偏导数的几何意义

1、§ 8-5多元函数微分学的几何应用A级同步训练题：一、客观题：1、曲面z=F（x,y,z）的一个法向量为（）（A） Fx,Fy,Fz -1;（B） Fz-1,Fy -1,Fz-1;(C)Fx,Fy,Fz,;(D ) Fz，-F y ,1 .2、旋转抛物面z=x2；+2y2-4 在点（(1,-1 , -1 )处的法线方程为（）x -1y 1z 1x -1 y 1 z 1(A)(B) 24-1 '2-4-1 'x -1y 1z 1x 1 y -1 z-1(C)=;(D)-24-1-24-13、曲线X二sin（t-1）,y =1 nt,z=t2在对应于t =1点处的切线方程

2、是（xyz -1x y 1(A) ,(B)1111 1xyz -1x y z(C);(D)=1121 1 24、曲线x=t3,y=t2,z=t在点（1， 1， 1）的切向量=。2 2 25、x - y +z =3在点（1,1,1 ）的切平面方程为z-12、求曲面xy yx -二z -二二在点处的切平面和法线方程。三、求曲线x =t,y =t2,z=t3上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面6y-z=1。23四、求曲线x=2t-t -1, y=t，1,z=t -9t -1上的点，使曲线在该点处的切线垂直于平面 2x - y - 3z 4=0。五、求曲面z=x2+y2在（1, 2 , 2）处的切平

3、面与法线方程。 B级同步训练题：一、客观题：1、设曲面z=xy上点的切平面平行于平面，贝y点到已知平面的距离等于（）24（A） ; （ B） ; （ C）; （ D）.yz ' xcos（x y）在点.,0,1处的法线方程为（12丿V212、曲面z = e(A)兀x -2 _yz -1Jt兀11 -22xz-1(C)2yJIJI11 -22兀x -(B)2JI_ 2JIx(D)2兀_ 2y z -11 -12y z-122 23、设曲面z = x - y在点(1,2,-3)处的切平面为，则点到的距离为()(A) - 21； ( B) . 21； (C)(D)9、21 .4、若曲线x =

4、1 ncost,y=l n si nt,z=ta nt在对应于点处的切线与平面交角的正弦值是()(A)补(B) -J6 ; (C) 0;(D) 1.5、设都是可微函数，则曲线在点处的法平面方程为6、若曲线丿x2 _ y2 _ z = 02 y22在点处的切向量与轴正向成钝角，则它与轴正向夹角的2x2 +y2 +z2 =3余弦7、设函数具有一阶连续偏导数，且Fu(1,-1,-1) = 3,Fv(1,-1,-1)=1,Fw(1,-1,-1) =1，曲面过点 P(1,-1,-1)，则曲面过点的法线与平面的交角为 。8、设曲线x=2t 1,2t2 -1,t22在对应点处的法平面为，则点(-1,2,2)

5、到的距离、求函数u = x - 2y 3z在点(1,1,1)处沿球面外法线方向的方向导数。三、求曲线x = t3, y = 2t2 ,z = t上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面x y z = 1。四、 求曲线上的点，使曲线在该点处的法平面平行于平面，并写出曲线在该点处的切线方程。五、在柱面上求一曲线，使该曲线经过点，且在任一点处的切向量与轴的夹角等于与轴的夹 角。六、 设 M( 1，0，0)为曲面 ez=f(x,y)上的一点，且 fx(1,0)=2， fy(1,0) =-2，求曲面在点M处的切平面。七、 证明曲线 x = mt, y = nsin(mt), z = n cos(mt)上任

6、意一点的切线与平面的夹角都相同(其中 m = 0, n = 0 )。辅导与参考答案: A级同步训练题:x -12y-2z-2。4-1一、客观题：1、(A)2、( B)3、(C)4、32,15、x y z 1=0二、解:对应的切平面法向量n -匕二（1ln二）,“门（1 ln二），-二二In二/切平面方程（1 ln 二）（x y） -ln 二 z 7f（2 ln 二）=0，法线方程x y z-二。1 +ln 兀1 +ln 兀一ln 兀三、解：设所求的点对应于，对应切线方向向量S = ",2t0,3t0 /， S n = 12t0 - 3t0 = 0解得：和 t0 =4，和（4,16,6

7、4）。四、解:设所求的点对应于，对应的切线方向向量S.2 2t0,1,3t： 一9匚解得：，所求点为（-1，3, 11）。五、解：2 2F(x, y, z)=x y -z, Fx =2x,Fy =2y,Fz - -1在点(1, 2, 2)处 n = ；2,4,-1切平面为2x 4y -z -8 = 0 ；法线为B级同步训练题：一、客观题：1、（ C）2、（ D）3、（ C）4、(A)5、6、7、解：n =2x,2y,2z1 =21,1,1?，-:ux-:u-:n1:u-：z1 1 1=1 2 3 =。V33i3v31,1,1、解：设所求的点对应于，对应的切线方向向量S3t；4to,1 S n=3tj 40 1=0 ；1/ 1 21to =-和鮎=1，所求点为：-一，一，一和(1,2,一1)。3i 27 93 丿四、解：对应的法平面法向量平行于平面法向量，和；所求点为：和，切线方程：和。五、解：设曲线的参数方程为S -: -Rsint,Rcost,z (t)1，与轴夹角余弦；与轴夹角余弦，由，得由曲线过点，得所求曲线为：。六、 解：F(x, y, z) = f (x, y) -ez,F x二 fx,F fy, F -ez，n = '2 -2, -1 ；切平面为