几何模型一线三等角模型

1、WOR格 式专业资料整理一线三等角模型异侧.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似 图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。二.一线三等角的分类全等篇BA相似篇钝角异侧三、“一线三等角”的性质1. 一般情况下，如图 3-1，由/仁/2=2 3，易得 AE3A BDE.2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图3-1，若CE=ED则厶AECA BDE.DIS 3*1D是 BC中点时， BDEA CF»A DFE.3. 中点型“一线三

2、等角”如图3-2 ，当/仁/2=2 3,且4. “中点型一线三等角“的变式（了解）1如图3-3，当/ 1 = 2 2且BOC90 =''/ BAC时，点0是厶ABC的内心.可以考虑构2造“一线三等角”.S3-3图各4*如图3-4 “中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，1住BOC 90BAC这是内心的性质，反之未必是内心.2在图3-4 （右图）中，如果延长BE与CF,交于点P,则点D是APEF的旁心.5. “一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）A图3-5其实这个第4图，延长DC反而好理解相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的， 同侧穿越

3、型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1. “一线三等角”应用的三种情况.a. 图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b. 图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；C.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角 或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题2. 在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x轴或y轴（也可以是平行于 x轴或y轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手 段.3. 构造一线三等角的

4、步骤：找角、定线、构相似在DC的延H统上赴取CE二鼻在CD的延长嫂上截取DF二1Cd* aj=|riR*JiF'/ jr/ '/1#i J1占 DenM|r1'£AEfi.Aj/HJ tanZAEP= tanZPFB= uns 则Z1AEP= ZPFB=ZAPS > WWAPa£«ABPF,4在 CP±«取 CE=r SDP卿 DF= TanaBDtana则 «ZAEC= t»ZBFD= tana JWZAEC= ZBFD= a= ZAPB .所tlAPAE«iBPF 坐标系中，要讲究

5、“线”的特殊性如图3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角C、D两点作直线I的当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了 “量化”的需 上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握 解题示范例1如图所示，一次函数y _ _x4与坐标轴分别交于两点，点P是线段AB上OPC=45，若 OPC是等腰一个动点（不包括 A、B两端点），C是线段 OB上一点，/ 三角形，求点P的坐标.例 2 如图所示，四边形 ABCD中, Z C=90° , / ABD=/ DBC=22.5°,

6、 AE丄BC于 E,ZADE=67.5°, AB=6,贝U CE=.例 3 如图，四边形 ABCD中,/ ABC玄 BAD=90，/ ACD=45 , AB=3, AD=5求 BC 的长.例 4 如图， ABC中，/ BAC=45 , AD丄 BC, BD=2, CD=3,求 AD的长.一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更找出相似形，精妙比例不能少.巧设未知数，妙解方程好还是可以纵横斜三个万向构造，坐标系中一般考虑纵横两个万向构造例 5 如图，在 ABC中，/ BAC=135 , AC= J2AB，AD丄AC交 BC于点 D,若 AD=护，求厶ABC的面积当然有45。或135。

7、等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种大练身手:ZBgO0.血）二2 BC = 4.求 ao的氏.L如图.皿月U中.2如图摘AABC中，二90 ZC42>45° < /沪弟 CD5,求妙的长.3,如图.在边形仙8 中，ZJH4D=ZJCfi=ZJ4CD 45* . j«>4.求BCD的周长.4连直JCM. D为M的审点，若QEF为正*够 求CF的论久如團?在旌呂件中弓g* ,毋平曲庫的書#ZCD60* +CA = 43求ND的长、亂如觀 在等腰直角三仙胆虧 虫 1诞潯旷掛i?为期

8、上一点建矗CIX护为CD上L爲N朋ZX4列若 S6事XCD的面积为1E则线段DB的长为.WOR格 式8.如NBWLEKT , AB = 22,点。圧 边上丫J3IEUJ3M D£DC DE交dC边与虑爪 EF二艮则的说氏如覘在平画I询堂标瑕中.点aaj九 点他2间赢庙匚农第Tfent效荐皿瞪总緬三角慈 wf斗%'J/" "常口"Jy点C的坐标为.a "h" a a1 n专业资料整理晦能療砂b在稣坐标報的f圖uBE希歳凤丽血点做坯反比剖臍数鼻上的闍像逊血J8C 于d 輕两風 HZ/XTEtS* 量卿 *=;, *的看値I的双曲线

9、皓ZPBO45"II 如阁，直践”匸交坐标轴与包两点交双HU线> = '(t>0)于点G且也严瓦点尸在点C r注12. #Aj4»CHS AB2ZltZB45以点为宜角顶点作等楼直角直杪底直ZJ莊BChE在£<?上卯若CE = JS,则CD的區为B如图.宜角也缸中? ZO90' . AC=.8 P 口杲弼边的中点.E?4BC匕动点.BF丄ME R点凡连接D民若MEF是尊腰直:ffi三角賂 求3的长愿中"=45 口 I. -D是fiC上f禺旌接山 弦点/翟彌丄4爲 在如3上取点码 连接DF.延长皿 至瓦使AEAF.连接EG

10、, DGf ,_BL GEDF0若AB = 2亞AB f 求月C1的柚<25如图1,当点奁程MJt渤求）血恸签耆成在水的垂直乎龙圾卜时上直接冯出AB5=1 J ”的值.EWOR格式例7:在平面直角坐标系中，已知点A (1, 0), B (0, 3), C (- 3, 0), D是线段AB上一点，CD交y轴于E，且SA BCE= 2SA AOB.(1) 求直线AB的解析式；(2) 求点D的坐标，猜想线段 CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由；(3) 若F为射线CD上一点，且/ DBF= 45°，求点F的坐标.例8如图，直线y = x + 2与y轴交于点C与抛物线y =

11、ax2交于A B两点(A在B的左侧)， BC= 2AC,点P是抛物线上一点.(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；(3) 若点P在直线AB的上方，且/BPC= 45 °,求所有满足条件的点 P的坐标.专业资料整理练1:.如图，抛物线的顶点为 C (- 1,- 1),且经过点 A、点B和坐标原点O,点B的横坐 标为3.(1) 求抛物线的解析式；(2) 若点D为抛物线上的一点，且 BOD的面积等于厶BOC勺面积，请直接写出点 D的坐标;(3) 若点E的坐标为(0, 2),点P是线段BC上的一个动点，是否存在点P,使得/ OPE=45

12、 °?若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.课后作业：APB=45，求点 P的坐如图，点A(0,-1),B(3,0),P 为直线y=-x+5上一点，若/标在四边形 ABCD中，/ ABC=/ BAD=90，/ ACD=45 , AB=3,AD=4,求 AC的长.如图，正方形 ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上， EFG为等边三角形，求证:BE+GC= 3BC如图， ABC DBA,且 AC=2BC,求证:CD=2AB.女口图，在四边形 ABCD中, Z ABC= 90°, AB= 3, BC= 4, CD= 10, DA= 55,求 BD的长如图，占

13、八、2）,点B是X轴正半轴上一点，C的坐标为0,A是反比例（X> 0）图形上一点，点ABC是等边三角形时，求点A的坐标撼柳騰卩三岸一竝半鼻号鏗启轴奴汙 孤 匕三jfiL点户在抛物Et止1拠丄貂 于直萬 著凰畤谊 求p曲坐标.2 + +如图，抛物线y = axbx4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,1-7直线I : y = 2X + m 经过点A,与抛物线交于另一点D（5， 2），点P是直线I上方的抛物线上的动点，连接 PC PD.（1）求抛物线的解析式；（2）当厶PCD为直角三角形时，求点 P的坐标；（3） 设厶PCD的面积为 S，请你探究：使 S的值为整数的点 P共有几个，说明理由.y 二_4 x221.如图1,已知直线 y=kx与抛物线交于点A (3, 6)273(1) 求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；(2) 点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM,交x轴于点M (点M O不重合) 交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果，求出这个定值，如果不是，说明是理由；(3) 如图2,若点B为抛物线