2017027平面向量的数量积练习题含答案

1、解析： 因为(a + 2b) (a 3b) = a2 a b = 6b2 =、选择题1 .已知 |b | = 3,a在b方向上的投影是则a b为（）A. 3B.3解析:由数量积的几何意义知所以-b = 3X 3= 2.答案:2 .设向量a, b 满足 |a+ b| = Q0, |a b| = 6，则 a b =()A .1B . 2C. 3D. 5解析：因为 |a+b|2=(a+b)2=a2+b2 + 2a b=10,|ab|2= (a b)2= a2 + b2 2a b =6,两式相减得：4a b=4,所以a b = 1.答案：A3.已知向量a, b满足|a| = 2, |b|= 1, a

2、b = 1，则向量a与a b的夹角为()nn5 n2 nA. 6B.3C. 6D. 3解析：|a b| =( a b) 2=a2+ b2 2a b = 3，设向量 a与a b的夹角为 B,则2a ( a b)2 1co s 6=3,|a|a b| 2 X 32n又 6 0 , n ，所以 6 = 6.答案：A4. （2015陕西卷）对任意向量a, b，下列关系式中不恒成立的是()A . |a b| w| a|b| B. |a b| <a| |b|.+2= |a + b|2.+ = 2 b2C (a b)D ( a b) (a b) a解析：根据a b= |a|b|cos 6,又cos 6

3、< 1,知|a b| <|a|b|, A恒成立.当向量a和b方向不相同时，|a b|>|a| |b|, B不恒成立.根据|a + b|2 = a2 + 2a b + b2= (a + b)2, C恒成立.根据向量的运算性质得(a+ b) (a b)= a2 b2, D恒成立.答案：B5.若向量 a与b的夹角为 60° , |b| = 4，且(a + 2b) (a 3b)= 72 ,贝U a的模为()B. 4D. 122|a| - |a| |b|cos 60 - 6|b|a|2- 2|a| -96 = - 72 ,所以 |a|2- 2|a| - 24 = 0,所以|a

4、| = 6.答案：C6 .已知向量 a =(1 , - 2), b = ( x, 4)，且a /b，则 |a- b|=(解析：因为a / b，所以4 + 2x = 0,所以 x = - 2 , a - b = (1 , - 2) - (- 2 ,4) = ( 3 , - 6),所以 |a - b| = 3 5.答案：B7 . （2015杭州模拟）如图，在圆O中，若弦AB = 3，弦 AC =5,则AO BC的值是（ 1 >>解析取 BC 的中点 D，连接 AD、OD，则有 OD 丄 BC , AD = 2(AB + AC), BC = AC - AB ,-BC= 2(AB+ AC)

5、 (AC - AB)>>>>>>>>>>> 1 >>>>AO BC= (AD + DO) BC= AD BC+ DO BC= AD1 2 2122=2(AC - AB ) = 2 x (5 - 3 ) = 8，选 D.& (2015 福建卷)设 a= (1, 2), b = (1, 1),k b .若b丄c,则实数k的值等于（）解析：c = a +D.2C.3k b = (1 + k, 2 + k)，又 b 丄所以 1 x (1 + k) +1 x (2 + k) = 0，解得 k =-2.答案：

6、A9 .已知 A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1 , 2)、 B(4 , 1)、C(0，- 1)，贝U ABC 的形状为 ()A .直角三角形B .等腰三角形C.等腰直角三角形D .以上均不正确 解析：AC = (- 1 , - 3), AB = (3 , - 1).因为 AC AB =- 3 + 3 = 0,所以AC丄AB.又因为|AC| =10 , |AB| = 10,所以AC = AB.所以 ABC为等腰直角三角形.答案：C10 .点 0 是 ABC所在平面上一点，且满足I.0A 0B =0B 0C 0A 0C ，则点 0 是厶 ABC 的()A .重心B .垂心C .内心

7、D .外心解析：因为0A -0B = 0B 0C ,所以 0B (0A 0C) = 0, 即 OB CA = 0,则 OB 丄 CA. 同理0A丄BC , 0C丄AB.所以0是 ABC的垂心.答案：B11 .在 ABC所在的平面内有一点P,满足PA PBPC=AB，贝V PBC与 ABC的面积之比是 （）A. 3解析:B. 2 由 PA + PB + PC = AB ,C.3D. 4得 PA + PB + BA + PC = 0, 即PC = 2AP，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示.PC 2S PBC 故S ABCAC答案：C12 . 0是平面ABC内的一定点，P是平面 ABC内的一动

8、点，若(PB 一 PC) (0B0C) 一(PC 一 PA) (0A0C) = 0,则 0 ABCA .内心B .外心C .重心垂心 解析： 因为(PB PC ) (0B + OC) = 0, 贝卩(0B 0C) (0B + 0C) = 0,所以 OB2 - OC2 = 0 , 所以 |OB| = |OC|.同理可得|OA| = |OC| , 即 |OA| = |OB| = |OC|.所以O为 ABC的外心.答案：B贝 y CM cB =二、填空题13 .如图所示， ABC 中/ C = 90。且 AC = BC = 4，点 M 满足 BM 二 3MA ,T解析：CMT1T1TT1I81 &q

9、uot;. LJ(j 1>TT 1 T 2-CB= CA+ 4AB CB = 4AB CB= 4(CB CA) CB = 4CB =4.答案：414.如图所示，已知点 A(1 , 1),单位圆上半部分上的点B满足OA OB =则向量OB的坐标为解析：设 B(x , y), y>0 ,x2+ y2 = 1, x =2所以 ob = 2, 2 .2IS答案：2，215 .在 ABC 中，BC = a, CA =b, AB = c,且满足：|a|= 1 , |b| = 2,|c| 匚 3,则a b+ b c + c a的值为1),解析：在 ABC中，因为|a| =1 , |b| = 2

10、, |c| = 3 ,所以 ABC为直角三角形，BC丄BA，以BA , BC为x, y轴建立坐标系，则B(0, 0), A( 3, 0), C(0 ,所以Ta = BC = (0 , 1), b =TCA =盼nT(3 , - 1), c = AB = ( -3, 0).所以a b + b c + a c = 1 3 + 0 = 4.答案：416 .在 ABC中，已知| AB | = | AC | = 4，且 AB AC = 8，则这个三角形的形状是T T解析：因为 AB AC = 4 X 4 cos A = 8 ,1 n所以cos A = 2，所以/ A = 3 ,所以 ABC是正二角形.答

11、案：正三角形三、解答题17 .已知向量a = (2, 0), b = (1 , 4). 求|a + b|的值；(2)若向量 k a + b与a + 2b平行，求 k的值；若向量k a + b与a + 2b的夹角为锐角，求 k的取值范围.解：(1)因为 a = ( 2 , 0) , b = (1 , 4),所以 a + b = (3, 4),则 |a + b| = 5.(2) 因为 a = (2 , 0), b = (1 , 4),所以 k a + b = (2k + 1 , 4), a + 2b = ( 4 , 8);因为向量 k a + b与a + 2b平行，1所以 8(2k + 1) =

12、16，贝S k = 2.(3) 因为 a = (2 , 0), b = (1 , 4),所以 k a + b = (2k + 1 , 4), a + 2b = (4 , 8);因为向量 k a + b与a + 2b的夹角为锐角，4 (2k + 1)+ 32>0 ,所以 1k工,291解得k> 或k工.2 218.如图所示，ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点A与M重合，设折痕为 EF，若正方形面积为64，求 AEM的面积.解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF是AM的中垂线，设AM与EF交于点N，贝U N是AM的中点，又正方形边长为8 ,所以 M(8 , 4),N(4

13、 , 2). 设点 E(e , 0)，则 AM = (8 , 4) , AN = (4 , 2), AE = (e，0)， EN = (4 e， 2), 由 AM 丄 EN 得 AM EN = 0,即(8 , 4) (4 - e, 2) = 0，解得 e = 5，即 |AE| = 5.1 1所以 S AEM = 2|AE|BM| = 2 X 5 X 4 = 10.19 .设向量 a, b满足|a| = |b|= 1 , |3a- b|= 5.(1 )求|a + 3b|的值；(2)求3a b与a + 3b夹角的正弦值. 解：(1)由 |3a - b| =5，得(3a - b)2= 5,所以 9a

14、2 6a b + b2= 5.因为 a2 = |a|2= 1, b2= |b2 | = 1 ,所以 9 - 6a b + 1 = 5.5所以a b = g.所以(a + 3b)2 = a2 + 6a b + 9b2 =51 + 6 X + 9 X 1 = 15.6所以 |a + 3b| = 15.(2)设3a - b与a + 3b的夹角为 6 .因为(3a- b) (a+ 3b)= 3a2 + 8a b- 3b2=5 203 X 1 + 8 X 3 X 1 =.203 4 35X 15 = 96 3(3a b)(a + 3b)所以 COS 0= |3a - b|a + 3b|2所以 sin 0

15、=1 cos 0 =因为 0 °W0W 180, °3333所以3a - b与a + 3b夹角的正弦值为9>>T T20 .在四边形 ABCD中，已知 AB = 9, BC = 6 , CP = 2PD .(1)若四边形 ABCD是矩形，求 AP BP的值;若四边形 ABCD是平行四边形，且AP BP = 6，求AB与AD夹角的余弦值.T T解：(1)因为四边形 ABCD是矩形，所以 AD DC = 0.TTTTTT 1T 22由 CP = 2PD，得 DP = DC , CP = CD = - DC .3 33T TTTTT所以 AP BP = (AD + D

16、P ) (BC + CP)=AD-3ADDC 9DC = 369X81= 18.T 1 TTfT1?T2VAD + DC ADDC|'13 i13/TTTT 2 TT2BP = BC + CP = BC + 3CD=AD3AB,TTT_ILT1 TT2IT-所以AP BP =AD + 3ABT AD 3AB =T2 1>"T 21TT1TAD3AB AD9AB = 36 3AB AD 18=18 3ABAD由题意，3AB,+>AP= AD + DP =AD +3DC = AD又 AP BP = 6，所以 18 3AB AD = 6,T T所以 AB AD = 36

17、.TTT T又 AB AD = |AB| |AD |cos 6= 9 X 6 X cos 6= 54cos 6,2所以 54cos 6= 36，即 cos 6= 3.T T2所以AB与AD夹角的余弦值为 3.厂21 . (2015 济宁模拟)已知向量 a = (cos 6, sin 6) ,6 0, n ，向量 b = ( 3, 1) . (1)若 a 丄 b，求 6 的值；(2)若 |2ab |<m恒成立，求实数m的取值范围.解析(1) v a 丄 b ,二 3cos 6 sin 6= 0,n3,又 6 0, n , .6= 3得 tan 6 =(2) v 2a b = (2cos 6

18、3, 2sin 6+ 1),|2a b|2 = (2cos 6 3)2+ (2sin 6+ 1)213n=8 + 8(2sin 6 2 cos 6 )= 8+ 8sin(6 3),nn 2又 60 , n ，6 , n ,333n3.sin( 6 3) 2 , 1,.|2a b|2的最大值为16.|2a b|的最大值为 4.又|2a b|<m恒成立.二 m>4.22 .(本题满分 12 分)(2015 厦门模拟)已知向量 a= (cos a, sin a ), b = (cosx , si nx) , c = (si nx + 2sin a, cosx + 2cos a ), 其中 0< a <x< n.n(1) 若a= 4，求函数f(x) = b c的最小值及相应的x的值；n(2) 若a与b的夹角为3，且a丄c,求tan2 a的值.sinx) , c 二n解析 b = (cosx ,二 f(x) = b c= c