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文档简介
1、不等式解析十二法何为数学经典题目?数学经典题目就是经过历史选择出来的最有价值的经久不衰的题 目。每个经典题目,都经得起人们的拷问和时间的考验;每个经典题目,总是蕴含着某种 重要的数学思想和方法; 每个经典题目,总有其独特的教育价值和教学功能;每个经典题目,都能穿越时间的深度和厚度而又最终超越时间经久弥新、与时俱进。数学教科书上的例习题有不少题目堪当经典, 本文以其中一道经典题目为例,说明经典题目在复习教学中的潜能挖掘与应用,以期抛砖引玉。题目已知J : L H,且芒+匸一,求证3本题目是普通高中课程标准实验教科书数学选修不等式选讲人教 J版第十页习 题1 第11题。这是一道经典的条件不等式证明
2、题,解题入口宽、方法多样,对本题进行题多解训练,可达到举一反三触类旁通,解读一题沟通一片以点带面的复习效果。证法1 (配方法)因为. !,' '丨,所以_ I - -所以I; ' "”+ .'_+ I=2(fi+)a+-4a-i+-=2(a+)a+-(A-Ja+-22222333,.11A-l1a +c >-b =Q a + 0., a -b - c -所以E ,当且仅当? 且 I 且1即3时等号成立。点评本解法先消元:,将表示成只含的二次式,并将此式当作是以a为主元的二次三项式进行配方, 再将配方后余下的部分再次配方,然后用实数平方的非负性,从
3、而使问题得到解决。证法2 (构造二次函数)因为.? - L:' - 7 1 ,所以:一 一:L:',2-1) 1-Aa 二一_ 兰故当III时,- 1最小,此时C-=1-A22 233 3所以'匕当且仅当一_ 1-;时等号成立。点评 本解法通过构造函数将不等式证明问题转化为函数的最值问题。先消元一,将表示成只含a的二次式,然后选a为主元,将此式当作是含有参数b的以必为3 .1£杠、/aL = g(i) =-A+- “I自变量的二次函数;丄,求出/ '- I的最小值-J11- , 的最小值就是的最小值,从而使问题获解。证法 3 (用重要不等式)因为.1-
4、 'i'1 " '' I .' .:'< I ':”亠匸 一+ :/ -卜''+冷亠厂丄'?' - 丁 : - 1J I 甘;,+ca > -a-b = c = -所以;,当且仅当;时等号成立。点评将已知等式两边平方是运用重要不等式的关键。证法4 (用等号成立的条件构造平方和)由所证不等式等号成立的条件得,圧+c2 -(+i +c) +-二 +X +c2->0+A2 +<? > -即,所以;,当且仅当, 1 m 二&-c =-3时等号成立。证法5 (用等号成立
5、的条件构造配偶不等式)由所证不等式等号成立的条件可构造如下不等式a +->-a9 3+i2 +c2 +- > - (a+i +c) = +Aa +c5 >ab = c = -:,所以3,当且仅当3时等号成立。点评 证法4和证法5注意到等号成立的条件;是问题获得简解的关键之所在。证法 6 (用柯西不等式)由三元柯西不等式得5证法7 (用向量数量积不等式)构造向量;一 J一工门,一_ ;,由向量数量积不等3(/+沪 +ea)£+fi+e)a当且仅当13时等号成立。证法8 (利用直线与圆有公共点解题)把当作参数;1当作变量,则-卜:即-:-'II可看作是直角坐标系
6、-下的一条直线的方程,设:J :则C:',此方程可看作是圆心是坐标原点半径为的圆的方程。因为这两个方程所组成的方程组有解,所以直线与圆有公共点,故圆心到直线的距离不大于半径。故逅,即3c2-2c+-2t>Q有解,所以 A二4-12(1-2"20,解得则一彳,/+护+入1即;。点评 本解法需要有方程思想、数形结合思想和化归意识,化静为动,动中求静。根据“方程组有解,则直线与圆有公共点,从而直线到圆心的距离不大于半径”列不等式,进而使问题得以解决。证法 9 (三角换元法)设U二丨一.:, 设一、 - ' .Li: 一 :. . -.。由.-;'得也汀 +一八
7、:ii- 了 -得 1125_'a:3 ,故O证法10 (构造概率模型)设随机变量匚取值为时的概率均为,因为工 汀,所以;' -:/,;'j+A+c _13 亍时等号成立。证法11 (用琴生不等式)构造函数 U, 因为 ;二是 上的凹函数,由琴生不了+/(&)+/£) > ff+b+c 小+M+* >二 1等式得,0 ' J 1,即一 I 1,所以a2 +A3 +ca > -a = b -c =-3,当且仅当3时等号成立。证法12 (用点面距离公式).:"::-可看作是空间直角坐标系:.=:<下的一个平面的方程,可看作是这个平面内任意一点 P(M 到原点0的距离的平方,由垂线段最短知,当 0P与平面垂直时,0P最短从而丄最小,由点面距离公式得点 0到平面的的距离为:异一1-12宀、1-J/ i ,所以小'.于,即3 o凹凸函数、琴生不等式是高等数学的内容,但与初等函数关系密切, 是初等数学与高等数学的衔接处,点面距离公式是大学空间解析几何的内容,但可当作是平面解析几何点线距离公式在空间的一个类比拓广, 这些知识可开阔学生的视野,类比推理有利于发现新知识和数学思想方法的迁移。以上从十二个不同的角度来思考解决一个经典不等式的证明问题,消元法、配方法、构
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