检测系统的误差合成

1、第第2章章 检测系统的误差合成检测系统的误差合成 2.1 测量误差的基本概念测量误差的基本概念 2.2 随机误差及其处理随机误差及其处理 2.3 系统误差的处理系统误差的处理2.4 测量粗大误差的存在判定准则测量粗大误差的存在判定准则 2.5 测量系统的误差计算方法测量系统的误差计算方法 2.6 测量系统最佳测量方案的确定测量系统最佳测量方案的确定 参考书：参考书：费业泰，费业泰，误差理论与数据处理误差理论与数据处理，机械工业出版社，机械工业出版社1. 1. 误差的误差的表示方法表示方法和和分类分类2. 2. 仪表准确度等级（仪表准确度等级（见课件见课件）3. 3. 粗大误差的处理方法：粗大误

2、差的处理方法：剔除剔除。4. 4. 随机误差的相关计算随机误差的相关计算q真值的估计真值的估计q标准差的估计标准差的估计q残差的概念及计算残差的概念及计算本章重点本章重点5. 5. 系统误差的判别系统误差的判别q实验对比法（实验对比法（发现恒值系差发现恒值系差）q残余误差观察法（发现残余误差观察法（发现有规律变化有规律变化的系统误差）的系统误差）q不同公式计算标准差比较法（不同公式计算标准差比较法（两个公式两个公式）6. 6. 粗大误差处理粗大误差处理q判断粗大误差的准则：判断粗大误差的准则： 准则准则37. 7. 误差的合成与分配误差的合成与分配n合成合成q随机误差的合成随机误差的合成研究误

3、差的目的研究误差的目的 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及受人们的认识能力的限制等，影响，以及受人们的认识能力的限制等，测量和实验测量和实验所得的数据和被测量的真值之间，所得的数据和被测量的真值之间，不可避免不可避免的存在差异的存在差异。误差存在的原因误差存在的原因 充分认识，并进充分认识，并进而而减小或消除误差减小或消除误差。研究误差的意义研究误差的意义 正确认识误差的性质，分析产生误差的原因，以减小或正确认识误差的性质，分析产生误差的原因，以减小或消除误差。消除误差。 正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一正确处理测量

4、和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。定条件下得到更接近于真值的数据。 正确组织实验过程，合理设计或选用仪器和测量方法，以正确组织实验过程，合理设计或选用仪器和测量方法，以便在最经济的条件下得到理想的结果。便在最经济的条件下得到理想的结果。从根本上，消除或减小误差从根本上，消除或减小误差通过计算得到更接近真值的数据通过计算得到更接近真值的数据根据目标确定最佳系统根据目标确定最佳系统2.1 测量误差的基本概念测量误差的基本概念 2.2 随机误差及其处理随机误差及其处理 2.3 系统误差的处理系统误差的处理2.4 测量粗大误差的存在判定准则测量粗大误差的存在判定准则

5、 2.5 测量系统的误差计算方法测量系统的误差计算方法 2.6 测量系统最佳测量方案的确定测量系统最佳测量方案的确定 参考书：参考书：费业泰，费业泰，误差理论与数据处理误差理论与数据处理，机械工业出版社，机械工业出版社2.1 测量误差的基本概念测量误差的基本概念 2.1.1 与测量误差相关的名词术语与测量误差相关的名词术语（1 1）真值）真值（2 2）标称值）标称值（3 3）示值）示值（4 4）测量结果）测量结果（5 5）测量结果的精度）测量结果的精度（6 6）测量不确定度）测量不确定度（7 7）测量误差）测量误差 2.1.1 测量误差的名词术语测量误差的名词术语（1）真值）真值 指一定的时间

6、及空间条件下，某物理量体现的指一定的时间及空间条件下，某物理量体现的真实数值真实数值。真值是客观存在，但不可测量的，是一个理想的概念真值是客观存在，但不可测量的，是一个理想的概念。 在测量中，一方面在测量中，一方面无法获得真值无法获得真值，而另一方面又往往，而另一方面又往往需需要运用真值要运用真值。因此，在实际计量和测量工作中，经常使用。因此，在实际计量和测量工作中，经常使用“约定真值约定真值”和和“相对真值相对真值”。 约定真值约定真值是指对给定的目的而言，它被认为充分接近于是指对给定的目的而言，它被认为充分接近于真值，因而真值，因而可以代替真值来使用可以代替真值来使用。在实际测量中，被测量

7、的在实际测量中，被测量的实际值、已修正过的算术平均值均可作为约定真值。实际值、已修正过的算术平均值均可作为约定真值。 相对真值相对真值叫实际值，是在叫实际值，是在满足规定准确度时满足规定准确度时用来代替真用来代替真值使用的值。值使用的值。（2）标称值）标称值 计量或测量器具上标注的量值。计量或测量器具上标注的量值。如如: :标准砝码上标出的标准砝码上标出的1kg1kg，受制造、测量及环境条件变化的影响，标称值并不一定等于受制造、测量及环境条件变化的影响，标称值并不一定等于它的实际值。为此，通常在给出标称值的同时也给出它的它的实际值。为此，通常在给出标称值的同时也给出它的误误差范围差范围或或精度

8、等级精度等级。（3）示值）示值 由测量仪器给出或提供的量值，也称由测量仪器给出或提供的量值，也称测量值，显测量值，显示值示值。（4 4）测量结果）测量结果 由测量所得的测量值。在测量结果的表述中，除了由测量所得的测量值。在测量结果的表述中，除了示值，还应包括示值，还应包括测量不确定度测量不确定度和有关和有关影响量影响量的值。的值。（5）测量结果的精度）测量结果的精度 反映测量结果与真值接近程度的量。反映测量结果与真值接近程度的量。它与误差大小相对它与误差大小相对应，即：应，即：误差大，精度低；误差小，精度高误差大，精度低；误差小，精度高。也就是说精度。也就是说精度是从另一角度评价测量误差大小的

9、量，可细分为：是从另一角度评价测量误差大小的量，可细分为：（a a）精密度）精密度 （反映测量中（反映测量中随机误差随机误差的大小，即测量结果的分的大小，即测量结果的分散程度），散程度），（b b）准确度）准确度（反映测量中（反映测量中系统误差系统误差的大小，即测量结果偏离的大小，即测量结果偏离真值的程度），真值的程度），（c c）精确度）精确度（反映测量中（反映测量中系统误差与随机误差综合影响系统误差与随机误差综合影响的程的程度）。度）。 任何一次测量中，系差和随差都是任何一次测量中，系差和随差都是同时存在同时存在的，而且两者的，而且两者之间之间并没有严格的界限并没有严格的界限。0.2S级（

10、发电厂用）、级（发电厂用）、0.5S级、级、1.0级（家用）、级（家用）、2.0级级0.2S是指为满足特殊使用要求制造的是指为满足特殊使用要求制造的0.2级，级，S是是special的意思的意思。 FS: Full Scale 满量程的百分之几满量程的百分之几（6）测量不确定度）测量不确定度 指由于测量误差的存在，对被测量值的不能肯定的程度。指由于测量误差的存在，对被测量值的不能肯定的程度。它是测量结果质量的指标。不确定度愈小，所测结果与被测它是测量结果质量的指标。不确定度愈小，所测结果与被测量的真值愈接近，质量越高，其使用价值越高；量的真值愈接近，质量越高，其使用价值越高； （7）测量误差）

11、测量误差 测量结果与被测量真值之差，即：测量结果与被测量真值之差，即：测量误差测量误差= =测量结果真值。测量结果真值。2.1.2 测量误差的分类测量误差的分类 为便于分析与处理误差，为便于分析与处理误差，按照其特点与性质按照其特点与性质，可将误差分为，可将误差分为系统误差系统误差、随机误差随机误差和和粗大误差粗大误差三大类。三大类。（1 1）系统误差）系统误差 在相同条件下，对同一被测量进行在相同条件下，对同一被测量进行多次重复测量多次重复测量时，出现时，出现某种某种保持恒定保持恒定或或按一定规律变化按一定规律变化着的误差称为系统误差。着的误差称为系统误差。 根据其变化规律根据其变化规律又可

12、分为又可分为已定系统误差已定系统误差（误差大小和符号（误差大小和符号已知）和已知）和未定系统误差未定系统误差（误差大小和符号未知，但可以估计其（误差大小和符号未知，但可以估计其范围）。在测量中，已定系统误差可以通过范围）。在测量中，已定系统误差可以通过修正修正来消除，且应来消除，且应当消除此类误差。当消除此类误差。 按误差的规律按误差的规律可分为可分为不变系统误差不变系统误差（误差大小和方向为固（误差大小和方向为固定值）和定值）和变化系统误差变化系统误差（误差大小和方向为变化的）。（误差大小和方向为变化的）。变化系变化系统误差统误差按其变化规律又可分为按其变化规律又可分为线性系统误差线性系统误

13、差、周期性系统误差周期性系统误差和和复杂规律系统误差复杂规律系统误差等。等。（2）随机误差）随机误差 在在相同条件相同条件下，对同一被测量进行下，对同一被测量进行多次重复测量多次重复测量时，受偶然因素影响而出现时，受偶然因素影响而出现误差的绝对值和符号以不误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化着可预知的方式变化着，则此类误差称为随机误差。，则此类误差称为随机误差。 引起随机误差的原因都是一些微小因素，只能用引起随机误差的原因都是一些微小因素，只能用概率论和数理统计方法计算它出现可能性的大小。概率论和数理统计方法计算它出现可能性的大小。随随机误差不可能修正，但在了解其统计规律性之后，可机误差不可

14、能修正，但在了解其统计规律性之后，可以控制和减少它们对测量结果的影响。以控制和减少它们对测量结果的影响。随机误差具有以下特性：随机误差具有以下特性： 1 1）绝对值相等、符号相反的误差在多次重复测）绝对值相等、符号相反的误差在多次重复测量中出现的量中出现的可能性相等可能性相等； 2 2）在一定测量条件下，随机误差的）在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会绝对值不会超出某一限度超出某一限度； 3 3）绝对值小的随机误差绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差比绝对值大的随机误差在多次重复测量中出现的机会多（在多次重复测量中出现的机会多（概率大概率大）；）； 4 4）随机误差的算术平均值随机误差的算

15、术平均值随测量次数的增加而随测量次数的增加而趋于零。趋于零。（3）粗大误差）粗大误差 在测量结果中有在测量结果中有明显错误的误差明显错误的误差称为粗大误差，称为粗大误差，也称为寄生误差。这种误差主要是也称为寄生误差。这种误差主要是由于某种不正常由于某种不正常的原因造成的的原因造成的，在数据处理时，应该，在数据处理时，应该剔除剔除含有粗大含有粗大误差的数据，误差的数据，但必须有充分依据但必须有充分依据。2.1.3 误差产生的原因误差产生的原因n误差的来源误差的来源q测量装置误差测量装置误差q环境误差环境误差q方法误差方法误差q人员误差人员误差2.1.4 测量误差的表示方法测量误差的表示方法 （1

16、 1）绝对误差）绝对误差（2 2）相对误差）相对误差（3 3）引用误差）引用误差（4 4）分贝误差）分贝误差2.1.4 测量误差的表示方法测量误差的表示方法 （1 1）绝对误差（）绝对误差（简称误差）简称误差） 绝对误差绝对误差= =测量结果真值测量结果真值 用某电压表测量电压，电压表的示值为用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查，查该表的检定证书，得知该电压表在该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差附近的误差为为5V ，被测电压的，被测电压的修正值修正值为为5V ，则修正后的测，则修正后的测量结果为量结果为226+(5V )=221V。 测得值测得值相对真值相对真值绝对误差

17、绝对误差修正值：修正值：为了消除固定的系统误差，为了消除固定的系统误差，用代数法加到测用代数法加到测量结果上的值。量结果上的值。修正值修正值= =相对真值测量结果相对真值测量结果测量误差测量误差%100%100测量结果绝对误差真值绝对误差相对误差定义：定义：被测量的绝对误差与其真值之比值的百分数值被测量的绝对误差与其真值之比值的百分数值称为相对误差，即：称为相对误差，即： （2）相对误差）相对误差 绝对误差的表示方法不能反映测量结果的准确程绝对误差的表示方法不能反映测量结果的准确程度。度。比如，测量两个电阻比如，测量两个电阻R R1 11010 、R R2 210001000 ，测量，测量过程

18、中的误差过程中的误差R R1 10.10.1 、 R R2 21 1 , ,但不能说但不能说R R1 1比比R R2 2测量地准确。测量地准确。 例：例：用两种方法测得工件用两种方法测得工件 的误差分别的误差分别为：为： ， ，无论从，无论从绝对误差绝对误差还是还是相对相对误差误差看，显然第一种方法精度较高，但若用第三种方法测得：看，显然第一种方法精度较高，但若用第三种方法测得： 时的误差为时的误差为 ，从，从绝对误差绝对误差上不好判上不好判定精度的高低，因为定精度的高低，因为 不是同一被测量，此时三者的相对误不是同一被测量，此时三者的相对误差为：差为：mmL1001mml01. 01mml0

19、2. 02mmL1802mml02. 0312,LL%011. 0%10018002. 0%02. 0%10010002. 0%01. 0%10010001. 0231211LlLlLl 由此可见，第一种方法精度最好，第三种方法次之，第二种由此可见，第一种方法精度最好，第三种方法次之，第二种方法最差。方法最差。%100仪表测量范围上限仪器仪表示值误差引用误差（3）引用误差）引用误差 仪器仪表仪器仪表示值误差示值误差与与仪表测量范围上限仪表测量范围上限的百分比，的百分比，即：即：引用误差是为了评价引用误差是为了评价测量仪表精度等级测量仪表精度等级而引入的。而引入的。 测量仪表的测量仪表的精度等级

20、精度等级应用应用最大引用误差最大引用误差，即绝对，即绝对误差的最大绝对值误差的最大绝对值| |x x | |m m与量程与量程X Xm m的比值的比值 m m ：%100|mmmXx国家标准国家标准GB776-76GB776-76测量指示仪表通用技术条件测量指示仪表通用技术条件规定，规定，电测仪表准确度等级指数电测仪表准确度等级指数 分为分为7 7个等级：个等级：0.1, 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 5.00.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 5.0例如，例如，1.51.5级的电表，表明其最大引用误差级的电表，表明其最大引用误差 m m1.5%1.5

21、% 例例2-2：检定一台量程为检定一台量程为5A的的1.5级的电流表，在电级的电流表，在电流为流为2.0A处，其绝对误差为处，其绝对误差为0.1A，问此电流表精度，问此电流表精度是否合格？是否合格？解：由题意解：由题意Im5A，1.5，I2.0A， I0.1A%5 . 1%0 . 2%100mII此电流表精度不合格。此电流表精度不合格。例例2-3：测量一个约测量一个约80V的电压，现有两块电压表，一块量程的电压，现有两块电压表，一块量程为为300V 0.5级级，另一块量程为，另一块量程为100V 1.0级级，问问选择哪一块电压选择哪一块电压表好？表好？解：使用量程为解：使用量程为300V 0.

22、5级电压表，测量的最大相对误差为：级电压表，测量的最大相对误差为：%88. 180300%5 . 01VV%25. 180100%0 . 12VV使用量程为使用量程为100V 1.0级电压表，测量的最大相对误差为：级电压表，测量的最大相对误差为：因此，应使用量程为因此，应使用量程为100V 1.0级的电压表。级的电压表。选择仪表时，尽量使被测量接近满量程，至少为满量程的选择仪表时，尽量使被测量接近满量程，至少为满量程的2/32/3。（4）分贝误差）分贝误差 分贝误差的单位为分贝误差的单位为dB。真值测量结果分贝误差lg202.1 测量误差的基本概念测量误差的基本概念 2.2 随机误差及其处理随

23、机误差及其处理 2.3 系统误差的处理系统误差的处理2.4 测量粗大误差的存在判定准则测量粗大误差的存在判定准则 2.5 测量系统的误差计算方法测量系统的误差计算方法 2.6 测量系统最佳测量方案的确定测量系统最佳测量方案的确定 参考书：参考书：费业泰，费业泰，误差理论与数据处理误差理论与数据处理，机械工业出版社，机械工业出版社 随机误差随机误差：服从大数统计规律（：服从大数统计规律（大数定律大数定律(law of large (law of large numbers)numbers)，又称大数定理，是一种描述当试验次数很大，又称大数定理，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。但

24、是注意到，虽然通常最常时所呈现的概率性质的定律。但是注意到，虽然通常最常见的称呼是大数见的称呼是大数“定律定律”，但是大数定律并不是经验规律，但是大数定律并不是经验规律，而是严格证明了的定理。而是严格证明了的定理。）的误差。）的误差。 在相同的条件下，重复测量某一量时，每次测量的随在相同的条件下，重复测量某一量时，每次测量的随机误差或正或负，不能预知；但多次测量的随机误差的总机误差或正或负，不能预知；但多次测量的随机误差的总体却体却服从正态分布服从正态分布。2.2 随机误差及其处理随机误差及其处理 随机误差的特点服从正态分布随机误差的特点服从正态分布 若测量结果中若测量结果中不含系统误差和粗大

25、误差不含系统误差和粗大误差，测量列中的，测量列中的随随机误差机误差一般有以下几个特点：一般有以下几个特点：1. 1.误差的对称性误差的对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的次数：绝对值相等的正误差和负误差出现的次数 （概率）相等；（概率）相等；2. 2. 误差的单峰性误差的单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的 次数多（概率大）；次数多（概率大）；3. 3. 误差的有界性误差的有界性：在一定的测量：在一定的测量 条件下，随机误差的绝对值不条件下，随机误差的绝对值不 会超过一定的界限；会超过一定的界限；4. 4. 误差的抵偿性误差的抵偿性：随着测量次

26、数：随着测量次数 的增加，随机误差的算术平均的增加，随机误差的算术平均 值趋向于零。值趋向于零。 随机误差随机误差 是测量结果与是测量结果与在重复在重复条件下对同一被测量进行无限多条件下对同一被测量进行无限多次次测量所得结果的测量所得结果的平均值平均值（真值）（真值）A之差。即之差。即 iAxiiniinxnA11lim式中：式中： 正态分布的随机误差正态分布的随机误差 的概率密度的概率密度 为为 )(fnnii12为均方差：为均方差： )2(2221)(pef 2.2.1 随机误差的概率分布随机误差的概率分布 由于随机误差是由测量中一系列随机因素所引起的，因由于随机误差是由测量中一系列随机因

27、素所引起的，因而随机变量的而随机变量的分布函数分布函数可用来可用来描述随机误差取某一范围值及描述随机误差取某一范围值及取值的概率取值的概率。若有一非负函数。若有一非负函数 ，使得对任意的实数，使得对任意的实数 有有分布函数分布函数 ： 则称则称 为为 的概率分布密度函数，即的概率分布密度函数，即 xfx xF dxxfxFx dxxfaFbFbxaPba xf为误差在为误差在a与与b之间的概率。之间的概率。 xF xf 222,2exp21pmNmxxf1、正态分布、正态分布如用函数如用函数 来表示各个来表示各个测得值出现的概率密度分布函数测得值出现的概率密度分布函数，则：，则：称为称为正态分

28、布函数正态分布函数或或高斯分布函数高斯分布函数。m m和和 是决定正态分布曲线是决定正态分布曲线的两个特征参数，其中的两个特征参数，其中m m表示测得值分布的集中位置，称为正态表示测得值分布的集中位置，称为正态分布的分布的位置特征位置特征，m m值改变时，分布曲线沿横坐标移动，而形状值改变时，分布曲线沿横坐标移动，而形状不变。不变。 则表示测得值的则表示测得值的分散程度分散程度，称为，称为离散特征离散特征。当。当 改变时，改变时，分布曲线位置不变，但形状改变。分布曲线位置不变，但形状改变。NmxNiiN12lim 为为均方差均方差（标准偏差），而（标准偏差），而 2 2即为方差，即即为方差，即

29、 小，则曲线尖锐，表示测得值的离散性小，也即小误差出小，则曲线尖锐，表示测得值的离散性小，也即小误差出现的机会越多，而大误差出现的机会少，即测量精度高；反现的机会越多，而大误差出现的机会少，即测量精度高；反之，之， 大，曲线平坦，表示所测得值分散。大，曲线平坦，表示所测得值分散。当测量次数趋于无当测量次数趋于无穷大时，穷大时，m m即为真值。即为真值。 通常所说随机误差服从正态分布是从统计角度而言的，也通常所说随机误差服从正态分布是从统计角度而言的，也就是就是针对测量次数极大而测量分辨率又极高的测量情况而言针对测量次数极大而测量分辨率又极高的测量情况而言的。的。 实验数据分析中，常常采用去偏差

30、并归一化的前处理实验数据分析中，常常采用去偏差并归一化的前处理方法，即设标准单位方法，即设标准单位利用标准正态分布利用标准正态分布 进行分析考察，如式进行分析考察，如式 表表2.1给出了标准正态分布给出了标准正态分布 的一些的一些 与与 的代表的代表数值。数值。mxt1 , 0N 2exp212ttfyp1 , 0Nt tfT 或z 0 .0 0 0 .5 0 0 .6 7 4 5 0 .7 9 7 9 1 .0 0 1 .9 6 2 .0 0 3 .0 0 概 率 密 度 tf 0 .3 9 8 9 0 .3 5 2 1 0 .3 1 7 7 0 .2 9 0 1 0 .2 4 2 0 0

31、.0 5 8 4 0 .0 5 4 0 .0 0 4 4 0 .0 0 置 信 概 率 z 0 .0 0 0 0 0 .3 8 2 9 0 .5 0 0 0 0 .5 7 5 1 0 .6 8 2 7 0 .9 5 0 0 0 .9 5 4 5 0 .9 9 7 3 1 .0 0 0 0 表表2.1 正态分布的概率密度和置信概率的数值表正态分布的概率密度和置信概率的数值表 dxxfaFbFbxaPba测量结果在区间测量结果在区间a, ba, b内的概率为：内的概率为： 在研究随机误差的统计规律时，不仅要知道随机变量在在研究随机误差的统计规律时，不仅要知道随机变量在哪个范围内取值，而且要知道哪个

32、范围内取值，而且要知道在该范围内取值的概率在该范围内取值的概率，两者，两者是相互关联的。是相互关联的。 置信区间：置信区间：定义为随机变量取值的范围，常用正态分定义为随机变量取值的范围，常用正态分布的标准误差布的标准误差 的倍数来表示，即的倍数来表示，即 ，其中，其中 为置信系为置信系数。数。 置信概率：置信概率：随机变量在置信区间随机变量在置信区间 内取值的概率，即：内取值的概率，即： 置信水平：置信水平：表示随机变量在置信区间以外取值的概率，表示随机变量在置信区间以外取值的概率，即：即： zzz pzxzzdxedxxfzxpz022222 zxpzz1 置信系数置信系数Z Z越大，置信区

33、间就越宽，置信概率就越大，越大，置信区间就越宽，置信概率就越大，对测量精度的要求就越低。对测量精度的要求就越低。2.2.2 随机误差的估计随机误差的估计 1 1、随机误差的两种表示方法（标准偏差和极限偏差）、随机误差的两种表示方法（标准偏差和极限偏差） 由前面分析可知，由前面分析可知，在一定的置信概率在一定的置信概率P P下下，真值真值 一定落在以测得值一定落在以测得值 为中心，以误差限为中心，以误差限 为区间的一个范围内，即为区间的一个范围内，即 式中式中 由于所取由于所取置信概率不同置信概率不同，以及表示误差的习惯，以及表示误差的习惯差异，误差有各种表示方法，但以下面两种情况最差异，误差有

34、各种表示方法，但以下面两种情况最为常见。为常见。 mxkkxmNmxNii12 标准偏差所对应的置信度标准偏差所对应的置信度P=68.3%，置信系数，置信系数k1，即真值，即真值 处于处于 范围内的可信程度为范围内的可信程度为68.3%。mix 从正态分布曲线的几何图形上看，当从正态分布曲线的几何图形上看，当 处正好是曲处正好是曲线的拐点，也即当线的拐点，也即当 以后，概率密度变化比较慢，这就是以后，概率密度变化比较慢，这就是选用标准差作为误差限的理由之一。选用标准差作为误差限的理由之一。mxmx1)标准偏差标准偏差 当置信系数当置信系数 时，置信度时，置信度P=99.73%，故可以认为真值落

35、，故可以认为真值落在在 范围内的概率已接近范围内的概率已接近100%。因此，在工程测试中常以。因此，在工程测试中常以 这个参数来表示测量精度，称为这个参数来表示测量精度，称为极限误差极限误差或或最大误差最大误差，用，用 表表示，即示，即33m3m3k2)极限偏差极限偏差 当每个测量结果当每个测量结果 按按 正态分布时，一组测量数据正态分布时，一组测量数据 的平均值为：的平均值为：ix2,mNNxxx,21NNiixxxNxNx211112、真值与标准偏差的估计、真值与标准偏差的估计 测量的主要任务是求得被测量的真值测量的主要任务是求得被测量的真值。真值真值是对同一检测是对同一检测量在同样条件下

36、进行量在同样条件下进行无限多次测量无限多次测量所取得的所取得的测量平均值测量平均值。由于。由于实际测量中的测量次数是有限的实际测量中的测量次数是有限的，所以，所以测量平均值并不等于真测量平均值并不等于真值值。其数学期望值恰好就是真值其数学期望值恰好就是真值m，即：，即： mmNxENxENiNii1111说明说明数据平均值就是真值数据平均值就是真值 的无偏估计的无偏估计，即当，即当 时，时， 。mNmx NNNxDNxNDxDNiiNiix2221212111Nx由于由于 也属于正态分布，因此可以也属于正态分布，因此可以用用 的标准偏差来表征的标准偏差来表征 的离的离散度散度，由误差传递法则可

37、得：，由误差传递法则可得：xxx其其标准偏差标准偏差为：为：此式表明，子样平均值的方差此式表明，子样平均值的方差 并不等于母体方差并不等于母体方差 ，而只是，而只是它的它的N N分之一。由这一结论可分之一。由这一结论可推论到等精度测量条件下，推论到等精度测量条件下，多批多批次测量次测量（即分组多次测量）所获得的平均值（也即分组平均值（即分组多次测量）所获得的平均值（也即分组平均值的平均值）的平均值） 要要比单批次测量所获得的结果精确比单批次测量所获得的结果精确，而且测量次，而且测量次数越多，数越多， 越小，越小， 越向母体真值越向母体真值 集中，即用集中，即用 作为作为 的最的最佳估计值的离散

38、度越小。然而，由于佳估计值的离散度越小。然而，由于 与与 成反比，随着测量成反比，随着测量次数增加，次数增加， 值的减小逐渐不显著了，故并非值的减小逐渐不显著了，故并非N N越大越好。越大越好。2x2ixxmmixixxNx 由上所述，由上所述，通常把测量数据的通常把测量数据的算术平均值算术平均值作为作为被测量真值被测量真值m m的最佳估计值的最佳估计值，即，即NiixNxm11定义残差：定义残差：把把测量值测量值与与算术平均值算术平均值之差称为之差称为剩余误剩余误差差（残余误差），简称（残余误差），简称残差残差，即，即XXii 因为无法得到因为无法得到真值真值，实际中用各个，实际中用各个残差

39、残差来代替各个来代替各个随机随机误差误差。3、标准偏差、标准偏差的估计的估计例：例：测量某物理量测量某物理量10次，估计其真值并计算每次测量的残差。次，估计其真值并计算每次测量的残差。 测量结果：测量结果：1879.64、 1879.69、 1879.60、 1879.69、 1879.57、 1879.62、 1879.64、 1879.65、 1879.64、 1879.6564.187910111011iiNiiXXNX平均值：平均值：残差：残差：00. 064.187964.187911XX05. 064.187969.187922XX 212212211221121221212122

40、222mxNmxmxNNmxNmxmxmxNNmxmxmxmxNmxmxmxmxmxmxmxmxmxxxvSNiiNiiNiNiiiNiNiiiNiiiNiiNiiNii 2222122121NNNNmxNEmxEmxNmxESENiiNii21NSE先考虑先考虑残差平方和残差平方和S则则S的期望值为：的期望值为：即即标准偏差标准偏差的估计：的估计： 所以，所以，方差的无偏估计为：方差的无偏估计为： 无偏标准偏差为无偏标准偏差为【贝塞尔（贝塞尔（Bessel）公式）公式】(需要记住需要记住)： 11122NSNvNii1112NvNSNii平均值的标准偏差平均值的标准偏差的无偏估计值为：的无偏

41、估计值为：1NNSx 由于由于真值真值A未知未知，无法使用：，无法使用： 来计算来计算随机误随机误差差，故，故用平均值代替真值用平均值代替真值，即，即用残余误差来代替随机误差用残余误差来代替随机误差。Axii可以证明可以证明，测量列单次测量，测量列单次测量标准差的估计值标准差的估计值为：为：NiiNiiNXXNX121211)(11)( 上式称为上式称为贝塞尔（贝塞尔（Bessel）公式）公式，根据此公式可由残余，根据此公式可由残余误差求得单次测量的误差求得单次测量的标准差的估计值标准差的估计值。 （1）测量列中测量的标准差测量列中测量的标准差 测量列中各个测量值围绕着该测量列的算术平均值有一

42、定测量列中各个测量值围绕着该测量列的算术平均值有一定的分散性，此分散性说明了测量的的分散性，此分散性说明了测量的不可靠性不可靠性，由，由单次测量列的单次测量列的标准差来作为其不可靠的评定标准标准差来作为其不可靠的评定标准。 总结：总结：NX（2）测量列算术平均值的标准差）测量列算术平均值的标准差 由此可知，在由此可知，在N次测量的测量列中，算术平均值的标准差次测量的测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的为单次测量标准差的 。当测量列的。当测量列的测量次数测量次数N越大越大，算术平，算术平均值越接近测量值的真值，均值越接近测量值的真值，测量精度也越高测量精度也越高。 在实际测量中，一般取

43、在实际测量中，一般取N=1020次左右即可。次左右即可。N1 例例 甲、乙二人分别用甲、乙二人分别用不同的方法不同的方法对对同一电感同一电感进行多次测量结果进行多次测量结果 如下（均无系统误差及粗差）：如下（均无系统误差及粗差）： 甲甲(mH)：1.28，1.31，1.27，1.26，1.19，1.25 乙乙(mH)：1.19，1.23，1.22，1.24，1.25，1.20 试根据测量数据对他们的测量结果进行评价（求算术平均值及试根据测量数据对他们的测量结果进行评价（求算术平均值及 其标准差）其标准差）解：解：算术平均值：算术平均值：26. 16161iaiaxX22. 16161ibibx

44、X求各个残差：求各个残差：aaiaiXXbbibiXX使用使用贝塞尔公式贝塞尔公式求甲乙二人测量的标准差求甲乙二人测量的标准差：04. 01112NiaiaN023. 01112NibibN求算术平均值的标准差求算术平均值的标准差：0164. 0604. 0NaXa0095. 06023. 0NbXb 可见两人测量次数虽相同、但可见两人测量次数虽相同、但甲的算术平均值的标准差估甲的算术平均值的标准差估计值相差较大计值相差较大，表明乙所进行的测量精密度高。，表明乙所进行的测量精密度高。例：例：对某量进行对某量进行6次测量，测得结果如下：次测量，测得结果如下：802.40, 802.50, 802

45、.38, 802.48, 802.42, 802.46,求算术平均值及置信概率为求算术平均值及置信概率为 95.44%（正态分布）时算术平均值的极限误差。（正态分布）时算术平均值的极限误差。解：解：44.8026161iixX算术平均值：算术平均值：标准差：标准差：算术平均值的标准差：算术平均值的标准差：047. 01112niain019. 06047. 0nX置信概率为置信概率为95.44%（正态分布），得到置信系数（正态分布），得到置信系数t=2038. 0019. 02limXXt算术平均值的极限误差：算术平均值的极限误差：单次测量的极限误差单次测量的极限误差：094. 0047. 0

46、2limtX即单次测量的误差绝对值不超过即单次测量的误差绝对值不超过0.094的概率为的概率为95.44% 即即多次测量的平均值误差多次测量的平均值误差的绝对值不超过的绝对值不超过0.038的概率为的概率为95.44% 5、测量结果的数字表示方法、测量结果的数字表示方法 1）如果已知测量列标准偏差为如果已知测量列标准偏差为 ，作一次测量，测得，作一次测量，测得值为值为X，则通常将被测量，则通常将被测量X的大小表示为的大小表示为 2）当用当用N次等精度测量的算术平均值次等精度测量的算术平均值 作为测量结果作为测量结果时，其表达式为时，其表达式为 tXXoXXtXX02.1 测量误差的基本概念测量

47、误差的基本概念 2.2 随机误差及其处理随机误差及其处理 2.3 系统误差的处理系统误差的处理2.4 测量粗大误差的存在判定准则测量粗大误差的存在判定准则 2.5 测量系统的误差计算方法测量系统的误差计算方法 2.6 测量系统最佳测量方案的确定测量系统最佳测量方案的确定 参考书：参考书：费业泰，费业泰，误差理论与数据处理误差理论与数据处理，机械工业出版社，机械工业出版社2.3 系统误差的处理系统误差的处理 系统误差的特点是在一定条件下，其数值服从某一确切函数规律，故其处理方法原则上可结合专业知识，通过理论分析或实验方法加以掌握。由于系统误差常涉及到对具体测量对象、测量原理及测量方法的具体分析，

48、因此，系统误差的发现与处理往往比随机误差困难得多，而系统误差的存在对测量结果的影响也比随机误差严重，所以，必须消除系统误差的影响，以将其降低到允许限度之内。对系统误差的处理，通常涉及到以下几个方面： 1） 判断系统误差是否存在； 2） 分析产生系统误差的原因以及在测量前尽量消除； 3）在测量过程中采取某些有效措施，尽量消除或减小系统误差的影响； 4）设法估计出残存系统误差的数位或范围。1、恒值系差的判别、恒值系差的判别 实验对比法。实验对比法。这种方法主要是这种方法主要是用于发现不变系统误差（恒值用于发现不变系统误差（恒值系差）系差）。例如。例如0级级量块，公称尺寸量块，公称尺寸 时，由于制造

49、偏差，时，由于制造偏差，其中心长度相对其中心长度相对 有一不变系统误差有一不变系统误差 ，多次重复测量不能，多次重复测量不能发现此误差，当用发现此误差，当用1等等量块与其比较测量时，就可检定出量块与其比较测量时，就可检定出0级量块级量块中心长度实际值中心长度实际值 ， ，系统误差，系统误差 可以找出来。可以找出来。mml20mm20llllll 系统误差的系统误差的特征特征：在同一条件下，多次测量同一量值时，在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化一定的规律变化。 系统误差系统误差不

50、具有抵偿性不具有抵偿性，它是固定或服从某一确定规律，它是固定或服从某一确定规律变化的误差。变化的误差。系统误差有系统误差有恒值系差恒值系差和和变值系差变值系差两种情况，下两种情况，下面分别介绍这两种系差的常用判别方法。面分别介绍这两种系差的常用判别方法。2.3.1 系统误差的判别系统误差的判别量块的等与级量块的等与级 量块是由两个相互平行量块是由两个相互平行的测量面之间的距离来确定的测量面之间的距离来确定其工作长度的高精度量具，其工作长度的高精度量具，其长度为其长度为计量器具的长度标计量器具的长度标准准，通过对计量仪器、量具，通过对计量仪器、量具和量规等示值误差的检定等和量规等示值误差的检定等

51、方式，使机械加工中各种制方式，使机械加工中各种制成品的尺寸能够溯源到长度成品的尺寸能够溯源到长度基准。基准。量块的等与级量块的等与级 量块按量块按级级划分，是根据划分，是根据生产厂出厂生产厂出厂公差带来确定的，是公差带来确定的，是以量块长度相对于标称长度的偏差（量块的长度偏差）划分的。以量块长度相对于标称长度的偏差（量块的长度偏差）划分的。 量块的量块的等等主要是根据量块长度的主要是根据量块长度的测量测量不确定度划分的。不确定度划分的。 按按JJG2056-90长度计量器具（量块部分）检定系统长度计量器具（量块部分）检定系统的规定，量块分为的规定，量块分为K、0、1、2、3级和级和1、2、3、

52、4、5、6等。等。 根据我国量块检定规程根据我国量块检定规程JJG146-2003可见：可见：K、0、1、2、3级量块的长度偏差分别与级量块的长度偏差分别与1、2、3、4、5等量块长度的测量不等量块长度的测量不确定度相当确定度相当，因此在量块的使用中，一定等的量块可以用相应，因此在量块的使用中，一定等的量块可以用相应级的量块来替代。级的量块来替代。 出厂为出厂为0级的量块只能检定为级的量块只能检定为2等及以下。等及以下。2、变值系差的判别方法、变值系差的判别方法p残余误差残余误差 观察法观察法p不同公式计算标准差比较法不同公式计算标准差比较法 iv变值系差的判别方法一：变值系差的判别方法一：残

53、余误差残余误差 观察法观察法 根据测量列的各个残余误差大小和符号的变化规根据测量列的各个残余误差大小和符号的变化规律，直接由律，直接由误差数据或误差曲线图形误差数据或误差曲线图形来判断有无系统来判断有无系统误差。这种主要用来误差。这种主要用来发现有规律变化的系统误差发现有规律变化的系统误差。 iv若测量列含有若测量列含有变值系差变值系差，其，其测得值测得值为为 。设其。设其系统误系统误差差为：为： ，其，其不含系统误差测量值为不含系统误差测量值为 ，则有：则有： 取算术平均值：取算术平均值： 。其中。其中 表示表示不含系差的测得不含系差的测得值的平均值值的平均值， 表示表示系统误差的平均值系统

54、误差的平均值。因为残差。因为残差 ，相应相应 （不含系差测量值与其平均值之差），所以有（不含系差测量值与其平均值之差），所以有nlll,21nlll,2121,nlllnillliii, 2 , 1iliiillvilllviillvlllllllllllllllviiiiiiiiiiiiiillvlllllllllllllllviiiiiiiiiiiiii式中式中 是系差的算术平均值。是系差的算术平均值。由于由于 =不含系差测量值不含系差测量值的平均值，不含系差测量值不含系差测量值的平均值，故故 主要反映了主要反映了随机误差的影响随机误差的影响，当测量列中系统误差显著当测量列中系统误差显著大

55、于随机误差或测量次数比较大时大于随机误差或测量次数比较大时，可以略去可以略去 ，则则 ，由于，由于 为确定值为确定值，所以，所以测量列中残余误差测量列中残余误差 的变化主要反映测量中系统误差的变化主要反映测量中系统误差 的变化。的变化。liiillvivivllviilivil图图2.6 含系差的测量列含系差的测量列（a）大体上正负相间无显著变化规律）大体上正负相间无显著变化规律不存在变化的系差；不存在变化的系差；（b）有规律地向一个方向成比例变化）有规律地向一个方向成比例变化有线性系差存在；有线性系差存在；（c）有规律地重复交替呈周期性变化）有规律地重复交替呈周期性变化周期性系差存在；周期性

56、系差存在；（d）呈周期性与线性复合变化）呈周期性与线性复合变化复杂系差存在。复杂系差存在。 若将测量列的残差若将测量列的残差 按序作图进行观察，并与下图的图形按序作图进行观察，并与下图的图形比较，即可判断有无系统误差。比较，即可判断有无系统误差。iv例例：对恒温箱温度测量：对恒温箱温度测量10次，数据如下：次，数据如下：20.06, 20.07, 20.06, 20.08, 20.10, 20.12, 20.14, 20.18, 20.18, 20.21。判断该测量。判断该测量 有无有规律变化的系统误差。有无有规律变化的系统误差。解：解：1、求测量值的算术平均值：、求测量值的算术平均值： 2、

57、求残差：、求残差： 3、按测量的顺序作图：、按测量的顺序作图：12.20101101iixXXxvii 规律曲线规律曲线iv可见有近似线性的系差存在可见有近似线性的系差存在变值系差的判别方法二：变值系差的判别方法二：不同公式计算标准差比较法不同公式计算标准差比较法n按按贝赛尔公式贝赛尔公式：n按按捷尔斯公式捷尔斯公式：令令 若若则怀疑测量列中存在系统误差。则怀疑测量列中存在系统误差。1121NNiiu11212|Nu) 1(|253. 112NNNii2.3.2 减小或消除系统误差的减小或消除系统误差的三种三种方法方法 （1 1）从产生误差根源上消除）从产生误差根源上消除 在测量前，通过分析比

58、较尽量发现并消除（或减在测量前，通过分析比较尽量发现并消除（或减小）产生系统误差的来源。小）产生系统误差的来源。例如按测量规程调整仪器，例如按测量规程调整仪器，测量前后都必须检查仪器零位是否变化，选择合理的测量前后都必须检查仪器零位是否变化，选择合理的支撑与定位面，进行周期的检定和维护仪器设备等等。支撑与定位面，进行周期的检定和维护仪器设备等等。（2 2）用修正方法消除恒值系差）用修正方法消除恒值系差 用修正值对测量结果进行修正，即对仪器不仅用修正值对测量结果进行修正，即对仪器不仅要正确选择和使用，且要定期检定和校准。要正确选择和使用，且要定期检定和校准。例如，例如，将测量出的系统误差数值做成

59、误差表或误差曲线，将测量出的系统误差数值做成误差表或误差曲线，或作为修正值，将与其大小相等、符号相反的数值或作为修正值，将与其大小相等、符号相反的数值加入到测量结果中，即可基本消除测量结果中系统加入到测量结果中，即可基本消除测量结果中系统误差的影响。误差的影响。（3 3）采用一些专门的测量技术和测量方法。典型测）采用一些专门的测量技术和测量方法。典型测量方法有以下几种：量方法有以下几种： 1 1） 替代法消除恒值系差替代法消除恒值系差 替代法是比较测量法的一种，它是先将被测量替代法是比较测量法的一种，它是先将被测量 接在测量装置上，调节测量装置处于某一状态，然接在测量装置上，调节测量装置处于某

60、一状态，然后用与被测量相同的同类标准量后用与被测量相同的同类标准量 替代替代 ，调节标，调节标准量准量 ，使测量装置恢复原状态，则被测量等于调，使测量装置恢复原状态，则被测量等于调整后的标准量，即整后的标准量，即 = = 。 替代法的特点替代法的特点是是测量装置的误差不影响测量结测量装置的误差不影响测量结果果，但测量装置必须有一定的稳定性和灵敏度。，但测量装置必须有一定的稳定性和灵敏度。 xAxANANAxANA 例如：在例如：在电桥上用替代法测电阻电桥上用替代法测电阻，先把被测电阻，先把被测电阻 ，调节电桥比例臂调节电桥比例臂 和比较臂和比较臂 使电桥平衡，则使电桥平衡，则 。显然桥臂参数的