数量积向量积混合积

1、第二讲I授课题目§ 2数量积向量积n 教学目的与要求1、掌握向量的数量积的定义及数量积的性质;2、掌握向量的向量积的定义及向量积的性质;3、掌握向量的数量积与向量积的计算方法。 川教学重点与难点1、重点：数量积与向量积的定义及性质。2、难点：数量积与向量积的计算方法。IV 讲授内容一、两向量的数量积M1移动到点M?，以s表示位移MiM?,数量积的物理背景：设一物体在常力F作用下沿直线从点 由物理学知道.力F所作的功为W = |F| |s| cosh 其中 为F与s的夹角.数量积：对于两个向量a和b它们的模a、|b|及 它们的夹角二的余弦的乘积称为向量a和b的数量积.记作a b即a b

2、=|a|b| cos -.数量积与投影： 由于|b| cos日斗b|cos(a : b).当a和 时.|b| cos(a : b)是向量b在向量a的方向上的投影.于是ab = |a|Prjab同理当 b=0 时.a b 二 |b| Prjba这就是说，两向量的的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这个向量的方向上的投 影的乘积。数量积的性质：2(1) a a 二 |a | .这是因为夹角B岂，所以a a = |a| a | cos|a| 2 .(2) 对于两个非零向量 a、b如果a b =0 .则a_b;反之.如果a_b则a b= 0n这是因为如果 a b =0，由于|a|与|b|均不为零

3、，所以 cost =0,从而戶一，即a_b;反之如果2a_b那么，cos - =0,于是 a b= |a|b| cos0。2由于零向量的方向可以看作是任意的，故可以认为零向量与任何向量都垂直.因此，上述结论可叙述为：向量a_b a b刃.数量积的运算律：(1)交换律a b二b a(2) 分配律：(a b) c=a c b c(3) ( a) b =a( b) =( a ).(a) ( b) _ - (a b) . 、为数，(2)的证明：分配律(a b) c=ac bc的证明 因为当c 乂时.上式显然成立 当c -0时.有(a b) c =|c|Prjc(a b)=|c|(Prjca Prjcb

4、)=|c|Prjca |c|PrjcbC=a c bc例1试用向量证明三角形的余弦定理证设在 AABC中丄BCA- v . BC匸aCA|± . |ABc要证2 2 , 2c a b -2 ab cos记 CB =a . CA =b . AB =c .则有c=ab从而 |c|2 =cc=(a-b)(a 七)=a a b b2a b二|a|2 |b|2-2|a|b|cos(a Ab). 即 c 2 =a 2 b 2 -2 ab cos数量积的坐标表示：设 a= (ax ay az ) .b=(bx by bz ).则a baxbx ayby azbz.提示：按数量积的运算规律可得a b

5、 =( ax i ay j az k) (bx i by j bz k)=axbxi i - ax by i j - ax bz i kaybxj i ay by j j ay bz j kazbxk i az by k j az bz k kaxbx ' ay by az bz .两向量夹角的余弦的坐标表示：设=(a a b).则当a=0、b=0时有；、.a baxbx ayby azbzcos V1 a|b|初彳朽：朽:丫吠也：先：提示 a b= |a|b|cosx例 2 已知三点 M (1 1 .1)、A (2 2 1)和 B (2 1 2).求.AMB .解 从M到A的向量记为

6、a从M到B的向量记为b则.AMB就是向量a与b的夹角a 41 1 0 b=1 0 1.因为|a|= .12 12 02 ,2 .|b|=$12 02 1.2 .所以 cos/AMB =a b 1|a|b2 ；2_2从而 NAMB =二.3二、两向量的向量积在研究物体转动问题时.不但要考虑这物体所受的力.还要分析这些力所产生的力矩设O为一根杠杆L的支点 有一个力F作用于这杠杆上 P点处F与0P的夹角为由力学规定.力F对支点O的力矩是一向量 M .它的模|M 冃OP|F |sin n .的角转向而M的方向垂直于 OP与F所决定的平面.M的指向是的按右手规则从OP以不超过F来确定的.向量积：设向量c

7、是由两个向量a与b按下列方式定出：c的模|c|=|a|b|sin v .其中v为a与b '川丫灯1c的方向垂直于a与b所决定的平面c的指向按右手规则从 a转向b来确定那么.向量c叫做向量a与b的向量积.记作a b即c =a b根据向量积的定义 力矩M等于0P与F的向量积.即TM =0P F .向量积的性质：(1) a a =0(2)对于两个非零向量 a、b如果a b =0 .则a/b反之.如果a/b则a b=0如果认为零向量与任何向量都平行.则a/ba b =0 ,数量积的运算律：(1)交换律 a b 二-b a (2) 分配律：(a b) c = a c b c(3) ( '

8、a) b =a (，b) (a b)(，为数).数量积的坐标表示：设a = ax i ay j az k.b= bx i by j bz k .按向量积的运算规律可得a b 二(ax i ay j az k) ( bx i by j bz k)二 axbxi i ax by i j ax bz i kaybxj i ay by j jay bz j kazbxk i az by k j az bz k k 由于 i i=j j=k k =0 i j=kj kk i=j 所以a b = ( ay bz_ az by) i - ( azbx_ ax bz) j ( ax by - aybx) k

9、为了邦助记忆.利用三阶行列式符号.上式可写成i j kaxb亍 ax ay az =aybzHazb 七xbyk-aybxk-axbz j-azbyibx by d=(ay bz- az by) i ( azbx - ax bz) j ( ax by - aybx) k , 例 3 设 a .1 .)b=(1 .-1 .2).计算 a b,hijk解axb亍21X=2i-2kkVj-i=i-5j七k,1-12例4 已知三角形 ABC的顶点分别是 A (1 2 3)、B (3 4 5)、C (2 4 7).求三角形ABC的面 积，解 根据向量积的定义.可知三角形ABC的面积S.abc =；|AB|AC|sin. A=；|AB AC| ,由于 AB =(2 2 2) . AC 彳1 .2 4).因此t t i j kABXAC=2 2 2 Hi-6j吃k ,1 2 4于是 S 岛bc #|4i -6 j+ 2k A#2 %-6)T J4 ,V 小结与提问小结：1、数量积的定义，数量积的性质，数量积的坐标表示，两向量的夹角公式。2、向量积的定义，向量积的性质，向量积的坐标表