本科“统计学”——第六章 参数估计

1、2 - 2 - 2 - 1 1 18 - 8 - 8 - 1 1 1第一节第一节 参数估计的一般问题参数估计的一般问题 第二节第二节 总体参数的区间估计总体参数的区间估计第三节第三节 样本容量的确定样本容量的确定2 - 2 - 2 - 2 2 28 - 8 - 8 - 2 2 21.估计量与估计值的概念估计量与估计值的概念2.点估计与区间估计的区别点估计与区间估计的区别3.评价点估计量优良性的标准评价点估计量优良性的标准4.总体参数的区间估计方法总体参数的区间估计方法5.样本容量的确定方法样本容量的确定方法2 - 2 - 2 - 3 3 38 - 8 - 8 - 3 3 3参数估计参数估计假设

2、检验假设检验统计方法描述统计描述统计推断统计推断统计n参数估计参数估计就是用就是用样本统计量样本统计量去估计去估计总体参数总体参数。2 - 2 - 2 - 4 4 48 - 8 - 8 - 4 4 4参数参数 统计量统计量 xsp2 - 2 - 2 - 5 5 58 - 8 - 8 - 5 5 51.参数参数 (parameter)u描述总体特征的概括性数字度量，是描述总体特征的概括性数字度量，是研究者想要了解的总研究者想要了解的总体的某种特征值体的某种特征值u所关心的参数主要有总体均值所关心的参数主要有总体均值( )、标准差、标准差( )、总体比例、总体比例( )等等u总体参数通常用希腊字母

3、表示总体参数通常用希腊字母表示 2.统计量统计量 (statistic)u用来描述样本特征的概括性数字度量，它是根据样本数据用来描述样本特征的概括性数字度量，它是根据样本数据计算出来的一些量，是样本的函数计算出来的一些量，是样本的函数u所关心的样本统计量有样本均值所关心的样本统计量有样本均值( x)、样本标准差、样本标准差(s)、样本、样本比例比例(p)等等u样本统计量通常用小写英文字母表示样本统计量通常用小写英文字母表示 2 - 2 - 2 - 6 6 68 - 8 - 8 - 6 6 6样样本本总体总体样本统计量样本统计量如：样本均值如：样本均值、比率、方差、比率、方差 总体均值、比率总体

4、均值、比率、方差等、方差等2 - 2 - 2 - 7 7 78 - 8 - 8 - 7 7 7一、估计量与估计值一、估计量与估计值二、点估计与区间估计二、点估计与区间估计三、评价估计量的标准三、评价估计量的标准2 - 2 - 2 - 8 8 88 - 8 - 8 - 8 8 81. 估计量估计量：用于估计总体参数的：用于估计总体参数的随机变量随机变量u如样本均值，样本比率、样本方差等如样本均值，样本比率、样本方差等u例如例如: 样本均值就是总体均值样本均值就是总体均值 的一个估计量的一个估计量2. 参数用参数用 表示，估计量表示，估计量用用 表示表示3. 估计值估计值：估计参数时计算出来的统计

5、量的：估计参数时计算出来的统计量的具体值具体值u如果样本均值如果样本均值 x = 80，则，则80 就是就是 的估计值的估计值2 - 2 - 2 - 9 9 98 - 8 - 8 - 9 9 9参数估计方法参数估计方法点点 估估 计计区间估计区间估计2 - 2 - 2 - 1010108 - 8 - 8 - 1010101.用样本的估计量直接作为总体参数的估计值用样本的估计量直接作为总体参数的估计值u例如：用样本均值直接例如：用样本均值直接作为作为总体均值的估计总体均值的估计u例如：用两个样本均值之差直接例如：用两个样本均值之差直接作为作为总体均值总体均值之差的估计之差的估计2.没有没有给出估

6、计值与总体参数真实值的给出估计值与总体参数真实值的接近程度接近程度信息信息2 - 2 - 2 - 1111118 - 8 - 8 - 111111参数参数 统计量统计量 xsp2 - 2 - 2 - 1212128 - 8 - 8 - 1212121. 优点：优点：u 点估计直观、自然，估计结果是一个具体的值，在依点估计直观、自然，估计结果是一个具体的值，在依据估计值制定计划和行动方案时，可以减少许多麻烦据估计值制定计划和行动方案时，可以减少许多麻烦；2. 缺点：缺点：u 没有给出估计值与总体参数真实值的接近程度信息。没有给出估计值与总体参数真实值的接近程度信息。l 由于随机因素的作用，样本统

7、计量恰与总体参数相符是偶由于随机因素的作用，样本统计量恰与总体参数相符是偶然的，而差异则是大量存在、甚至是必然的。然的，而差异则是大量存在、甚至是必然的。l 因此，有效的统计估计一般要求不仅要给出估计的具体结因此，有效的统计估计一般要求不仅要给出估计的具体结果，而且还要说明估计结果的精度及其可靠程度果，而且还要说明估计结果的精度及其可靠程度区间区间估计估计的提出。的提出。2 - 2 - 2 - 1313138 - 8 - 8 - 1313131.无偏性无偏性2.有效性有效性3.一致性一致性2 - 2 - 2 - 1414148 - 8 - 8 - 141414无偏性：无偏性：样本统计量的数学期

8、望等于被估计的总样本统计量的数学期望等于被估计的总体参数的值，则称该样本统计量是相应体参数的值，则称该样本统计量是相应总体参数的无偏估计量。总体参数的无偏估计量。2 - 2 - 2 - 1515158 - 8 - 8 - 151515例如例如:)(xEx具有无偏性。具有无偏性。 ，对于对于 22)(11xxnsi22)(sE，2s，则，则 具有无偏性具有无偏性注：注：样本方差样本方差S2要除以自由度要除以自由度(n-1)而不是样本数而不是样本数n，其原因可从多方面来解释，其原因可从多方面来解释，但关键原因是但关键原因是:E( S2)= 2 （即，从实际应用角度看，在抽样估计中，此时（即，从实际

9、应用角度看，在抽样估计中，此时的样本方差的样本方差S2才是总体方差的无偏估计量）才是总体方差的无偏估计量）2 - 2 - 2 - 1616168 - 8 - 8 - 161616有效性：有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计对同一总体参数的两个无偏点估计 量，有更小标准差的估计量更有效量，有更小标准差的估计量更有效 注：正态总体中，总体均值与总体中位数相等，但中位数的标准注：正态总体中，总体均值与总体中位数相等，但中位数的标准误差大约比确立均值误差大约比确立均值 的标准误差大将近的标准误差大将近25%，所以，本章，所以，本章中突出均值来体现集中趋势。中突出均值来体现集中趋势。 2 - 2 -

10、2 - 1717178 - 8 - 8 - 171717一致性：一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数，则称该点估计是一致的。计的总体参数，则称该点估计是一致的。2 - 2 - 2 - 1818188 - 8 - 8 - 1818181.在点估计的基础上在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由该区间由样本统计量样本统计量加减加减抽样误差抽样误差而得到的而得到的2.根据根据样本统计量样本统计量的的抽样分布抽样分布能够对样本统计量与总体参数能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出

11、一个的接近程度给出一个概率度量概率度量u比如某班级平均分数在比如某班级平均分数在7585之间，置信水平是之间，置信水平是95% 2 - 2 - 2 - 1919198 - 8 - 8 - 191919n由样本的抽样分布可知，在重复抽样或无限总体抽样的情况下，由样本的抽样分布可知，在重复抽样或无限总体抽样的情况下，样本均值的抽样分布近似服从均值为样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为、方差为2/n的正态分布的正态分布，即，即u由此可知：由此可知：样本样本均值均值落在落在总体总体均值均值的的两侧两侧各为一个抽样标准各为一个抽样标准差范围内的概率为差范围内的概率为0.6827, 落在两个标准差范围

12、内的概率为落在两个标准差范围内的概率为0.9545，落在三个标准差范围内的概率为，落在三个标准差范围内的概率为0.9973等等。等等。n实际上，我们可以求出样本均值落在总体均值两侧任何一个抽样实际上，我们可以求出样本均值落在总体均值两侧任何一个抽样标准差范围内的概率。标准差范围内的概率。n但实际估计时，情况恰好相反。样本均值已知而总体均值未知但实际估计时，情况恰好相反。样本均值已知而总体均值未知。2 - 2 - 2 - 2020208 - 8 - 8 - 202020n由于样本均值与总体均值的距离是由于样本均值与总体均值的距离是对称对称的，的，如果某个样本均值如果某个样本均值落在总体均值的两个

13、标准差以内，反过来，总体均值也被包括落在总体均值的两个标准差以内，反过来，总体均值也被包括在以样本均值为中心的两个标准差的范围之内。在以样本均值为中心的两个标准差的范围之内。n因此，说因此，说95%的样本均值会落在总体均值的两个标准差的范围的样本均值会落在总体均值的两个标准差的范围之内，也就之内，也就等于说等于说，约有，约有95%的样本均值所构造的两个标准差的样本均值所构造的两个标准差的区间会包括总体均值。的区间会包括总体均值。n通俗地说，如果我们抽取通俗地说，如果我们抽取100个样本来估计总体均值，由个样本来估计总体均值，由100个样本所构造的个样本所构造的100区间中，约有区间中，约有95

14、个区间包含总体均值，而个区间包含总体均值，而另外另外5个区间则不包含总体均值。个区间则不包含总体均值。n在区间估计中，由在区间估计中，由样本统计量样本统计量所所构造构造的的总体参数的估计区间总体参数的估计区间，称为称为置信区间置信区间。2 - 2 - 2 - 2121218 - 8 - 8 - 212121n但在但在实际实际问题中，我们往往问题中，我们往往只抽取只抽取一个一个样本样本，所构，所构造的是造的是与与该该样本样本相相联系的联系的95%的置信区间的置信区间。n由于该样本所构造的区间是一个特定的区间，无法由于该样本所构造的区间是一个特定的区间，无法知道这个样本所产生的区间知道这个样本所产

15、生的区间是否包含是否包含总体参数的真总体参数的真值。值。n所以，我们只能所以，我们只能希望希望这个区间这个区间是是大量包含总体参数大量包含总体参数真值区间中的一个，但本质上说，它真值区间中的一个，但本质上说，它也可能也可能是少数是少数几个不包含参数真值的区间中的一个。几个不包含参数真值的区间中的一个。2 - 2 - 2 - 2222228 - 8 - 8 - 222222n之所以这样来表述置信区间，原因是：之所以这样来表述置信区间，原因是：u总体参数总体参数的真值是的真值是固定的固定的、未知的未知的；u样本样本构造的区间虽然构造的区间虽然可求可求，但却是，但却是不固定的不固定的，即，抽取，即，

16、抽取不同的样本时，用该方法可以等到不同的样本时，用该方法可以等到不同的不同的区间；区间；l从这个意义上，从这个意义上，置信区间置信区间是一个是一个随机区间随机区间，它会因样本，它会因样本的不同而不同，而且不是所有的区间都包含总体参数的的不同而不同，而且不是所有的区间都包含总体参数的真值。真值。l例如，用例如，用95%的置信水平得到某班学生考试成绩的置信的置信水平得到某班学生考试成绩的置信区间为（区间为（60，80），这时，不能说（），这时，不能说（60，80）这个区间）这个区间以以95%的概率包含全班学生平均成绩的真值，只是知道的概率包含全班学生平均成绩的真值，只是知道，在多次抽样中在多次抽样

17、中，有，有95%的样本的样本得到的区间得到的区间包含包含全班学全班学生平均考试成绩的生平均考试成绩的真值真值。2 - 2 - 2 - 2323238 - 8 - 8 - 2323231.从估计效果来看，区间估计只给出总体参数的可能取值范围从估计效果来看，区间估计只给出总体参数的可能取值范围，并没有明确指出总体参数究竟会取哪一个具体的值。，并没有明确指出总体参数究竟会取哪一个具体的值。u从这一点来看，区间估计似乎没有点估计那样清晰；从这一点来看，区间估计似乎没有点估计那样清晰；u但点估计的好处是，它能够说明估计结果的把握程度，但点估计的好处是，它能够说明估计结果的把握程度，并能把估计的置信度与估

18、计误差有机地联系起来。并能把估计的置信度与估计误差有机地联系起来。2.区间估计的基本特征是，它根据样本资料给总体参数划区间估计的基本特征是，它根据样本资料给总体参数划出一个大致的范围，以期望该范围能覆盖着参数的真实出一个大致的范围，以期望该范围能覆盖着参数的真实值值估计估计信度信度与与估计估计精度精度的的矛盾统一体矛盾统一体。2 - 2 - 2 - 2424248 - 8 - 8 - 2424242 - 2 - 2 - 2525258 - 8 - 8 - 252525图图6-12 常用的正态概率值常用的正态概率值（在（在一般正态分布一般正态分布及标准正态分布中）及标准正态分布中） -3 -2

19、-1 0 +1 +2 +3 z -3 -2 - + +2 +3 x99.73%95.45%68.27%1.|X| 3 的概率很小，因此可认为正态随机变量的取值的概率很小，因此可认为正态随机变量的取值几乎几乎全部集中全部集中在在 - 3，+ 3 区间内区间内但要记住，但要记住，没有哪组资料是百分之百用正态分布描述的，没有哪组资料是百分之百用正态分布描述的， 68-95-99.7规则只是大体正确。规则只是大体正确。2 - 2 - 2 - 2626268 - 8 - 8 - 2626261. 由由样本统计量样本统计量所构造的所构造的总体参数的总体参数的估计估计区间区间称为称为置信区间置信区间2. 统

20、计学家统计学家在某种程度上在某种程度上确信确信这个区间会包含真正这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为的总体参数，所以给它取名为置信区间置信区间 2 - 2 - 2 - 2727278 - 8 - 8 - 2727271.将构造将构造置信置信区间区间的步骤的步骤重复重复很多次很多次，置信区间，置信区间包包含含总体参数总体参数真值真值的次数的次数所占的所占的比率比率称为称为置信置信水平水平，也称置信系数，也称置信系数，表示为表示为 1 - 。2.常用的常用的置信水平置信水平值有值有 99%, 95%, 90%u相应的相应的 为为0.01，0.05，0.10u （00 1), 1), 是区间

21、估计的是区间估计的显著显著性水平，性水平，是事是事先所确定的一个概率值，也称先所确定的一个概率值，也称风险值风险值，是总体，是总体参数参数不被包括不被包括在置信区间内的在置信区间内的概率概率。 2 - 2 - 2 - 2828288 - 8 - 8 - 2828282 - 2 - 2 - 2929298 - 8 - 8 - 2929291.根据置信区间和置信水平的概念，根据置信区间和置信水平的概念，区间估计区间估计的定义的定义可表述为：可表述为：n在给定信度在给定信度 1-下，寻找估计量下，寻找估计量1 1和和2 2 ，使，使得下式成立。得下式成立。n此时，此时，1 1，2 2 为为的的 1-

22、 的估计区间，的估计区间，或或的估计区间的估计区间1 1，2 2 2 - 2 - 2 - 3030308 - 8 - 8 - 3030301.明确待估参数和置信水平；明确待估参数和置信水平；2.根据问题的要求，构造出如下概率事件：根据问题的要求，构造出如下概率事件：3.进行转化处理，以期找出估计量及其分布类型；进行转化处理，以期找出估计量及其分布类型；4.由给定的置信水平，从相应的概率分布表中查出估计量的由给定的置信水平，从相应的概率分布表中查出估计量的理论值，并根据样本资料计算出样本的指标值；理论值，并根据样本资料计算出样本的指标值；5.求出估计区间，并做出说明和解释。求出估计区间，并做出说

23、明和解释。2 - 2 - 2 - 3131318 - 8 - 8 - 3131311. 与与总体总体数据的数据的离散程度离散程度有关，有关，用用 来测度，来测度， 越越大大，样本，样本之间的变异性就越大，估计的准确度之间的变异性就越大，估计的准确度下下降降。2. 样本均值样本均值抽样分布抽样分布的标准差与样本容量容量有关，样本容量的标准差与样本容量容量有关，样本容量越大，抽样分布的标准差越小：越大，抽样分布的标准差越小：3.置信水平置信水平 (1 - )，影响，影响 z 的大小。的大小。u通常，置信水平只取接近于通常，置信水平只取接近于 1 的值，实际应用时，往的值，实际应用时，往往只给出一些

24、比较特殊的值，比如：往只给出一些比较特殊的值，比如：90%、95%、95. 45%、99. 73%等，它们可作为置信水平低、中、高三等，它们可作为置信水平低、中、高三个档次的代表。个档次的代表。2 - 2 - 2 - 3232328 - 8 - 8 - 323232一、总体均值的区间估计一、总体均值的区间估计二、总体比率的区间估计二、总体比率的区间估计三、总体方差的区间估计三、总体方差的区间估计2 - 2 - 2 - 3333338 - 8 - 8 - 333333总体参数总体参数样本统计量样本统计量均值均值比率比率方差方差2 - 2 - 2 - 3434348 - 8 - 8 - 34343

25、4根据概率知识：根据概率知识：1. 如果如果总体总体服从服从正态分布正态分布，则无论样本容量如何，则无论样本容量如何，样本均值样本均值的的抽样分布都服从抽样分布都服从正态分布正态分布；2. 如果如果总体总体不是不是正态分布正态分布，但样本容量很大（通常，但样本容量很大（通常n30），此），此时，时，样本均值样本均值的抽样分布也可视为的抽样分布也可视为正态分布正态分布。2 - 2 - 2 - 3535358 - 8 - 8 - 3535351.假定条件假定条件u总体服从正态分布总体服从正态分布, ,且方差且方差( ) 未知未知u如果如果不是不是正态分布，可由正正态分布，可由正态分布来近似态分布来

26、近似 (n 30)2.使用正态分布统计量使用正态分布统计量 z)(未知 已知意谓着在估计总体已知意谓着在估计总体均值之前，我们可以利均值之前，我们可以利用历史数据或者其他信用历史数据或者其他信息得到总体标准差息得到总体标准差 的的 一个好的近似一个好的近似2 - 2 - 2 - 3636368 - 8 - 8 - 363636注意：注意：对于给定的置信度对于给定的置信度(1 - )，置信区间置信区间并不是唯一的，应尽量并不是唯一的，应尽量选取选取长度最小长度最小的作为所求的置信区间。对于标准正态分布而的作为所求的置信区间。对于标准正态分布而言，易知选择上述对称于原点的区间是最小的。言，易知选择

27、上述对称于原点的区间是最小的。2 - 2 - 2 - 3737378 - 8 - 8 - 373737【 例例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估。试估计该批产品平均重量的

28、置信区间，置信水平为计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.32 - 2 - 2 - 3838388 - 8 - 8 - 383838该食品平均重量的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44g109.28g2 - 2 - 2 - 3939398 - 8 - 8 - 393939【例】【例】36个投保人年龄的

29、数据 2335392736443642464331334253455447243428393644403949383448503439454845322 - 2 - 2 - 4040408 - 8 - 8 - 404040解：解：已知已知n=36, 1- = 90%，z /2=1.645。根据样本数据。根据样本数据计算得：计算得： 总体均值总体均值 在在1- 置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁岁41.63岁岁2 - 2 - 2 - 4141418 - 8 - 8 - 4141412 - 2 - 2 - 4242428 -

30、 8 - 8 - 4242421.假定条件假定条件u总体服从正态分布总体服从正态分布, ,且方差且方差( ) 未知未知u小样本小样本 (n 30)2.使用使用 t 分布统计量（分布统计量（小样本小样本时，样本方差与总体方差的时，样本方差与总体方差的差异显著，不宜简单套用正态分布）差异显著，不宜简单套用正态分布）3. 总体均值总体均值 在在1- 置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为2 - 2 - 2 - 4343438 - 8 - 8 - 434343 t 分布分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布态分布平坦和分散平坦和分散。一个特

31、定的分布依赖于称之为自。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数由度的参数样本中的个体数量样本中的个体数量n。随着自由度。随着自由度n的的增大（直至成为大样本），分布也逐渐趋于正态分布增大（直至成为大样本），分布也逐渐趋于正态分布 不同自由度的不同自由度的t分布分布2 - 2 - 2 - 4444448 - 8 - 8 - 444444【例【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命只，测得其使用寿命(小时小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信的置信区间区间16灯泡

32、使用寿命的数据灯泡使用寿命的数据 15101520148015001450148015101520148014901530151014601460147014702 - 2 - 2 - 4545458 - 8 - 8 - 454545解：解：已知总体已知总体N( ， 2)，n=16, 1- = 95%，t /2=2.131 根据样本数据计算得：根据样本数据计算得： ， 总体均值总体均值 在在1- 置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时小时1503.2小时小时2 - 2 - 2 - 4646468 - 8 -

33、8 - 4646462 - 2 - 2 - 4747478 - 8 - 8 - 4747471.假定条件假定条件u总体服从二项分布总体服从二项分布u可以由正态分布来近似可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量使用正态分布统计量 z3. 总体比率总体比率 在在1- 置信水平下置信水平下的置信区间为的置信区间为2 - 2 - 2 - 4848488 - 8 - 8 - 484848解：解：已知已知 n=100，p65% , 1- = 95%，z /2=1.96该城市下岗职工中女性比率的置信该城市下岗职工中女性比率的置信区间为区间为55.65%74.35% 2 - 2 - 2 - 4949498

34、- 8 - 8 - 4949491.何时需要对总体方差进行估计？何时需要对总体方差进行估计？饮料灌装生产线是否正常？饮料灌装生产线是否正常？零件误差是否在允许范围内？零件误差是否在允许范围内？药品重量是否适当？药品重量是否适当？根据基金季度收益率标准差判断该基金的投资风险是否可接受？根据基金季度收益率标准差判断该基金的投资风险是否可接受？根据某股票各月的总收益判断其风险及变异根据某股票各月的总收益判断其风险及变异2.当总体方差过大时，有何问题？当总体方差过大时，有何问题？3.当总体方差过小时，有何问题？当总体方差过小时，有何问题？2 - 2 - 2 - 5050508 - 8 - 8 - 50

35、50501.估计一个总体的方差或标准差估计一个总体的方差或标准差2.假设总体服从正态分布假设总体服从正态分布3.总体方差总体方差 2 的点估计量为的点估计量为s2,且且2 - 2 - 2 - 5151518 - 8 - 8 - 515151总体方差总体方差11 的置信区间的置信区间注意：注意：对于给定的置信度对于给定的置信度(1 - )，此时的，此时的置信区间置信区间的的长度只是接近长度只是接近于最小，而不是最小于最小，而不是最小的。但是对于卡方分布而言，要求最小的。但是对于卡方分布而言，要求最小的置信区间所对应的分位数选择将十分烦琐，因此，从方便的置信区间所对应的分位数选择将十分烦琐，因此，

36、从方便记忆的角度确定了图中的置信区间。记忆的角度确定了图中的置信区间。2 - 2 - 2 - 5252528 - 8 - 8 - 525252【例】【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间的置信区间 25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6

37、107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.32 - 2 - 2 - 5353538 - 8 - 8 - 535353解解:已知已知n25，1- 95% ,根据样本数据计算得根据样本数据计算得 s2 =93.21 2置信度为置信度为95%的置信区间为的置信区间为 401.12)24() 1(2975. 0212n364.39)24() 1(2025. 022n该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为间为7.5

38、4g13.43g2 - 2 - 2 - 5454548 - 8 - 8 - 5454541.明确待估参数和置信水平；明确待估参数和置信水平；2.根据问题的要求，构造出如下概率事件：根据问题的要求，构造出如下概率事件：3.进行转化处理，以期找出估计量及其分布类型；进行转化处理，以期找出估计量及其分布类型；4.由给定的置信水平，从相应的概率分布表中查出估计量的由给定的置信水平，从相应的概率分布表中查出估计量的理论值，并根据样本资料计算出样本的指标值；理论值，并根据样本资料计算出样本的指标值；5.求出估计区间，并做出说明和解释。求出估计区间，并做出说明和解释。2 - 2 - 2 - 5555558

39、- 8 - 8 - 555555参数参数点估计量点估计量(值值) 标准误差标准误差 (1-)的置信区间的置信区间假设条件假设条件总体均值总体均值n已知已知n大样本大样本n未知未知n大样本大样本n正态总体正态总体n未知未知n小样本小样本总体比率总体比率pn二项总体二项总体n大样本大样本总体方差总体方差2 2s2 2不要求不要求正态总体正态总体xn nzx 2 xnsnszx2 xnsnstx2 ) )n 1 ) )nppzp 12 ) ) ) ) 22122221,1 snsn2 - 2 - 2 - 5656568 - 8 - 8 - 565656一、估计总体均值时样本容量的确定一、估计总体均值

40、时样本容量的确定二、估计总体比率时样本容量的确定二、估计总体比率时样本容量的确定2 - 2 - 2 - 5757578 - 8 - 8 - 5757572 - 2 - 2 - 5858588 - 8 - 8 - 5858581.假定条件假定条件u总体服从正态分布总体服从正态分布, ,且方差且方差( ) 未知未知u如果如果不是不是正态分布，可由正态分布来近似正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)2.使用正态分布统计量使用正态分布统计量 z3. 总体均值总体均值 在在1- 置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为2 - 2 - 2 - 5959598 - 8 - 8 - 5959591.令

41、令E代表所希望达到的允许误差，则：代表所希望达到的允许误差，则：2.于是，估计总体均值时样本容量于是，估计总体均值时样本容量n为：为：3.样本容量样本容量n 与总体方差与总体方差 2、允许误差、允许误差E、可靠性系、可靠性系数数Z 之间的关系为之间的关系为u与总体方差成正比与总体方差成正比u与允许误差成反比与允许误差成反比u与可靠性系数成正比与可靠性系数成正比（亦即，与置信水平成正比）（亦即，与置信水平成正比）2 - 2 - 2 - 6060608 - 8 - 8 - 606060【例】【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为薪的标准差大约为2

42、000元，假定想要估计年薪元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望允许误差为的置信区间，希望允许误差为400元，应元，应抽取多大的样本容量？抽取多大的样本容量？2 - 2 - 2 - 6161618 - 8 - 8 - 616161解解: 已知已知 =2000，E=400, 1- =95%， z /2=1.96 应抽取的样本容量为应抽取的样本容量为即应抽取即应抽取97人作为样本人作为样本 2 - 2 - 2 - 6262628 - 8 - 8 - 6262621.根据比率区间估计公式可得样本容量根据比率区间估计公式可得样本容量n 为为2 - 2 - 2 - 6363638 - 8 - 8 - 63636