概率与概率的加法公式12

1、0 随机事件的概率，古典概型与概率的加法公式2000/7/31一. 概率的统计定义：1. 频率：随机事件在一次具体的试验是否发生，虽然不能预先知道，但是，当大量重复同一试验时，随机现象却呈现出某种规律 ，即所谓统计规律性.女口：历史上有人作过成千上万次投掷硬币,下表列出他们的试验记录：实验者投掷次数正面向上次数频率404020480.6069容易看出，投掷次数越多正面向上的频率越接近0.5,其中皮尔逊(K, Pearson)1200060190.5016事件a发生的频率逊(K. Pearson)21000-12012 0,5005一! _一试总.-' 卜 7T 人 X我们将事件发生的可

2、能性大小只停留在定性了解不够的，下面给出事件发生的可能性大小的客观的定量的描述，称为事件发生的概率.2 .随机事件的概率：(1) 定义：在不变的一组条件S下，重复作次试验，记是次试验中事件发生的次数.当试验的 次数很大时，如果频率 上稳定在某一数值的附近摆动，而且一来随着试验次数增多，这种n摆动的幅度越变越小，则称数值为事件在条件s下发生的概率，记作P(A)二 p这里，频率的稳定性是概率一个直观朴素的描述，通常称为概率的统计定义但必须指出，事 件的频率是带有随机性的，这是由事件本身的随机性所决定。而事件的概率，却是一个客观存在的实数，是不变的。.古典概型：1.定义：如果随机现象满足下列三个条件

3、：(1) 一次试验可能结果只有有限个，即所有基本事件只有有限个：(2)每一个基本事件 A (i =1,2,|l,n)发生的可能性是相等的.(3)基本事件A (i =1,2,川，n)是两两互不相容满足以上三个条件的随机现象模型，称为古典概型.在古典概型中，如果n为基本事件总数， m为事件A包含的基本事件数，那么事件 A的概率 法国数学家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作为概率的一般定义.现在通常称它为概率的 古典概型的定义，因为它只适用于古典概型场合.mP(A)二-負包含的基本事件数基本事件总数2. 古典概型公式的运用举例：【例1】袋里有2个白球和3个黑球.从袋任取出一球，求它是白球

4、的概率.解：容易看出，“从袋里任取一球”这一试验是古典概型的，且基本事件总数n= 5,取到白球的基本事件数 m = 2，故把白球换为合格产品，黑球换为废品，则这个摸球模型就可以描述产品抽样检验问题这种模 型化的方法把表面上不同的问题归类于相同的模型之小中，能使问题更消楚，更易于计算。【例2】把a, b两个球随机地放到编号为I, n ,川的三只盒子里，求盒子 I中没有球的概率。解：这是一个古典概型问题，把a, b两个球随机地放到编号为I, n ,川的三只盒子里，基本事件总数设人=“盒子I中没有球”，则事件A包含的基本事件数Q««02m =2 = 40*104- P(A) 9【

5、例3】有一个口袋，内装 a只白球, 不同外，外形完全一样.现任意模出(1) 模出2个球都是白球的概率；(2) 模出一个白球一个黑球的概率b只黑球，它们除颜色不同外,2个球时，求：CI解：这口袋共有a+b只球，从袋了中任意模出2个球的基本事件总数(1)模出2个球都是白球基本事件数=Ca,模出2个球都是白球的概率 P=mn(2) 模出一个白球一个黑球的基本事件数 模出一个白球一个黑球的概率abCab若把黑球作为废品，白球作为好品，则这个摸球模型就可以描述产品抽样按如产品分为更多 等级，例如：一等品，二等品，二等品，等外品等等则可用装有多种颜色的球的口袋的摸球模型来描述.【例3】 皐坯"民

6、裁聊算牡幕9幕去申住弋。勇來上列各事件的概率'A =空某指定的厂个盒中各有一球”比=之恰有r个盒'其中各有一球”A - “某指定的一个盒子，恰有卜个球擀解（l>r个球放入n仆儘子里的方法共有卅种。而厂个 球在摘定的r个盒中各放一个,共有门种放法神歼以FS） =吕 （2）由于在料个蠢中选出产个盒的选法共有U个,而对于 每一种选法选出的厂个盒，其中各放一个球的放法有口种，所 以卫工包含的基本事件数为U 因此PW 二（3）由于在厂个球中选出丘个球的选法有C；种，而其余的 r-k个球可枉意地放在n 一 1个盒子中这种放法有 一 1厂种，所以4包含的基本事件数是 Z 一 1X,0此

7、PW = C；<«-1>-n【例4】（抽样问题）已知一批S件产品中有去件废品.试确定从中任取的尬件送验产品中恰有丁件是废品的概率. 解 把合格品视为白球，废品视为黑球，易知，本题的 试验是古典型的*从沸件产品中取価件的可能方法数等于这就是本题 试验（从鸟个球（产品中任取饥个球（产品）的基本事件 空间所包含的基本事件总数.1无放回抽样：从衣件废甜中取来件（这共有种方法），再从$-斤 件合格品中取来vn-r件（这共有。口种方洙儿 这样所得 到的每+ （m-r）=观件产品都是一个有利的基本事件.曲 划*有利场含总数等于C2二匕所求概率2.有放回抽样：有放回抽样时的概率计算公式推

8、导如下.现在仍设&件 产品中有去件废品，用有放回抽样抽取横件，找们来求恰好 有那件废品的概率.因抽后放回，故每次抽取时抽到全部产 品中的每件都垦可能的.叮更复排列的全体，是基本事件 空间，故基苓事件总数等于有利场合(尬次抽取中有护 次抽到废品)数是:可如下考虑求出此有利场合数*先指定某次抽取废品，这有种描定法豪这犷次抽到废品有村种排列方式孑其余 伽-尸次抽到合格品有C-E，种排列方式.由乘法原理，有利场合数等于上述三数壬积.?所求概率为【例5】 有一个口袋内装可分辨 4个黑球，6个白球，它们除颜色不同外，外形完全一样 .现按两种 取法；(I)无放回；(n)有放回连续从袋中取出3个球，分

9、别求下面事件的概率：(1) A= “取出3个球都是白的”;(2) B = “取出2个黑球，1个白球”.解：(I)无放回：连续从袋中取出3个球的基本事件总数n = A3。,(1)取出3个球都是白的基本事件数6 5 410 9 8-10.1676(2)取出2个黑球，1个白球，注意到取出黑球的次序，事件的基本事件数m2 = C：火心、A ,因而诃晋CMP®(n)有放回:n = 10 ,连续从袋中取出3个球的基本事件总数63103-0.216(1)取出3个球都是白的基本事件数叶=63，miP(A)-n(2) 取出2个黑球，1个白球，注意到黑球黑球的次序,事件的基本事件数m2 = C：疋42汉

10、C：,因而P(B)二匹nc： y2 汉 c：=0.288【例6】设有 k个球，每个球都能以同样的概率落到N个格子(Nk)的每一个格子中,试求：下列事件的概率(1) A= ”某指定的k个格子中各有一个球(1) k个球在那指定的k个格子中全排列，总数为n!，因而所求概率(1) B= ”任何k个格子中各有一个球” 解：C= “ k个球落到同一个格子中”这是一个古典概型问题，由于每个球可落入 N个格子中的任一个， 所以n个球在N个格子基本事件总数n = Nk(2) n个格子可以任意，即可以从个格子中任意选出n个来，这种选法共有又对于每种选定的n个格子，共有n!排列，因而所求概率P_CN n! N!2

11、Nn Nn (N -n)!【例】 弓65个盒申的不同排列(假定一年有365天).【例】停.乘客走出电梯的各种不同的排列与个球放人力乍盘中的各 种不同排列柜同.三。概率的性质：2.P()=11.0 < P(A)乞 13.p（ ） = o四.概率加法公式: 1. 概率加法公式：(1) 如果事件A, B是互不相容，则 P (A+B) =P (A) +P ( B), 特别地，P(A A厂 P(A) P(A) = 1 ；P(A)二 1 - P(A)对任意两事件43,有PMUB) = P(4) +证 因为=TO HBA = 0,故PUJB)=PA)¥P(Ba5又因为而必故P(B)P(/WU

12、B) P(AB) +F(1B)所以玖且阴 二 P(A) P(B)-PCAB) .特别地，(1)如果A与B是两个互斤事件，则?(2) 如牡1 1, ：?,*舁)拦左备爭件組，贝JHy 尸(4)= 1(3) 若 B A，贝y tP( AB) P (A) P ( B).【例7】在浴池的鞋柜中乱放护匚*0双号码不同的托鞋.解法I : 设10双鞋的号码为t号至10号鞋.我们有下列事件等式，“三只鞋中有一双配对三只中 1号鞋配对” + “三只中2号鞋配对” + “三支中10号鞋配对”.相应地可设事件为A z= A + 仏 + - +”因为儿厂r 4初两两互不相容，故 尸(月)十+尸心把1号鞋看成废品，其他

13、鞋看成合格品，由超几何分布的概率公式，有尸=10(4% _183 IIH*1140190解法1的特点是把较复杂的事件分解成较简单的事件和.解法H 所求概率、P-(60©心01. *解题的思想请读者从上式自己思考.:【例8m它的“対立书件巧“人中沒有两人有利同生臼-的概率是容易求得的因此十所求的概率是/%经计算得卜衣0,030-130 J50.4120,422230.512-10.54250.573Q0.7135曲4C0.89M50.91500 ,97550.99出人意外的是肖叭膵苗时*这亠概率就Xf 0,5.你们竝有 务少人，有相同少H的吗?【例9 一个著名问题一一匹配问题：4张卡门

14、分别标着 1，2, 3, 4,面朝下放在桌子上.一个自称有透视能力的人将用他超感觉能力说出卡片上的号数， 如果他是冒充者而只是随机地猜一下，他至少猜中一个的概率是多少?对于这个小数日(n = 4)的具体问题，可以通过把“至少猜中一个”进行分析而获得解答. 里仅给出分析结果：恰好庸屮的，數悄况数1 -B q«,9 r4I3D26180 & I|概军01/4t /3| 3/8【例】设尸=|tPCB) = |【例10】<i)若AB =锂求F(瓦Q(ii) 若 A(ZB,求 F3 刁(iii) 若尸G4B) =求 P3X)解；(i) / AB 二'',| 二 B d ABA = R,P(BA) = P(B)=寺(ii> V A c B= P(B - A)=尸(E) P(A)111 ，单!