曲线与方程充要条件

1、§ 5.7曲线与方程、充要条件预备知识方程的概念函数的图象命题和定理 重点曲线的数学表示一一方程曲线的一些具体求解问题 难点方程、函数与曲线之间的关系充分条件、必要条件、充要条件 学习要求了解曲线与方程的概念哙应用曲线方程，判定给定点是否在曲线上了解求曲线交点与解方程组的关系会应用充分条件、必要条件或充要条件，正确判断两个假设或两 个命题之间的关系本节我们将初探平面曲线的数学表示，它与函数的图象既紧密相关而又 有区别同时，通过曲线数学表示的研究，学习命题之间一种重要关系一一 充分必要条件.1.数与形 函数图象数与形，分属于两个不同领域内的概念：前者是代数，后者是几何但 是在数形之间可

2、以建立起紧密的联系让我们回忆一下这个过程建立数 轴，使实数与数轴上点之间，建立了对应关系；建立直角坐标系，使有 序实数对(x,y)与平面上(以x为横坐标、y为纵坐标)的点之间，建立了对应关系；给定函数y=f(x),xD，把函数的一对对应值 (x,f(x)作为有序数对，与平面上的点之间建立起了对应关系；函数的图象就是点集G=(x,y)|y=f(x),x D(5-7-1)把点集G在直角坐标系中表示出来，出现了形，这就是函数的图象曲线或 图形，(5-7-1)是图象曲线的数学表示例如把点集G=(x,y)|y=sinx,x 尺在直角坐标系中画出来，就是你所熟悉的正弦曲线；而(1)则是正弦曲线的数学表示.

3、把(5-7-1)表示成形，其形式是多样的.你所熟悉的三角函数的图象、指数函数的图象、幕函数的图象，以及过去你所学过的反比例函数y= k的图x象等等，都是曲线；一次函数y=kx +b(k =0)的图象则是一条直线；分段函数的图象，通常是分段的曲线或直线，如符号函数，1,当 X>0sgn(x)= 4 0,当 x=01,当 x<0它的图象是由两条不包括端点的半直线和一个点组成；列表法表示的函数，它的图象只是若干个点还有一些函数不论用什么办法都不能把图象表示成形，例如前面介绍过的(0,当x为无理数D(x)= *1, 当x为有理数i它存在图象G=(x,y)|y = D(x),x.二R，但你怎

4、么也不成不了形.一个函数y=f(x),xD如果能作出它的图象，那么不论图象的形状是怎 样的，必定具有一个公共特征：任何垂直于x轴的i y直线，与图象至多相交于一个点但是按通常直观厂 所理解的曲线一一平面上一条曲的线，未必具有这 x个特征.例如在建立了直角坐标系的平面上画一个Oj圆(图5-43)，其整体就不是任何一个函数的图象；在§ 5.2你还做过这样的习题，判断一条曲线是否图 5-43 是某个函数图象.由此可见，把函数的图象表示成形，很多情况都是曲线，但未必都是平面曲 线；平面曲线也未必是某个函数的图象连一个最常见的圆，都不是函数的图象，可见不是函数图象的曲线比比 皆是你在直角坐标系

5、中随手画一条曲线，只要有一条垂线，与曲线有多于 一个交点，它就不是任何函数的图象当曲线是函数的图象，可以用(5-7-1)表示，当曲线不是任何函数的图象，该怎么表示它呢？注意，这个必然产生的问题，已经把形数结合问题，拉进了一个全新的 领域：把从数向形的结合方向，也就是从(函)数探求形(图象)的方向，转到了从形探求数一一如何用数(学式子)表示非函数图象的曲线只有了解了这 个问题，你在形数结合问题上才算是齐了，给了 形，你会求其数(学表示)2 曲线与方程(1)具体实例在直角坐标系中以原点为圆心作一个圆(见图曲线标记为I .在I上任取一点P(x,y),由 勾股定理2 2 2(函)数，你会求其形；给了图

6、 5-44op2=oa2+ap2.x2+y2=22即x2+y2-4=0(2)反之，若一个点P的坐标(x,y)满足(2),贝U P至U原点的距离=2，因此点P在圆周上，即 P. I.因此圆心在原点、半径为 2 的圆I是坐标(x,y)满足的点的集合：2 2l=( x,y)|x +y -4=0(3)(3)就是圆I的数学表示.(3)中的核心是圆周上点的坐标所应该满足的 (2).式(2)等号左边是一个 x,y 的式子，等号右边是 0按习惯，称等号一边为 0的数学式为方程，因此(2) 是一个方程，这个方程称为圆 I的方程，即原点为圆心、半径为 2的圆方程 是方程(2)表示了对变量x, y取值的一种约束，反

7、映在几何上，是对平面上点的约束例如坐标 x,y的变化范围：|x|_2, |y|_2，这正是圆I所在的范围；给定了 -2,2中的一个xo,为了使点(xo,y)落在|上，y就不能随便取 值，它必须使+y2-4=0成立，即必须满足y2=4-，因此y只能取两个值：yi= 4 xf , y2=- 4 xf ,这样的yi,y2,也正是过x轴上点(xo,O)的垂线，与圆周交得的两个点的纵坐 标(见图5-44).所有这些约束，反映了一个事实：圆I的点的集合是如何构成的.两个变量x,y之间若存在的函数关系，我们常常用一个字母(最常用的是名词函数"的英语单词function的首字母f)加一对圆括号，来一

8、般地表示这种关系，如y=f(x),同样，若两个变量x,y之间存在用一个方程制约的 关系，那么也用一个字母加一对圆括号，来表示这种关系，如(2)表示为F(x,y) =0,这里F(x,y)的具体形式，就是x2+y2-4.正如同函数记号不一定用字母f 一样，你也可以把 表示为G(x,y)=0等等，问题不在于用 F还是G,重要的是它们的具体形式.(2) 一般情况在平面上任给一条曲线1(见图5-45)，一般来说，就会在 x,y之间确定某一个约束关系F(x,y)=0，例如x,y的变化范围二b,gyB ;每一个X，a,b, y允许的取值，必须保证点(x,y)在 曲线I上等等当然存在关系与能求出它的 数学关系

9、式(即方程)之间还有距离，后者将 会在后继内容中作一些介绍.这也就是说， 给定一条曲线I，一般就对应一个方程F(x,y)=0,而I是坐标(x,y)满足方程的点的集合l=( x,y)|F(x,y)=0(5-7-2)(5-7-2)是平面曲线的数学表示的一般形式，它的含义是：如果点P(x,y)在I上，那么坐标x,y必定使方程 F(x,y)=O成立，即满足方程； 反之，若点 P(x,y)的坐标x,y满足方程，则P必定在I上.我们常称I为方程F(x,y)=O 所表示的曲线，有时，就干脆就以方程代曲线，称作曲线F(x,y)=O.反过来，如果给了一个方程F(x,y)=O，是不是一定表示一条曲线呢？也未必，关

10、键要看是不是确实有使F(x,y)=O成立的(x,y).如x2+y2=-i，集合(x,y)|x2+y2=-1是一个空集，因此它不表示任何形；改成x2+y2=0，集合(x,y)|x2+y2=0只含有一个点(0,0)，这也很难说它是曲线.在目前条件下， 还很难告诉你，当 F(x,y)=O满足哪些条件时，集合(x,y)|F(x,y)=0构成一 条通常意义下的曲线.因此在当前，在给出方程F(x,y)=O的同时，总会告诉你，它已经表示一条曲线，你的工作可能是去验证某些点是否在曲线上， 或者根据一些条件，去完善方程等等.函数图象与图象的方程前面我们曾经说到，函数的图象的数学表示是(5-7-1)，后来我们又说

11、，一条平面曲线的数学表示形式是(5-7-2).那么(5-7-1)与(5-7-2)有什么区别呢？函数额图形与平面曲线又有什么关系呢？应该说，函数与方程是既有区别、又有联系的两个概念，说到区别，前 者强调的是两个变量之间的对应关系，后者强调的是存在与两个变量之间的 约束说到联系，这两者都在表明存在于两个变量之间的关系，前者关系以 对应法则表现得很直接：给出定义域内一个自变量，对应法则表明怎么去找 到与之有关的唯一的那个对应值；后者的关系则比较地隐晦：给出一个变 量，与之有关的另一个变量，得从方程去解算出来，其结果可以无解，可以 有一个解、二个解，甚至有无限多个解.但是从点集的角度来看，或者说从 几

12、何角度来看，这两者是没有区别的.你把(5-7-1)改写一下，成为G=(x,y)|y-f(x)=O,x D(5-7-1)不就是(5-7-2)中F(x,y)=y-f(x)的特殊情况吗？正由于如此，同样的 (5-7-1), 可以说是函数y=f(x)xD的图象，也可以说是方程y-f(x)=O,xD所表示的图形，全看场合而定.进一步，你就直接说y=f(x) (x：=D)是方程，也无何不可，无非说明你所感兴趣的，已经不是自变量与因变量之间如何对应，而是 点集(5-7-1)本身.3. 一些具体的曲线求解问题下面所举的一些例子和你的练习，是目前阶段你会遇到的与曲线有关的 问题在这里，我们把直线看作是拉直了的曲

13、线，即曲线的特例而不去严格 区分.(1)由条件确定曲线方程或验证点在已知曲线上 例1求过点A(1,3),B(-1,5)的直线方程.解设直线方程为y=kx+b(要是你愿意，也可以写成y-kx-b=0).因为点A,B在直线上，所以它们的坐标应该满足方程，即13=k+b 5=-k + b, 解方程组，得b=4,k=-1，所以，所求直线的方程是 y=-x+(例2求经过点(丄，0),振幅为2,周期为二的正弦型曲线的方程.33解设所求方程为y = Asin( x+ J .因为二=二，所以 =3;又因为 A=2, y=2sin(3x+ );最后因为点(二,0) ©33在曲线上，代入方程得0=2si

14、 n(3 )(4)3令3 =0,得=-3所以，所求的正弦型曲线的方程是y=2sin(3x- ) |对三角函数诱导公式印象深刻的同学，会提出问题：为什么从一定是(5)?不是也可以从 得到3=k，得 =(k-1), (k Z)3n吗？你的想法很正确，应该得到鼓励这说明给定的条件“过点(一,0),3振幅为2,周期为2二”，不足以唯一确定初相位，因为所给的条件，仅仅3限定了正弦型曲线的线型，而正弦型曲线是周期函数，所以初相位可以允许 相差一个 的整数倍，也就是说，曲线是确定的，但求得的曲线方程不是唯 一的.例3已知曲线丫 = 1_旦(a=1)过点(-2,3)，求a的值.x勺分析方程丫=匚旦=1+口 所

15、表示的曲线，将因 a的不同而不同，因此x +1x +1G=(x,y)|x-1,y = -a, a-1x +1表示一族曲线本题中已知“过点 (2,3 ) ”，就是要在这一族曲线中，找出 一条过点(-2,3)的曲线.解由题意，得仁2 a，解之，得a=-112+1例4验证A(-1,1), B(2,5)是否是方程y=2x2- 1所表示的曲线上的点.解 把A(-1,1)代入y=2x - 1，左边=1,右边=2(-1) -1=1=左边，所以A(-1,1)是曲线y=2x2- 1上的点；把B(2,5)代入y=2x - 1，左边=5,右边=2 X 2 -仁7,左边=右边, 所以B(2,5)不是曲线y=2x2-

16、1上的点|课内练习11. 求经过点M(1,-1),N(4,5)的直线的方程.2. 求经过点(-,0),振幅为3,周期为的正弦型曲线的方程.6 23. 已知曲线y=(ax+1)2+2过点(-1,6),求a的值，并写出曲线的方程.4. 验证点A(2,1), B(-3,7)是否在方程为y = J?T的曲线上.x +2图 5-46求曲线交点已知平面上两条曲线11： F1(x,y)=0I2： F2(x,y)=0,它们可能相离，也可能有公共点；若有 公共点，公共点个数可能一个，也可能 是多个；在公共点处，它们可能相交， 也可能相切(如图5-46，曲线11,|2相交于点P1,P2,相切于点P3).我们的任

17、务是求出它们全部或指定范围内的所有交点的坐标.若P1 (x,y)为交点，则Pl1,Pl2，因此坐标(x,y)同时满足11,12的方程，即即F1(x,y)=0-F2(x,y)=0反之，若点 共点，即是 设曲线(6);P1的坐标(x, y)能满足(6),则Pl1, P1目2，因此P1是11,12的公£ l1,l2的交点.简言之层 11,12的方程依次为 F1(x,y)=0,F2(x,y)=0，贝9P1(x,y) 1112二(x,y)是的解(5-7-3)由此可见，为了求得曲线11,12的交点，只要联立曲线的方程，构成联立 方程组(6);求出(6)的解集(或在指定范围内的解集)S=(x,y)

18、|F1(x,y)=0, F2(x,y)=0即得所求.在具体解算中，能作出11, 12的草图，对求解方程组(6)是有好处的.例5求直线1仁y=2x+1与抛物线12： y=x2 - 2x+4的交点.解化抛物线方程为2y=(x-1) +3用定位法作出它的草图，并在同一坐标系中作出直线(见图5-47)，从图中清楚地看出有两个交点.联立直线和抛物线方程，得方程组:y=2x+1y=x2 -2x +3 由(8)得2x 2x+4=2x+1,(8)X2 4x+3=0(x - 3)( x- 1)=0 所以 X1=3, X2=1； 把X1=3代入(1), 把X2=1代入(1),y1=23+1=7,y2=21+1=3

19、.图 5-47X 2 - 1 y =32=x 2x+4的交点为x1 =3y =7即直线y=2x+1与抛物线y例6求抛物线11： y=x2 - 4x+5与抛物线12:所以方程组有两解:Pi(3,7)和 P2(1,3)|y=2x2 5x+3 的交点.25 2 1解 11: y =(x-2) +1, 12： y =2(x-)-48用定位法作出它们的草图(见图5-48). 联立11, 12的方程，得方程组： 2y =x -4x +52y =2x -5x +3由(2)得2 2x - 4x+5=2x - 5x+3,(1)x 2=0(x 2)( x+1)=0 , X1=2, X2=-1 .把 X1=2 代入

20、(1)，得 y1= 2 - 42+5=1,把 X2=-1 代入(1),得 y2=(-1) 2以，两抛物线的交点为P1(2,1)课内练习21.求下列直线与直线的交点：| : ;11： y=(x-2)2+1P2(X2$2)-4(-1)+5=10 .和 P2(-1,10)12： y=2(x-5)248I O图 5-48P1(X1,y”-x1 “y=- _x-1,2求直线y=2x+1与抛物线y=x2+2的交点.求抛物线y=-x2+2与抛物线y=x2+4x+4的交点.(1) y=3x+2, y=-x-2;(2)y=x-1 .2.3.4.求下列曲线的交点:11(1) y=x - 1 与 y= ;(2)y=

21、2x+1 与 y=x + 丄.xx(3) 方程组或方程的图解法上一部分，我们是通过解方程组(6)，求曲线11, 12交点坐标，即用了结论(5-7-3)中“二”的“”；在这一部分，我们要用“二”，即通过求曲线li, 12交点坐标，来求得方程组(6)的解.那么怎么求得曲线交点坐标呢？我 们是通过曲线的图象来求得的，这就是方程组的图解法.问题：用图解法 求方程组/i(x，y0的解集，操作步骤是:f2(x,y)=0第一步 作出曲线 li： Fi(x,y)=O, 12： F2(x,y)=0;第二步找出交点，并尽量精确地估计出各交点的坐标；第三步写出结果.方程或方程组图解法的难点，是作曲线图形，图形的准确

22、程度，将直接 影响解的精确性.即使图形画得十分准确，在求交点坐标时，观察误差、估 计误差几乎也是不可避免的因此用图解法解方程组或方程，所得的解一般 都是近似解，在精度要求不太高的情况下，是行之有效的方法；若要求高精 度解，那么图解法通常用作解的预估值，在此基础上再利用计算器或计算 机，用其它算法予以精确化.例7求方程x2-4x+1=0的近似解.分析 表面上看，这似乎不是方程组图解法问题，实际上是求二次曲线y=x2-4x+1与直线y=0的交点的横坐标，所以仍然是方程组图解法问题.解第一步 作出曲线y=x2-4x+1.为此改写成y=(x-2)2-3，在定位点(2,-3) 作y=x2的图象，即为所求

23、(见图5-49); 第二步 曲线与直线y=0(即x轴)的交 点有两个P1, P2；观察图形，P1的横坐标X10.25, P2 的横坐标 X2 3.75 ；第三步方程有两个相异实根X1 0.25, X2 3.75 f(本题的根可以用一元二次方程求根公式得到：X1=2- 0.268, X2=2+ 3.732 ,比较图解法得到的根，是有误差的. )例8求方程组丿y = x 2*1的近似解.y=x -2解第一步在同一坐标系中作出直线y=x+1，再以定位点(0,-2)，作出抛物线 y= x-2 (见图 5-50)；第二步 抛物线与直线有两个交点P1,P2；设P1的坐标为(X1,y1) , P2的坐标为(

24、X2,y2),观察图形，可得交点坐标近似值为图 5-50(X1,y 1) (-1.3,-0.3), (X2,y2) (2.3,3.3)；第三步所以方程组的近似解有两组:xi s-1.3X2s2.3yi 站0.3, y2俺3.3|x_22在X. -3,2的近似解.y =x +2x -1解 第一步 作出曲线y=2x(即指数函数 的图象)，第二个方程化为y=(x+1)2-2，在同 一坐标系中，以定位点(-1,-2)再作出抛物线 y=x +2x-1(见图 5-51)； 第二步抛物线与指数函数曲线在-3,2 范围内有两个交点 P1,P2，观察图形，可得交 点坐标的近似值为(xi,y 1)：(25,0.2

25、), (X2,y2)(1,2);X2 ： 1X1 -2.5y1s0.2, y21|课内练习31.用图解法求下列方程或方程组的近似解："y =X +12 ? y =x2 +2x -14.充分条件、必要条件和充要条件(1) y=x2-2x-5;y _2 =02丄 2“.X+y =1第四步所以方程组的近似解有两组:(1) 充要条件的概念用求方程组解得到曲线交点坐标，根据曲线图形，估计曲线交点坐标来得到方程组的近似解，这两者的依据是(5-7-3).在(5-7-3)中出现了一个符号仝”回忆在此之前，我们也已经多次使用过这个符号，并且解释过这个符 号的含义是：若p= q(5-7-4)则由p成立，

26、可以推出q成立，也可以由q成立，推出p成立，简单地可 以说成由p可推出q，也可由q推出p 例如(5-7-3)，设曲线h, b的方程是F1(x,y)=0,F2(x,y)=0,fP1(x, y)W|1C2 二(x, y)是 dF1(x,y) =0 的解，2(x,y) =0对照(5-7-4), p "就是p1(x,y)E|Ql2” (即点P1是I1, b的交点),勺"就是“X,y)是JF1(x,y) =0的解” 即(x, y)是方程组的解).F2(x,y) =0深入研究一下，(5-7-4)中“ ”两边的p,q到底是什么呢？其实 p,q是两个命 题因此符号“ ”所联系的是两个命题之

27、间的关系例如(5-7-3)中，P1(x,y) 是曲线li, 12的交点”是一个命题p, “（，y）是方程组F'x）的解”是另F2（x,y）=0一个命题q.所谓P=q”含义是：若命题p成立（即命题p为真），则命题q也必定成 立（即命题p也为真），因此命题q成立对命题p成立是必要的，称命题q为 命题p成立的必要条件；所谓p =q ”含义是：若命题 q成立（即命题q为真），则必定可以推出 命题p成立（即命题p也为真），因此命题q成立对命题p成立是充分的， 称命题q为命题p成立的充分条件.合起来，命题q成立对命题p成立来说，既是充分条件、又是必要条 件，简称充分必要条件或充要条件.当然，对调p

28、, q的地位，也可以说，命题p成立对命题q成立来说，是充分必要条件.一般情况，若两个命题p, q可以用连接成（5-7-4）,那么这两个命 题互为充分必要条件.仍以（5-7-3）为例，（x,y ）是方程组 尸（x,y）=O的解的充要条件为 卩心$） 厂2&）=0是曲线1i,12的交点（p）;反之Pi（x,y）是曲线1i,12的交点（p）的充要条件为（x,y） 是方程组Fi（x,y0的解（q）.F2（x,y） =0（2）充要条件在逻辑判断中的应用从一个命题来导出另一个命题，或从一个命题来否定另一个命题，几乎成 为数学理论部分的核心内容，一些论证性数学定理，究其内容，无非在证 明甲命题是乙命

29、题的必要条件或充分条件或充要条件.因此必须搞清楚它 们之间的一些关系.下面的 p, q都表示命题.若p = q （含义：q是p的必要条件，或p是q的充分条件），则当p成立，q必定成立；当q不成立（缺少命题p成立的必要条件）,p必定不成立；当q成立，并不能保证 p成立（q成立对p成立而言，仅是必要而非充分）；当p不成立，q未必不成立.例10p :某同学是三好生，q :某同学所有课程的成绩都在 80分以上.三好 生评选规定 p=q，即三好生的必要条件是所有课程的成绩都在80分以上.分析p,q之间可能的关系.分析某同学是三好生，则他（她）的所有课程的成绩必定都在80分以上；某同学有一门课程的成绩不满

30、80分，则他（她）必定不是三好生，而不必再去全面考察他（她）的其它方面的表现；即使这位同学所有课程的成绩都在80分以上，他（她）也未必是三好生;某同学未能评上三好生，他 (她)的所有课程成绩，仍有可能都在80分以上.解p成立，q必定成立；q不成立，p必定不成立；q成立，p未必成立；p不成立，q可能成立课内练习41.校篮球队招募队员，在身体素质、学习情况、平时表现及篮球技术等方面都提出了一定的要求，其中立定投篮的命中率必须不低于50% 记p :某同学入选校篮球队，q :某同学立定投篮命中率不低于50% 试分析p,q之间可能的关系.若p ：=q (含义：q是p的充要条件，p也是q的充要条件)，则为

31、了证明p成立，只要证明q成立；为了证明p不成立，只要证明q 不成立对调p,q也是如此.这就是所谓命题等价或命题转移.例11p :某人计算机等级考试合格，q：某人计算机等级考试笔试合格，r:某人计算机等级考试上机考试合格.试分析p,q,r之间的关系.分析 因为计算机等级考试合格，必须笔试合格且上机考试合格；反之， 若计算机等级考试笔试及上机考均合格，则通过等级考试，所以q 且 r ；若q不成立或r不成立，即若笔试未合格或上机考未合格，则p不成立，即计算机等级考试不合格.解p：=q且r ;非p=非q或非r ;或课内练习51. p：三角形为等腰三角形，q：三角形的底角相等试分析 p,q之间的关系.(

32、3) 建立命题之间的关系要准确地在两个命题之间，建立起充分、必要或充要关系，不是一件简单 的事作为练习，我们不可能对比较复杂的命题来建立此类关系，只能选 一些你所熟悉的命题，练习建立它们之间的关系.例12试判断下列各题中p是不是q的充分条件，p是不是q的必要条件，q是不是p的充分条件，q是不是p的必要条件：(1) p :今天下雪，q :今天的最低温度不超过 20 C；(2) p :张伟今天病了， q :张伟今天的体温达到 39 C ；2(3) p : x 满足 x -仁0, q : x 满足 x - 1 = 0 ； p : a>b , q : >；2 2 2 p :在 ABC 中，

33、C=90, q :在 ABC 中 AB =AC +BC 解(1)因为下雪天的最低温度不可能高于20 C,而最低温度不超过 20C的日子未必下雪，所以下雪不是最低温度不超过 20 C的必要条件，下雪是最低温度不超过20C的充分条件；最低温度不超过20 C是下雪的必要条件，最低温度不超过20 C不是下雪的充分条件I(2) 因为生病未必体温达到 39 C,但体温达到39 C必定是病了，所以生病是体温达到39 C的必要条件，生病不是体温达到 39 C的充 分条件；体温达到39 C不是生病的必要条件，体温达到39C是生病的充分条件I2 2因为x-1=0,即x=1时，必定满足 x -1=0，但满足x -1

34、=0的x未必是 1(可能x=-1)，所以x-仁0不是x -1=0的必要条件，x-1=0是x -1=0的充分条件；n nx -1=0是x-仁0的必要条件，x -1=0不是x-1=0的充分条件 I因为a>b时，未必成立 >(例如-2 >-3)，但当、a >时，必定a>b>0,所以 a>b是.a >的必要条件，a>b不是, a >的充分条件；-a >是 a>b的充分条件， >不是a>b的必要条件I因为当 C=90 时， ABC为直角三角形，据勾股定理，必定成立AB2=AC2+BC2;反之，当 AB2=AC2+BC2时

35、，边AB所对的角必定是直角，即 C=90 所以C =90 是AB 2=AC 2+BC2的必要条件，C=90 是 AB2=AC2+BC2 的充分条件；ab2=ac 2+bc2 是C=90的必要条件，AB 2=AC2+BC2 是C=90 的充分条件；综合之，即C=90的充要条件是AB 2=AC2+BCT课内练习61. 判断下列各题的命题关系是否正确，并分别在题后的括号内填入“错或“对”：(1) 已知a>1,且x, y>0,则x>y是logax>logay的充要条件()；(2) 一个多边形为对称图形是这个为正多边形的充分条件()；(3) x>y >0是ax>

36、ay的必要条件()；2x -1(4) 无意义是x=-1的充分条件()；x 1(5) 一个四边形的对角线互相平分是这个四边形为平行四边形的充要条件()；(6) 一个三角形的三个内角的度数成等差数列是这个三角形有一 个角为60°的充要条件()；(7) 二次方程ax +bx+c =0有两个正实根是-b >0且C >0的充要a a条件()；(8) 0 是(x - a)(x - b) 0 的充要条件().x -b2试判断下列各题中p是不是q的充分条件，p是不是q的必要条件，q 是不是p的充分条件，q是不是p的必要条件：p :今天学校放假，q:今天是10月1 日;(2) p :张伟是

37、100m短跑等级运动员，q：张伟跑100m的最好成绩少于13秒；(3) p : x满足sinx>0，q : x是第二象限角；1(4) p : x 满足 log 1x >1，q : x (0,)；二 2(5) p :对于任意 x1<x2,<， q :函数y=ax的底a>1 ；(6) p :任意满足X2>X1>0,>， q :函数y=x的指数 <0.例13判断能否用“”，一“，二'”之一联系下列两个命题，若能，再用文字形式表述结论：(1) p :今天是雨天，q：今天不是晴天；(2) p :张金是高血压患者，q :张金得了肥胖病；(3)

38、p :两三角形全等，q :两个三角形的两边及其夹角对应相等；(4) p :四边形是一个正方形，q :四边形的对角线相等；(5) p :函数y=f(x),xD的图象关于y轴对称，q: D关于原点对称，且满足f(x)=f(-x), x D ；(6) p :函数y=f(x),xD的图象在x轴正向是上升的，q:-X1,X2D, X1<X2, f(X1)<f(X2).2 2(7) p : x =y , q: x=y.解(1)因为雨天必定是阴天，但阴天未必下雨，所以今天是雨天=今天是阴天，即雨天的必要(而非充分)条件是阴天，雨天是阴天的充分(而非必要条 件)：(2) 因为肥胖未必得高血压，高血

39、压患者也未必一定肥胖，所以肥胖与 高血压之间没有必然联系即肥胖既不是高血压的必要条件，也不是高血 压的充分条件；高血压既不是肥胖的必要条件，也不是肥胖的充分条件I(3) 两三角形全等，两个三角形的两边及其夹角必定对应相等，因此P=q；反之，两个三角形的两边及其夹角对应相等，两个三角形必定全等，因此q=p.合之可得p=q,即两个三角形全等的充要条件，是两个三角形的两边及其 夹角对应相等I(4) 四边形是正方形，则其对角线必定相等，所以p=q ；但对角线相等的四边形未必是正方形(例如可以是矩形或其它四边形),所以四边形的对角线相等，是四边形为正方形的必要(而非充分)条件若函数y=f(x),x D的

40、图象关于y轴对称，则f(x)必定是D上的偶函数， 根据偶函数定义，D关于原点对称，且满足f(x)=f(-x)厂x. D，所以p=q;反之若D关于原点对称，且满足 f(x)=f(-x),-xD，贝U y=f(x)是D上的 偶函数，因此它的图象必定关于y轴对称，所以p=q 合之可得puq，即函数y=f(x),xD的图象关于 y轴对称的充要条 件，是D关于原点对称，且满足f(x)=f(-x),-x. D|函数y=f(x),x：=D的图象在x轴正向是上升的，则函数是 D上的单调增加 函数，根据增函数定义，任意 X1,X2 三 D,当 X1<X2 时，必定 f(Xi)<f(X2),所以p=q

41、 ；反之，若任意 X1,X2, D,当X1<X2时，成立f(Xi)<f(X2),则函数单调增 加，其图象在x轴正向必定上升，所以 p二q.合之可得puq，即函数y=f(x),x：=D的图象在x轴正向为上升的充要 条件，是任意Xi,X2三D,当X1<X2时，成立f (Xi)<f(X2)若x=y，贝U x2=y2，所以P二q ；反之，由 x2=y 2,未必一定 x=y，也可能 x=-y .所以 x=y 是 x2=y2的充 分(而非必要)条件 学到这里，你或许会觉得必要条件与充分条件很容易混淆.的确如此，如果 你硬是去思索两个命题之间的关系是否是“充分地肯定”呢.还是“必然结

42、 果”，有时会难以吃准.按下列步骤去做虽然有时会有多余操作，但能助你 摆脱困境，轻松地得出正确答案.第一步 列出两个命题的内容，中间空两格；第二步 在中间的空格内试一下填入“=”行吗？行的就填上，不行填 上(表示不能由左导出右，即左边命题不是右边命题的充分条件，或右边命 题不是左边命题的必要条件)；再试一下填入“二”行吗？行的就填上，不行填上(它的含义可以比照解释);第三步 在“=”或的始端是终端的充分条件，终端是始端的必 要条件；第四步 在“”或“的两个终端之间，没有充分”与 必要”那种关系.课内练习41. 选择适当 丄”厂“之一，填在下列各题的空格内：(1) 李虹戴近视眼镜李虹眼睛近视；(

43、2) 李虹今日去旅游李虹全家今日去旅游；(3) 李虹获了奖李虹获三等奖；点P在线段AB的垂直平分线上点 P到点A、点B的距离相等；(5) 两个三角形的两边一对角对应相等这两个三角形全等；2(6) 二次曲线过原点二次曲线方程y=ax +bx+c中的常数项c=0;2小(7) a>0a >0 ;2 . 2(8) a>b_0a >b ;(9) 两直线与第三条直线相交，同位角相等两直线平行；(10) 在四边形ABCD中，AC丄BD四边形ABCD为菱形；(11) 二次方程ax +bx+c =0有两个不相等的实根判别式>0.课外习题A组1. 求经过点A(1,2), B (-3,

44、-4)的直线方程.2. 求经过点A(1,-1),B(3,3)及原点O的抛物线方程.3. 求经过点(乞，1),振幅为2,周期为一的正弦型曲线的方程.12 24. 已知曲线(ax+1) +y =25过点(-1,3)，求a的值，并写出曲线的方程.5. 验证点A(2,3), B(-1,70)是否在方程为y=2x - +5 -x的曲线上.6. 求下列直线与直线的交点：1(1) y=2x+2, y=-3x-3; (2)y=-x-2, y =2x+3.27. 求直线y=2x+1与抛物线y =+3的交点.228.9.求抛物线y=-x+2与抛物线y=x+4x+4的交点.求下列曲线的交点：(1) y=-x+1 与

45、 y= x 1 ；(2)y =3x+3 与 y =x+.x十1x10. 用图解法求下列方程或方程组的近似解:-x q2二-x2x1-2=0 y .y 1 ； 2y =x -2x -211. 选择“=”或“”，填在下列各题的空格内：(1) 点 P(x0,y0)在曲线 F(x,y)=0 上 F(x。, yo)=0 ；(2) 两个三角形的两角一对边对应相等这两个三角形全等；> 0；对”或错”:( )；(3) 二次曲线y=ax +bx +c与x轴有两个交点二次判别式2 . 2(4) a >b a>b.12. 判断下列命题关系是否正确，并在题后的括号内分别填入(1) 已知a>1，

46、则x>y是ax>ay的充分条件(2) 一个多边形为正多边形是这个多边形为中心对称图形的充分条件()；(3) x>y>0是x2>y2的充分条件()；(4)x=-1是x2-2x无意义的充分条件().13. 选择“=”,“”，“二”,“”填在下列各题的空格内：(1)两直线都与第三条直线平行两直线平行；在四边形ABCD中，AB| CD四边形ABCD为梯形；2二次方程ax +bx+c=O有实根判别式>0;2(4) a>1a >a.14. 判断下列命题关系是否正确，并在题后的括号内分别填入对”或错”:(1) a >0且c<0是二次方程ax+bx

47、+c=0有两个异号实根的充要条件()；(2) a>b是丄，.-的充要条件().a b15. 在下列各题的空格内，填入充分而非必要条件”或必要而非充分条件或既非充分也非必要条件”或 充要条件”中的一个：(1)x为自然数，是 x为整数的 ;四边形ABCD为平行四边形，是该四边形为矩形的 ;(3) x>3 是 x>5 的;(4) a=0 是 ab=0 的;(5) a=b 是|a|=|b|的;(6) 今天为星期一，是明天为星期二的；(7) 两个三角形的两个对应角分别相等，是这两个三角形相似的 (8) a>b 是|a|>|b|的.课外习题B组1.求下列曲线的交点：1 2 2

48、 2(1)y=sinx,y=cosx; (2)y=2x,y =()x；(3)x +y =4, y=x -2;22 2x 2*2 y(4) y =1, x1 .2 22. 用图解法求下列方程或方程组的近似解:=41(1)sinx= x;2丄 2x 十y 1y 二一j x3. 在下列各题的空格内，填入充分而非必要条件”或必要而非充分条件或既非充分也非必要条件”或充要条件”：(1) 点 P(x0,y0)不是曲线 F(x,y)=0 和 G(x,y)=0 的交点，是 F(x0,y0)0 或G(x0,y 0)0 的；(2) a+5是无理数，是a是无理数的；(3) a>b 是 ac2>bc2 的

49、；(4) |x-2|3是 x -1 或 x 5 的；(5) x ；2x 3 =x2 是 2x+3=x2 的；2 (6) 方程ax +2+1=0至少有一个负的实根的是 a 1.C组1.用图解法求下列方程或方程组的近似解：；y=si nxy =arccosxy =2cos(2x 3)2y = _x2x 22. 已知：s是r的充要条件，p是q的充分条件，r是q的必要条件，问s 与p有怎样的关系？本章小结1.函数与映射映射定义如果集合D中任一兀素x,通过一定的对应法则 f, 能在集合M中有唯一一个元素 y与之对应，则称在 D与M之间建立了一个从 D到M的映射f,记作f:D tM，或 xDTyM.并称x

50、为原像，y为x的像，D为原像集，M为像所 在的集合特 例满射设映射f：DTM，若VM,使y是x的像,则 称映射f是D到M的满射映射设映射f：DTM，若寸yM,存在唯一一个 x迂D,使y 为x的像,则称映射f是D到M的是映射.函 数定义函数是数集之间的满射如果数集 D中任一数x，通 过一定的对应法则f,在数集M有唯一一个数y与之 对应；且M中任何数y，在D中存在数x，使x的对 应值是y称在D上定义了函数f记作y =f(x) ,x E D称D为函数f的定义域，x为自变量，y为因变量， M为值域；对D中某个x,称对应值f(x)为这个自变 量所对应的函数值.特例(一一 对应函数)如果值域M中任一 y，

51、在定义域中 D存在唯一的使 y=f(x),通常称这样的函数为一一对应函数.表 示 法列表以表格形式表示自变量与因变量之间的对应关系图象以图象形式，从x轴上自变量点图象上点y轴上因变量点，表示自变量与因变量之间的对应关系解析一般以y = f(x),xD,表示对应关系，其中f(x)为一个x的式子或常数分段以y = f(x),xD,表示对应关系，其中 f(x)在 x不冋变化区间，表示为不冋的 x的式子或 常数疋义 域列表表列自变量值的集合图象图象在x轴上投影的范围解析限定 定义域实际问题所限定的自变量变化范围自然 定义域使表示函数对应关系的数学式子有意义 的自变量的集合函 数 的 改 变 量定义xo

52、,xo+xED,y=f(xo+x)-f(xo),称y 为函数y =f (x)在 xo处对应于自变量改变量x的改变量.几何 表示|y|表示函数图象上连接点P(xo,f(xo)与点Pi(xo+x,f(xo+x)的线段，在纵坐标轴上投影的长度2.函数的一般性质(函数y=f(x),xD)增 减 性单调 增加任意 X1,X2ED,当 X1<X2,就有 f(xi)0(X2)，则称 f(x)在 D 为单调增加函数；若不等号 “”为“ <；则称f(x)在D为单 调增加函数.单调 减小任意 X1,X2D,当 X1<X2,就有 f(xi)旨(X2)，则称 f(x)在 D 为单调减小函数；若不等号

53、 “”为“；则称f(x)在D为单 调减小函数.增 减 性单调 区间单调：单调增加，单调减小的统称a,b匚D，若函数在a,b上是单调的，则称a,b为f(x)的 一个单调区间在单调区间内，函数图象在X轴的正向是上升的(若单调增加)或下降的(若单调减小)奇 偶 性奇 函 数定义若D关于原点对称，且任意XED，有f(x)=-f(-x),则称y=f(x)为D上的奇函数图象 特征奇函数的图象关于原点呈中心对称偶 函 数定义若D关于原点对称，且任意x乞D,有f(x)=f(-x),则称y=f(x)为D上的偶函数图象 特征偶函数的图象关于y轴呈轴对称周 期 性定义设 D=(q,+M).若存在 T>0，使任

54、意 xD, f(x+T)=f(x), 则称y=f(x)为以T为周期的周期函数.周期函数的周期总 是指最小正周期图象 特征函数图象的整体，是它在一个周期内图象的周期延拓3.指数函数和幕函数的性质指 数 函 数定义y=aX,(a>O,a誚)；称a为底，x为指数 定义域：x w(-°o,+°o);值域：yE(0,+°o)底a>1情况单调性单调增加其它性质无周期性和奇偶(对称)性；图象示意1fy/底 0<a<1情况单调性单调减小1其它性质无周期性和对称图象示意O函数值与 底a的关 系对同一个X>0,若0甲1“2,( 对同一个 x<0，若 0<01<a2,ay,a2 科),<a1,a1),>幕 函 数定义y=x? （ ?0）;称 为指数，称函数值为x底的 次幕；指数 >0情况定义域 和值域定义域：0,+珀），值域：0,+血）单调