第二型曲线积分

1、§ 2第二型曲线积分教学目的与要求：掌握第二型曲线积分的定义和计算公式.教学重点：第二型曲线积分的定义和计算.教学难点：第二型曲线积分的计算公式.教学过程一、第二型曲线积分的定义：(一) 、力场F(x,y) hp(x, y) , Q(x,y)沿平面曲线从点A到点B所作的功:一质点受变力F(x,y)的作用沿平面曲线运动，当质点从之一端点A移动到另 一端B时,求力F(x,y)所做功W.大家知道,如果质点受常力F的作用沿直线运动，位移为s.那末这个常力 所做功为 W=|F|s|cos, 其中|F|.|s|分别表示向量(矢量)的长度,为F与S的夹角.现在问题的难度是质点所受的力随处改变，而所

2、走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢？还是用折线逼近曲线和局部一常代变的方法来解决它(微分分析法).为此，我们对有向曲线作分割T二AoA.,代，代,即在AB内插入n-1个分点MM?,.,M n4,与A=M0,B=Mn 起把曲线分成n个有向小曲线段Mi4Mi (i=1,2, ,n),以 Si记为小曲线段 MMj 的弧长.衆=max'Si.设力F(x,y)在x轴和y轴方向上的投影分别为P(x,y)与Q(x,y),即F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j,由于记：Xi =Xi -x.y- 和 Cm! =(.：x,.：y)''''&#

3、39;'-i从而力F(x,y)在小曲线段MiMi上所作的功：F( , i)Cmi1i=P( i, j) + Q ( i, j),-i其中(i, j)为小曲线段Mi二Mi上任一点,于是力F沿C(AB)所作的功可近似nnn=送 Wi 瘁送(P(Sii)AXi +迟 Q(sU)Ayii 4idid当 > 0时，右端积分和式的极限就是所求的功，这种类型和式极限计算上述形 式的和式上极限，得W = abF (dx, dy), 即 W = lF ds.(二) 、稳流场通过曲线(从一侧到另一侧)的流量：解释稳流场.(以磁场 为例).设有流速场v(x,y)二P(x,y) , Q(x, y).求在

4、单位时间内通过曲线 AB从左侧到右侧的流量E .通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为ABdE = abP(x, y)dy-Q(x, y)dx.(三) 、第二型曲线积分的定义：设P,Q为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线C上的函数，对任一分割T,它把C分成n个小弧段MjjMj ,1=1,23,n;记Mi(Xi,yJ, MiMj 弧长为，一 maxi Si，.咲二Xi - j, y = yi -，l=1,2,3,n.又设(i, j) MijMi ,若极限nnlim 二 p( i, i). ：xi+lim 二 Q( i, i). =yii di =1存在且与分割T与界点(i, j)的取法无关，则称此极

5、限为函数P,Q有线段C上的 第二类曲线积分，记为.Pds Qdy或.Pds Qdy ,也可以记为cABPdx Qdy 或 Pds . Qdy.ccABAB注:(1)若记 f(x,y)=(P(x,y),Q(x,y) ,ds=(dx,dy)则上述记号可写成向量形式：fdsc倘若C为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线，P,Q,R为定义在C上的 函数,则可按上述办法定义沿有向曲线 C的第二类曲线积分，并记为cfds 二 P(x, y, z)dx Q(x, y,z)dy R(x,y,z)dz .c按这一定义,有力场F(x, y)二P(x, y) , Q(x, y)沿平面曲线从点A到点B所作的功为 W =

6、J Pdx+Qdy .流速场v(x, y) = (P(x, y) , Q(x, y)在单位时间内AB通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为E = Pdy -Qdx.AB第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性.对二型曲线积分有ABBA '因此，定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场F(x,y,z)二P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x, y,z)沿空间曲线AB所作的功.导出空间曲线上的第二型曲线积分ABP(x, y, z)dx Q(x, y,z)dy R(x,y,z)dz.(四) 、第二型曲线积分的性质：第二型曲线积分可概括地理解为向量值函

7、数的积累问题.与我们以前讨论 过的积分相比，除多了一层方向性的考虑外，其余与以前的积累问题是一样的， 还是用Riemma勺思想建立的积分.因此,第二型曲线积分具有(R )积分的共 性，如线性、关于函数或积分曲线的可加性.但第二型曲线积分一般不具有关 于函数的单调性，这是由于一方面向量值函数不能比较大小，另一方面向量值 函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.(1) 线性性 设C为有向曲线,fds , gds存在,则LC*- R,则(f ：f)ds存在,且(f f )ds. fds ： . gds.cccc(2) 可加性：设fds存在，C=C2C2,= J fds, fds存在

8、,且*cc1c 2fds fds fds.c clc2注：(1)平面上光滑闭曲线如何规定方向呢？此时无所谓”起点”终点”若为封闭有向线段,则记为：. fdsc 设C是C的反向曲线(即C和C方向相反),则fds二fds 即是说第二类曲线积分与曲线的方向有关(注意第一类曲线积分表达示是函数f 与弧长的乘机，它与曲线C的方向无关),这是两种类型曲线积分的一个重要差 别二、第二型曲线积分的计算：曲线的自然方向：设曲线L由参数式给出.称参数增大时曲线相应的方向为自然方向设L为光滑或按段光滑曲线,L : xYt), y V(t),.A(),'(),;函数 P(x,y)和 Q(x, y)在 L 上连

9、续,则沿 L 的 自然方向(即从点A到点B的方向)有P(x, y)dx+Q(x, y)dy = f b伴(t),屮(t)曙(t) +Q(®(t),屮(t)旷(t)!dt.(证略)注：起点参数值作下限，终点参数值作上限.xydx + (y -x dy例1计算l,其中分别沿以下路线从点A1,1到点B 2,3 ,i) 直线AB ;2ii) 抛物线 ACB : y =2(x-门 +1 ；iii) 三角形周界ADBA .解X=1+t, r 丿t 0,1 i) 直线 AB : J =r"2t,1xydx y -x dy .1 t 1 2t 2tdt 空故 AB= 0= 6 .ii) 抛

10、物线ACB : y=2(x-仃十1,仁x",1 J rJxydx+(yxdy j2(x T f+1 】+2(x T f+1x4(x T )dx 10ACB=3 .iii）三角形周界ADBA :xydx y - x dy xydx y - x dy xydx y - x dy xydx y 一 x dyADBA= AD+ DB+ Ba230xdx y -2 dy 1.1 t 1 2t 2tdt 2 . 025 _8=i+1+1= 26=3 .注：这里沿不同路径积分值不同，而沿封闭曲线的值不为0.xdy + ydx例2计算l，这里：i）沿抛物线从到:jy沿抛物线y = 2x2 ;11沿直

11、线段：y = 2x ；111沿封闭曲线OABO .:解i）沿抛物线从到：1xdy ydx 4x 2x2 】dxL= 0=.1xdy + ydx f（2x+2xdxii）沿直线段：y =2x , L=0=.注：这里不同路径积分值相同iii）沿封闭曲线OABO :xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydxL=OA+AB+ BO=0 2 _2 =0 .注：由于这里不同路径积分值相同，造成沿封闭曲线的值为0。空间曲线时有：x 二 x t ,* y = y（t ） t L, B 设有空间光滑曲线：厂Z（t）起点为（x（g ）y©），终点为x ： ,y ： ,z ii则有：P

12、dx Qdy RzyLpPxt,yt,zt x t Qxt,yt,zt y t Rxt,yt,zt z t dt=:-注：仍为起点参数作下限，终点参数作上限.2Jxydx + (x + y dy + x dz例3计算第二型曲线积分l，是螺旋线：xacost,y=asi nt，z=bt 从 t=0 至 y t =兀上的一段。2Jxydx + (x+y dy+ x dz解LJIi a3 costsin2t a2cos2t-a2sintcost a2bcos21 dt=01 2-a 1 b 二=例4求力Fy，-x,xr，z作用下门 质点由沿螺旋线至y所做的功，其中:x二acost , “asint , z=bt , 0乞亡2ii)