不等式解析十二法

1、不等式解析十二法何为数学经典题目？数学经典题目就是经过历史选择出来的最有价值的经久不衰的题 目。每个经典题目，都经得起人们的拷问和时间的考验；每个经典题目，总是蕴含着某种 重要的数学思想和方法； 每个经典题目，总有其独特的教育价值和教学功能；每个经典题目,都能穿越时间的深度和厚度而又最终超越时间经久弥新、与时俱进。数学教科书上的例习题有不少题目堪当经典， 本文以其中一道经典题目为例，说明经典题目在复习教学中的潜能挖掘与应用，以期抛砖引玉。题目已知J ： L H，且芒+匸一，求证3本题目是普通高中课程标准实验教科书数学选修不等式选讲人教 J版第十页习 题1 第11题。这是一道经典的条件不等式证明

2、题，解题入口宽、方法多样，对本题进行题多解训练，可达到举一反三触类旁通，解读一题沟通一片以点带面的复习效果。证法1 (配方法)因为. !，' '丨，所以_ I - -所以I； ' "”+ .'_+ I=2(fi+)a+-4a-i+-=2(a+)a+-(A-Ja+-22222333,.11A-l1a +c >-b =Q a + 0., a -b - c -所以E ,当且仅当？ 且 I 且1即3时等号成立。点评本解法先消元:，将表示成只含的二次式，并将此式当作是以a为主元的二次三项式进行配方， 再将配方后余下的部分再次配方，然后用实数平方的非负性，从

3、而使问题得到解决。证法2 （构造二次函数）因为.? - L：' - 7 1 ,所以：一 一：L：'，2-1) 1-Aa 二一_ 兰故当III时,- 1最小，此时C-=1-A22 233 3所以'匕当且仅当一_ 1-；时等号成立。点评 本解法通过构造函数将不等式证明问题转化为函数的最值问题。先消元一，将表示成只含a的二次式，然后选a为主元，将此式当作是含有参数b的以必为3 .1£杠、/aL = g（i） =-A+- “I自变量的二次函数；丄，求出/ '- I的最小值-J11- , 的最小值就是的最小值，从而使问题获解。证法 3 （用重要不等式）因为.1-

4、 'i'1 " '' I .' .：'< I ':”亠匸 一+ :/ -卜''+冷亠厂丄'?' - 丁 : - 1J I 甘；，+ca > -a-b = c = -所以；，当且仅当；时等号成立。点评将已知等式两边平方是运用重要不等式的关键。证法4 （用等号成立的条件构造平方和）由所证不等式等号成立的条件得，圧+c2 -（+i +c） +-二 +X +c2->0+A2 +<? > -即，所以；,当且仅当, 1 m 二&-c =-3时等号成立。证法5 （用等号成立

5、的条件构造配偶不等式）由所证不等式等号成立的条件可构造如下不等式a +->-a9 3+i2 +c2 +- > - (a+i +c) = +Aa +c5 >ab = c = -:，所以3，当且仅当3时等号成立。点评 证法4和证法5注意到等号成立的条件；是问题获得简解的关键之所在。证法 6 （用柯西不等式）由三元柯西不等式得5证法7 （用向量数量积不等式）构造向量；一 J一工门，一_ ；，由向量数量积不等3（/+沪 +ea）£+fi+e）a当且仅当13时等号成立。证法8 （利用直线与圆有公共点解题）把当作参数；1当作变量，则-卜：即-:-'II可看作是直角坐标系

6、-下的一条直线的方程，设:J ：则C：'，此方程可看作是圆心是坐标原点半径为的圆的方程。因为这两个方程所组成的方程组有解，所以直线与圆有公共点，故圆心到直线的距离不大于半径。故逅，即3c2-2c+-2t>Q有解，所以 A二4-12（1-2"20,解得则一彳，/+护+入1即；。点评 本解法需要有方程思想、数形结合思想和化归意识，化静为动，动中求静。根据“方程组有解，则直线与圆有公共点，从而直线到圆心的距离不大于半径”列不等式，进而使问题得以解决。证法 9 （三角换元法）设U二丨一.:， 设一、 - ' .Li： 一 :. . -.。由.-;'得也汀 +一八

7、：ii- 了 -得 1125_'a：3 ,故O证法10 （构造概率模型）设随机变量匚取值为时的概率均为,因为工 汀，所以；' -：/,；'j+A+c _13 亍时等号成立。证法11 （用琴生不等式）构造函数 U, 因为 ;二是 上的凹函数，由琴生不了+/（&）+/£） > ff+b+c 小+M+* >二 1等式得，0 ' J 1，即一 I 1，所以a2 +A3 +ca > -a = b -c =-3，当且仅当3时等号成立。证法12 （用点面距离公式）.："：:-可看作是空间直角坐标系：.=：<下的一个平面的方程，可看作是这个平面内任意一点 P（M 到原点0的距离的平方，由垂线段最短知，当 0P与平面垂直时，0P最短从而丄最小，由点面距离公式得点 0到平面的的距离为：异一1-12宀、1-J/ i ,所以小'.于，即3 o凹凸函数、琴生不等式是高等数学的内容，但与初等函数关系密切， 是初等数学与高等数学的衔接处，点面距离公式是大学空间解析几何的内容，但可当作是平面解析几何点线距离公式在空间的一个类比拓广， 这些知识可开阔学生的视野，类比推理有利于发现新知识和数学思想方法的迁移。以上从十二个不同的角度来思考解决一个经典不等式的证明问题，消元法、配方法、构