）理清充分、必要条件的概念；（）函数 y=f(x)在 x=x 0 处可

4、导必在 x=x 0处连续，函数 y=f(x)在 x=x 0 处连续不肯定在 x=x 0 处可导。如函数 | | x y = 在 x=处连续但在 x=处不行导。 Q Q 又 -=0 ,0 ,x xx xy0 0 0 0lim ( ) lim 0, lim ( ) lim( ) 0, ( )x x x xf x x f x x f x+ + - - = = = - = 在 x=处连续，0 0y y(0 ) (0) | |, lim 1, lim 1,x xy f x f xx x+ -D D D DD = +D - = D = = - D D当0 x D 时，yxDD的左右极限不相等，所以其极限不

5、相等，因此函数 | | x y = 在 x=处不行导。从而本题应选。 三、对/0( ) f x 为极值的充要条件理解不清致错。 例 3、函数 f(x)=x3 +ax 2 +bx+a 2 在 x=1 处有极值 10，求 a、b 的值。 错解： / ( )f x =3x2 +2ax+b,由题意知 / (1)f =0,且 f(1) =10,即 2a+b+3=0,且 a2 +a+b+1=10,解之得 a=4,b=11 ,或 a=3 b=3 剖析：错误的主要缘由是把/0( ) f x 为极值的必要条件当作了充要条件，/0( ) f x 为极值的充要条件是/0( ) f x =0 且 x 0 四周两侧的符

6、号相反.，所以后面应当加上：当 a=4,b=11 时/ ( )f x =3x2 +8x11=（3x+11）(x1),在 x=1 四周两侧的符号相反， a=4,b=11.当 a=3 b=3 时 fl (x)=3（x1） 2 , 在 x=1 四周两侧的符号相同，所以 a=3 b=3 舍去。 （a=4,b=11 时，f(x)=x3 +4x 2 11x+16的图象见下面左图，a=3 b=3 时（f(x)=x3 3x 2 +3x+9 的图象见右图。） 四、对函数的单调区间考虑不全致错 例 4、求函数 ( ) f x = ) 1 ln( + - x x (x0)的单调增区间。 错解：由题意得/ ( )f

7、x =1121+-x x 0， 0 1 22 + - x x ， 1 x ，又由于函数的定义域 是（0，+ ），所以函数的单调递增区间是（0，1）和（1，+ ）。 剖析：本题错在对函数在 x=1 处是否连续没有讨论，明显函数在 x=1 处是连续的，所以函数的单调递增区间是（0，+ ）.对于/ ( )f x 0（或/ ( )f x 0）的解集中的断开点的连续性，我们要进行讨论，不能草率下结论。 五、对函数单调的充要条件理解不清致错 例 5、已知函数 f(x)=21+xax在(2,+ ) 内单调递减，求实数 a 的取值范围。 错解：/ ( )f x =2) 2 (1 2+-xa,由函数 f(x)

8、在(2,+ ) 内单调递减知/ ( )f x 0 在(2,+ )内恒成立，即2) 2 (1 2+-xa0 在(2,+ ) 内恒成立，因此 a 21. 剖析：错误的主要缘由是由于对于函数 f(x) 在 D 上单调递增（或递减）的充要条件是/ ( )f x 0 (或/ ( )f x 0 )且/ ( )f x 在 D 任一子区间上不恒为零没有理解。而当 a=21时/ ( )f x =0 在( 2,+ ) 恒成立，所以不符合题意，所以舍去。即实数 a 的取值范围为1( , )2- 。 六、没有考虑函数在某点不行导致错 例 6、求 f(x)=32 2) 2 ( x x - 在1，3上的最大值和最小值。

9、错解：由题意得/ ( )f x =3 22134x xx- ，令/ ( )f x =0 得 x=1. , 9 ) 3 ( , 1 ) 1 ( , 9 ) 1 (3 3= = = - f f f Q 当 x=1 和 3 时，函数的最大值是39 ，当 x=1 时，函数的最小值是 1. 剖析：错误的主要缘由是解题过程中忽视了对函数的不行导点的考察，由于函数的最值可以在导数为零的点或不行导点或区间的端点处取得.所以后面应当加上：在定义域内不行导的点为：x 1 =0,x 2 =2 ，, 9 ) 3 ( , 1 ) 1 ( , 9 ) 1 (3 3= = = - f f f Q f(0)=0 ,f(2)=

10、0 当 x=1 和 3 时，函数的最大值是39 ，当 x=0 或 2 时，函数的最小值是 0。事实上只要作出函数 f(x) 的图象就不难发觉当 x=0 或 2 时，函数的最小值是 0。当 x=1 和 3 时，函数的最大值是39 。 七、忽视原函数的定义域致错。 例 6、求函数2x x y - = 的单调增区间 错解： - -= - = = = - =-210 2 1 0 ,22 1) 2 1 (21) ( ,/221/ / /212x x yx xxx u u y y u u f x x ux u 知 由 则 设函数2x x y - =的单调增区间为 )21, (- 。 剖析：错解缘由主要是忽

11、视原函数的定义域所致。 正解：先求原函数的导函数即,210 1 0 , 0 ,210 2 1 0 ,22 12 /2/ - - -= x x x x x x yx xxy Q 又 知 由 因此原函数2x x y - = 的单调增区间为 21, 0 评析：利用导数求函数的单调区间，别忘了考虑原函数的定义域。 八、忽视导函数与原函数图象关系致错。 例 8、设 ) (x f 是函数 ) (x f 的导函数， = y ) (x f 的图象如图所示，则 ) (x f y = 的图象最有可能的是（ ） 错解：本题是一道高考选择题，抽样表明很多考生由于对导函数与原函数图象关系深化不够而凭空乱猜。 剖析：由导

12、函数的图象知，导函数在 x=0 和 2 时的导函数 值为 0，故原来的函数 ) (x f y = 在x=0 和 2 时取得极值。当 2 0 x x 或 时，导函数值为正（或 0），当 2 0 x 时，导函数值为负,所以当 2 0 x x 或 时函数 ) (x f y = 为增函数 ，当 2 0 - c b ，函数 b x x f + = ) ( 的图象与函数 c bx x x g + + =2) ( 的图象相切。求 b 与 c 的关系式（用 c 表示 b）。 错解：由函数的导函数就是曲线的切线方程知， ) ( ) ( x g x f = ，得 1 2 = +b x ，故21 bx-= 。从而有 b c c bx x b x = + + = +2 剖析：本题前面得到21 bx-= 是对的，由于条件不够，就胡乱认为： ) ( ) ( x g x f = 而造成错解。 正解：依题意令 )