利用导数研究不等式恒成立能成立问题

1、利用导数研究不等式恒成立 (能成立)问题1. 设函数f(x) = (1 + x x2)ex(e= 2.718 28是自然对数的底数).(1) 讨论f(x)的单调性；当x> 0时，f(x)< ax+ 1 + 2x2恒成立，求实数a的取值范围.解：(1)f' (x) = (2 x x2)ex= (x+ 2)(x 1)ex.当 x< 2 或 x>1 时，f' (x)<0;当一2<x<1 时，f' (x)>0.所以f(x)在(a, 2), (1,+)上单调递减，在(2,1)上单调递增.(2) 设 F(x)= f(x) (ax+ 1

2、+ 2x2), F(0) = 0,F' (x) = (2 x x2)ex 4x a, F ' (0) = 2 a,当 a > 2 时，F ' (x)= (2 x x2)ex 4x a< (x+ 2) (x 1)ex 4x 2< (x+ 2)(x 1)exx 2= (x+ 2) (x 1)ex+ 1,设 h(x) = (x 1)ex+ 1, h' (x) = xex>0，所以 h(x)在0，+ a)上单调递增，h(x) = (x 1)ex+ 1 > h(0) = 0,即F ' (X) w 0在0，+ a )上恒成立，F(x)在

3、0，+ a)上单调递减，F(X)W F(0) = 0,所以 f(x) w ax+ 1 + 2/ 在0, + a)上恒成立.当a<2时，F ' (0) = 2 a>0，而函数F' (x)的图象在(0, +a)上连续且+ a , f' (x) 逐渐趋近负无穷，必存在正实数 x0使得F '(X0)= 0且在(0, X0)上F ' (x)>0,所以F(x)在(0, X0)上单调递增，此时 F(x)>F(0) = 0, f(x)>ax+ 1+ 2x2有解，不满足题意.综上，a的取值范围是2 , + a).2. 设函数 f(x) = 2

4、ln x mx2 + 1.(1) 讨论函数f(x)的单调性；(2) 当f(x)有极值时，若存在 X0,使得f(x0)>m 1成立，求实数 m的取值范围.解：(1)函数f(x)的定义域为(0 , + a),2 2 mx2 1f' (x)=x 2mx=x,当 mW 0 时，f' (x)>0 , f(X )在(0 ,+a )上单调递增;当 m>0 时，令 f' (x)>0，得 0<x<令 f' (x)<0 ,得 x哺, f(x)在0，第上单调递增，在.,+ a上单调递减.由(1)知，当f(x)有极值时，m>0 ,且f(x

5、)在0, 上单调递增, 在Y+a上单调递减.二 f(x)max= f = 2ln m m 丄 + 1 = In m,mm m若存在 Xo,使得 f(xo)>m 1 成立，则 f(x)max>m 1.即一In m>m 1, In m+ m 1<0 成立.令 g(x) = x+ In x 1(x>0),1g' (x) = 1 + x>0, g(x)在(0,+s)上单调递增，且 g(1) = 0, 0<m<1.实数m的取值范围是(0,1).3. (2020 西安质检)已知函数 f(x)= In x, g(x) = x 1.(1) 求函数y= f

6、(x)的图象在x= 1处的切线方程；若不等式f(x)w ag(x)对任意的x (1 ,+ )均成立，求实数 a的取值范围.1解：(1) / f' (x)= -, f' (1) = 1.x又 f(1) = 0,所求切线的方程为 y f(1) = f' (1)(x 1),即为 x y 1 = 0.(2) 易知对任意的 x (1, +), f(x)>0 , g(x)>0. 当 a> 1 时，f(x)<g(x) w ag(x); 当 a< 0 时，f(x)>0 , ag(x)w 0,不满足不等式f(x)w ag(x)；1 当 0<a&l

7、t;1 时，设 0(x)= f(x) ag(x) = In x a(x 1)，贝U / (x) = - a(x>1)，令(j)z (x)x1=0，得 x=1,当x变化时，於(x), «x)的变化情况如下表：x11, ，a1 a1 ,+ ma0 (x)+0一<Xx)极大值1yx)max= $ a > 0(1) = 0,不满足不等式.综上所述，实数a的取值范围为1 ,+ ).4. 已知函数 f(x) = ax + x2 xIn a(a>0, a* 1).(1) 求函数f(x)的极小值；(2) 若存在X1,血 1,1，使得|f(x1) f(x2)|>e 1(e

8、是自然对数的底数)，求实数a的取值范围.解：(l)f' (x) = axin a + 2xIn a= 2x+ (ax 1)ln a.当a>1时，In a>0，函数y = (ax 1)ln a在R上是增函数，当0<a<1时，In a<0，函数y= (ax 1)ln a在R上也是增函数，当a>1或0<a<1时，f' (x)在R上是增函数,又 f' (0) = 0, f' (x)>0 的解集为(0, +s), f' (x)<0 的解集为(一a, 0),故函数 f(x)的单调递增区间为(0,+)，单调递

9、减区间为(一a, 0),函数f(x)在 x = 0处取得极小值1.(2) 存在 xi,血 1,1，使得 |f(xi) f(x2)|> e 1,只需f(x) max f(x) mine 1 即可.由(1)可知，当x 1,1时，f(x)在1,0上是减函数，在(0,1上是增函数，当 X 1,1时，f(x)min = f(0) = 1 , f(x)max 为 f( 1)和 f(1)中的较大者.11f(1) f( 1)= (a+ 1 In a) a+ 1 + ln a = a 2ln a, aa1令 g(a)= a 一 2ln a(a>0), ag (a) = 1+ 孑-a= 1 a 2>0,1 g(a) = a 2ln a 在(0, + a)上是增函数. a而 g(1) = 0，故当 a>1 时，g(a)>0,即卩 f(1)>f( 1);当 0<a<1 时，g(a)<0,即卩 f(1)<f( 1).当 a>1 时，f(1) f(0) > e 1,即卩 a ln a> e 1.由函数y= a ln