小学奥数几何五大模型相似模型

1、任意四边形、梯形与相似模型模型四相似三角形模型（一）金字塔模型）沙漏模型ADAEDEAF；ABACBCAG SA ADE： SA ABC AF : AG °所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。在小学奥数里，

2、出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。【例1】如图，已知在平行四边形 ABCD中，AB 16, AD 10, BE 4,那么FC的长 度是多少【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD,所以 BF:FC BE:CD 4:16 1:4,所以 FC 10 - 8. 1 4【例2】如图，测量小玻璃管口径的量具ABC, AB的长为15厘米，AC被分为60等份。如果小玻璃管口 DE正好对着量具上20等份处（DE平行AB）,那么小玻璃管口径DE是多大【解析】 有一个金字塔模型，所以DE:AB DC: AC , DE:15 40:60 ,所以DE 10厘米。

3、【例3】如图，DE平行BC ,若AD: DB 2:3 ,那么 SA ADE : SAECB 根据金字塔22SA ADE : Sz ABC2 : 5模 型 AD : AB AE : AC DE : BC 2: (2 3) 2:5,4:25,设 Saade4 份，则Sa abc25 份，Sa bec25 5 3 15份，所以& ADE : SAECB4:15°【例4】如图,ABC 中,DE , FG , BC 互相平行，AD DF FB ,贝U Saade : Szg边形 DEGF :S3边形 FGCB设8,ade 1份，根据面积比等于相似比的平方,所以 Saade：&A

4、FG AD: AF2 1:4, S ade : SA ABCAD 2: AB2 1:9,Sa AFG4 份,SA ABC9 份,1:3: 5如图,DE 平行 BC ,且 AD 2 , AB 5 , AE 4 ,求AC的长。由金字塔模型得 AD: AB AE:AC DE: BC 2:5,所以AC 42 5 10如图，4ABC中，DE , FG , MN , PQ , BC互相平行,AD DFFM MP PB ,进而有S|边形DEGFSA ABC 12.5 cm份,S四边形FGCB5份,所以SA ADE : S四边形DEGF : S四边形FGCB贝"SAADE : &边形 DEG

5、F : &边形 FGNM : S边形 MNQP : 8边形 PQCB4份，进而有设 SA ADE1 份,SAADE : SA AFGAD : AF 1:4 ,因此 SA AFGS四边形DEGF3份,同理有S四边形FGNM5份，S3边形 MNQP 7份，S3边形 PQCB 9 份.所以有 SA ade : S3边形 DEGF : S3边形 FGNM : S3边形 MNQP : &边形 PQCB 1: 3: 5:7:9【总结】 数列。继续拓展，我们得到一个规律:平行线等分线段后,所分出来的图形的面积成等差, 口 S弟形DBCE 比 SAADE 大 8.5 cm【例5】已知 ABC中

6、，DE平行BC ,若AD : DB 2:3求 SA ABC °AD : ABDE : BC 2: (2 3) 2:5SA ADE则&ABC25份/ADC22SA ADE ： SA ABC2 ： 54 ： 25 ,S梯形DBCE25 421份，S弟形DBCE 比SAADE大17份，恰好是8.5 cm2 ,所以例6 如图：MN平彳t BC ,Sampn : Sa bcpAM 4 cm,求BM的长度在沙漏模型中，因为SAMPN :工BCP 4:9，所以MN : BC 2:3 ,在金字塔模型中有:AM : AB MN : BC 2:3 ,因为 AM 4 cm , AB 4 2 3 6

7、 cm ,所以BM 6 4 2 cm【巩固】如图，已知 DE平行BC, BO: EO 3:2,那么AD: AB 由沙漏模型得 BO:EO BC:DE 3:2,再由金字塔模型得 AD: AB DE:BC 2:3 .1 AC, ED与BC平行, 4平方厘米。EOD的面积是11【例7】如图，ABC中，AE AB, AD 4平方厘米。那么 AED的面积是1 1.【解析】 因为AE - AB , AD AC, ED与BC平行， 44根据相似模型可知 ED: BC 1:4, EO:OC 1:4, S cod 4S e°d 4平方厘米，则SCDE 4 1 5平方厘米，又因为S AED : S CD

8、E AD : DC 1:3，所以Saed 5 -刍（平方厘米）. 3 3【例8】在图中的正方形中，A, B, C分别是所在边的中点，VCDO的面积是VABO面积的几倍【解析】 连接BC ,易知OA / EF ,根据相似三角形性质，可知 OB:OD AE: AD ,且OA:BE DA:DE 1:2 , 所以 VCDO 的面积等于 VCBO的面积；由 11OA 1BE 1 AC 可得 CO 3OA,所以 Svcdo Svcbo 3SVABO，即 VCDO 的面积是 24VABO面积的3倍。BE 6,那么图中阴影部分【例9】如图，线段 AB与BC垂直，已知AD EC 4, BD 面积是多少【解析】

9、解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看.作辅助线BO ,则图形关于BO对称，有SVADO SVCEO , SVDBO SVEBO ,且SVADO : SVDBO4 : 6设VADO的面积为2份，则VDBO的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份. 因为SVABE 6 10 2 30 ,而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为30 8 4 15.BD BE 6 ,所以 DE / AC ,根 6:10 3:5 ,2 2_23 : 3 5 : 3 5 :59:15 :15: 25 ,15: 32，即 S®影"S弟形 ADEC ；3215

10、影S梯形ADEC 15 ,32解法二：连接DE、AC .由于AD EC 4 据相似三角形性质，可知 DE: AC BD: BA 根据梯形蝴蝶定理，SvDOE : SvDOA : SvCOE : SvCOA所以S阴影：弟形adec15 15 : 9 15 15 25p11又 S梯形adec-10 10-6 6=32,所以S|2 2【例10】（2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛）如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形 ABCD的面积是16, BG:GC 3:1,则 四边形EFGH的面积 .【解析】因为FGHE为平行四边形，所以 EC/AG ,所以AGCE为平行四

11、边形.11BG:GC 3:1,那么 GC:BC 1:4,所以 Syagce - Syabcd - 16 444又AE GC ,所以AE: BG GC : BG 1:3 ,根据沙漏模型，3 -3FG : AF BG: AE 3:1 ,所以 Syfghe Syagce 4 3 4 4【例11】已知三角形 ABC的面积为a, AF : FC 2:1, E是BD的中点，且EF / BC ,交CD于G ,求阴影部分的面积.【解析】已知AF: FC 2:1 ,且EF / BC ,利用相似三角形性质可知2EF :BC AF : AC 2:3 ,所以 EF 2 BC ,且 Svaef : Svabc 4:9

12、.3又因为E是BD的中点，所以1 2_EG : EF : 3: 4 ,所以2 3SvCFG : SvABC 1:18 ,那么 SvcfgEG是三角形 DBC的中位线，那么 EG -BC ,2GF : EF 1:4,可得 Svcfg:Svafe 1:8 ,所以A.18【例12】已知正方形 ABCD ,过C的直线分别交 AB、AD的延长线于点 E、F,且AE 10cm, AF 15 cm,求正方形 ABCD的边长.【解析】方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有BC: AF CE: EF ,DC: AE CF :EF ,设正方形的边长为 x cm ,所以有BC DC CE CF 1 , AF

13、 AE EF EFx x即一一1 ,解得x 6 ,所以正方形的边长为 6 cm .15 10方法二：或根据一个金字塔列方程即A 竺一，解得x 61015【例13】 如图，三角形 ABC是一块锐角三角形余料，边 BC 120毫米，高AD 80毫 米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在 AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少【解析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有PNBCx120APAB x 80PH BP,设正方形的边长为 x毫米，PNAD ABBC1 ,解得x 48,即正方形的边长为 48毫米.PHADAP BP口n 1 ,

14、即AB AB【巩固】如图，在4ABC中，有长方形 DEFG, G、F在BC上，D、E分别在 AB、AC 上，AH 是 4ABC 边 BC 的高，交 DE 于 M, DG: DE 1:2, BC 12 厘米， AH 8厘米，求长方形的长和宽.【解析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以DEADDGBDDEDGADBD,所以有1 ,设 DG x ,贝U DE 2x ,BCABAHABBCAHABAB所以有名2 1 ,解得x 24 , 2x 48 ,因此长方形的长和宽分别是 竺厘米,12 877724厘米.7【例14】 图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶

15、点C、D连成一个三角形，已知这个三角形在 AB上截得的EF长度为4cm,那么三角形 GDC的面积是 多少【解析】根据题中条件，可以直接判断出EF与DC平行，从而三角形GEF与三角形GDC相 似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题.做GM垂直DC于M ,交AB于N .因为EF / DC ,所以三角形GEF与三角形GDC相似，且相似比为EF:DC 4:12 1:3,所以 GN: GM 1:3 ,又因为 MN GM GN 12,所以 GM 18 cm ,所以三角形GDC的面积为1 12 18 108 cm2 .21和3,割出图中的阴影部分,NF 3 EM 1；1 2 2 32 3 1 2【例1

16、5 如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长 求阴影部分的面积是多少【解析】根据相似三角形的对应边成比例有:则 NF 5 , EM 5 , 93c 1c 9门 51Si 2 2 -253 30【例16】（2008年101中学考题）图中的大小正方形的边长均为整数（厘米），它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是【解析】设大、小正方形的边长分别为m厘米、n厘米（m n ）,则m2 n2 52,所以.222m8.右m5,则m n 5 2 50 52 ,不合题息，所以m只能为6或7.检 验可知只有m 6、n 4满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米.根据相似三角形性质，BG:

17、GF AB:FE 6: 4 3: 2 ,而BG GF 6,得一 , ,1一、一，BG 3.6（厘米），所以阴影部分的面积为：-6 3.6 10.8（平方厘米）.【例17 如图，O是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4,那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少【解析】 连接OB ,面积为4的三角形占了矩形面积的1 ,所以SxOEB4 3 1 ,所以4OE:EA 1:3，所以CE:CA 5:8 ,由三角形相似可得阴影部分面积为5 2(8)258【例18已知长方形 ABCD的面积为70厘米，E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，求阴影 EHO的面积是多少厘米【解析】因为E

18、是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形 的长分成6份的话，那么ED AD 3份、BF FG GC 2份，大家能在图形中找到沙漏 AEOD和ABOG ：有ED： BG = 3 ：4,所以OD ： BO 3： 4,相当于把BD分成（3 4）7份，同理也可以在图中在次找到沙漏：4EHD和ABHE也是沙漏，ED： BF 3 ：2,由此可以推出： HD： BH 3 ：2,相当于把BD分成（3 2） 5份， 那么我们就可以把 BD分成35份（5和7的最小公倍数）其中OD占15份，BH占14 份，HO占6份，连接EB则可知ABED的面积为70 4 35 ,在BD为底的三角形中HO

19、占6份，则面积为：352353（平方厘米）.3【例19】ABCD是平行四边形，面积为 72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点，则图中阴影部分的面积为 平方厘米.【解析】方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质.设G、H分别为AD、DC的中点，连接 GH、EF、BD .可得SVAED = S平行四边形ABCD '4对角线BD被EF、 AC、 GH平均分成四段，又OM / EF ,所以23DO : ED BD :3BD 2:3 , OE ：ED ED OD : ED 3 2:3 1:3,SVAEO一Sq2行四边形ABCD 472 6平方厘米S/ADO 2 SVAE

20、O 12（千方厘米）.同理可得Svcfm 6平方厘米，Svcdm 12平方厘米.所以 Svabc Svaeo Svcfm36 6 6 24（平方厘米），于是，阴影部分的面积为 24 12 12 48（平方厘米）.方法二：寻找图中的沙漏， AE:CD AO:OC 1:2, FC : AD CM : AM 1:2,11因此O,M为AC的二等分点，Saodm S平行四边形ABCD - 72 12 （平万厘米），6611Sa aeo -Sa ocd - 12 2 6 （平万厘米），同理Sa fmc 6 （平万厘米），所以“影 72 12 6 6 48（平方厘米）.【例20 如图，三角形PDM的面积是8

21、平方厘米，长方形 ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，M是BC的中点，则三角形 APD的面积是 平方厘米.【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线.B AD的中点N ,连接MN ,设MN交PD于K .则三角形PDM被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK ,可知三18角形PDM的面积等于 -MK BC 8（平万厘米），所以MK=-（厘米），那么一 一 8 4 .NK 4 （厘米）.3 3因为NK是三角形APD的中位线，所以AP 2 NK '（厘米），所以三角形APD的面积为 1 8 6 8（平方厘米）.2 3【例2

22、1 如图，长方形 ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H,OE 垂直 AD 于 E,交 AF 于 O,已知 AH 5 cm, HF 3cm ,求 AG .【解析】由于AB / DF ,利用相似三角形性质可以得到AB: DF AH : HF 5:3 ,又因为E为AD中点，那么有 OE:FD 1:2,3所以AB:OE 5:3 10:3, 利用相似二角形性质可以得到2AG:GO AB:OE 10:3,111040而 AO AF5 34 cm ,所以 AG 4cm .2213131【例22】右图中正万形的面积为 1, E、F分别为AB、BD的中点，GC 一 FC .求3阴影部分的面

23、积.【解析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质.阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半， 只要求出高，便可求出面积.可以作FH垂直BC于H , GI垂直BC于I .根据相似三角形性质，CI:CH CG:CF 1:3 ,又因为 CH HB ,所以【例23 CI :CB 1:6 ,即 BI : BC6 1 :6 5: 6 ,所以 Svbge2 6 24梯形ABCD的面积为12, AB 2CD ,E为AC的中点,BE的延长线与AD交于F ,四边形CDFE的面积是【解析】延长BF、CD相交

24、于由于E为AC的中点,根据相似三角形性质,CG AB1 GD -GC2再根据相S ABD : S BCD角形性质，AF :FDAB: DG2:1GF :GB 1:3 ,而所以S BCDAB :CD一SABCD124 , S GBC 2S BCD 8 .又任S GBCS GBC ,所以 SCDFE 2S GBC1SS GBC3【例24 如图，三角形 ABC的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点,那么阴影部分的面积是 平方厘米.【解析】阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差.而从图中来看，既可以转化为 BEF与EMN的面积之差，又可以转 化为B

25、CM与CFN的面积之差.（法1）如图，连接DE .由于D、E、F分别为各边的中点，那么 BDEF为平行四边形，且面积为三角形 ABC面积的一半，即30平方厘米；那么 BEF的面积为平行四边形 BDEF面积的 一半，为15平方厘米.根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的1一半，则 EM:BM DE : BC 1:2,所以 EM EB ；31EN:FN DE :FC 1:1,所以 EN -EF .21 11那么 EMN的面积占 BEF面积的1所以阴影部分面积为2 3 6115 1 12.5（平万厘米）.6（法2）如图，连接AM .根据燕尾定理，S ABM ：S

26、bcm AE：EC 1:1, Sacm：Sbcm AD : DB 1:1,11所以Sbco -Sabc - 60 20平万厘米， 33111而SBDC S ABC6030平万厘米，所以 Sfcn- S BDC7.5平万厘米，224那么阴影部分面积为 20 7.5 12.5（平方厘米）.【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：利用面积公式：底高2;利用整体减去部分；利用比例和模型.【例25 如图，ABCD是直角梯形，AB 4, AD 5,DE 3 ,那么梯形 ABCD的面积是多少【解析】 延长EO交AB于F点，分别计算 AOD,AOBADOCQBOC的面积，再求和.DE：BF DO ：OB 3：

27、1一SAAOD , SA AOB3, 1 ； SA DOCSA BOC3 ：1SA AODSA BOC一1又 SAABD - 4 5 102-SA AOD3SAABD47.5 , SA AOB 2.5, SA BOC7.5, S/x DOC3SA BOC3 7.5 22.5 .S 梯形 abcd7.5 2.5 7.5 22.5 40【例26】 边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面 积是多少平方厘米【解析】给图形标注字母，按顺时针方向标注,分别交AC, AD于O,H两点，AO：OC AB： EC 12 ： 20 3 ：5 ,大正方形为 ABCD ,小正方形为 MN

28、DE , EBAO： AC 3：8,AH：AD 3：5,AH ： BC AO：OC 3：5SAAHO ' SA ADC 9 40'SA ADCSA AHO12122aSSA ADC407272 16.240【例27】如右图，长方形 ABCD中，EF 16, FG 9,求AG的长.【解析】因为DA /BE ,根据相似三角形性质知DGGB又因为DF“AB，GB所以AGGEGA，即 AG2GE FG 252225 15 ,所以 AG15.【例28】（第21届迎春杯试题）如图，已知正方形点，E是DC边上的点，且 DE:EC 1:3,ABCD的边长为4,AF与BE相交于点GF是BC边的中

29、,求 Sa abg【解析】方法一：连接AE ,延长AF , DC两条线交于点MAB:CM BF : FC 1:1 ,因此 CM 4 ,根据题意有,构造出两个沙漏，所以有CE 3 ,再根据另一个沙漏有 GB:GE AB:EM4:7 ,所以 SaabgSa aef4 4接 AE,EF3 2 2 4一 Sa ABE7别根411求据(4 4SA ABF蝴2)32ii2 4定Sa ABF : S AEFBG :GE4:7 ,所以Sa abg-Sa ABE4 7141(44 2)3211【例29如图所示,已知平行四边形 ABCD的面积是1,E、F是AB、AD的中点,BF交EC于M ,求 BMG的面积.解析

30、解法一FD:BC EB:CD 并得G、BG:EF:由题意可得，FH : HC 1:2,是 AB 、 AD点，得EF / /BD ,而所以BMBG:GD 1:2 所以 CH:CFH是BD的三等分点，所以GH : EF BG GH ,2:3 , 所以BM : MF 2:32-BF , S BFD51一S ABD21又因为BG -BD ,所以3S BMG解法二:延长CE交DA于I ,如右图, 可得，AI : BC AE:EB 1:1, 从而可以确定 M的点的位置，BM :MF2BM -BF5BC: IFBG2:3 ,1.、一-BD （鸟头定理）, 3可得S BMG1s3BDF【例30（清华附中入学试

31、题F是BC的中点，四边形1Sy ABCD2SyABCD4S BFD1304 30）正方形ABCD的面积是BGHF的面积是120平方厘米，E是AB的中点, ,平方厘米.【解析】欲求四边形BGHF的面积须求出EBG和CHF的面积.由题意可得到： EG:GC EB:CD1:2,所以可得：SebgSbce3将AB、DF延长交于M点，可得:BM : DC MF : FD BF : FC 1:123: 2 ,得 CH CE , 5-Sbce5SH边形 BGHFs EBC3sEBC本题也可以用蝴蝶定理来做, 能解出.1c7 c7-S EBC S EBC 30 14 51515连接EF ,确定H的位置(也就是

32、FH : HD ),同样也而 EH:HC EM :CD (1AB AB) :CD2而 CF BC，所以 S CHF S BCE22 5_1 11SbceAB BC 120 302 24【例31 【解析】AD 2,BD 5,AF FC ,SH边形DBEF工人8£则工人8£是多少 ABC的面积已知， ABE的面积.连接 , S四边形 DBEF Sa ABE -Sa def Sa ade AC与DE平彳 -Sa ade Sa cde -SA ABE SACDB . AD 2, BD 一SvACD : SvCDB-Sa abb Sacdb ABE的面积占 ABC的几分之几就可以计算出52:55Sa ABC57714 10如图，已知Saabc 14 ,