第四章_杆件的变形简单超静定问题

1、第四章 杆件的变形 简单超静定问题一 、基本要求1.熟练掌握拉(压杆变形计算2.熟练掌握圆轴扭转变形计算与刚度条件3.掌握积分法求梁的弯曲变形4.熟练掌握叠加法求弯曲变形与梁的刚度计算5.理解超静定概念,熟练掌握简单超静定问题的求解方法6.了解弹性体的功能原理,掌握杆件基本变形的应变能计算二、 内容提要1.拉(压杆的轴向变形、胡克定律拉(压杆的轴向变形为l ,l l l -=1,式中l 、1l 分别为变形前、后杆的长度。当杆的应力不超过材料的比例极限时,可以应用胡克定律计算杆的轴向变形,即 EAl F l N = (4.1图 4.1式中,EA 称为杆件的抗拉(压刚度。显然,轴力F N 为正时,

2、l 为正,即伸长变形;轴力F N 为负时,l 为负,即缩短变形。公式(4.1的适用条件:(1 材料在线弹性范围,即p ;(2 在长度l 内,F N ,E ,A 均为应力常量。当以上参数沿杆轴线分段变化时,则应分段计算变形,然后求代数和得总变形。即=ni ii i N A E l F l i 1(4.2当F N ,A 沿杆轴线连续变化时,式(4.2化为 (=lN x EA dx x F l 0(4.32.拉压超静定问题定义 杆系未知力的数目超过静力平衡方程的数目,仅用静力平衡方程不能确定全部未知力。这类问题,称为超静定问题,或静不定问题。超静定问题的求解方法 根据变形协调条件建立变形几何方程,将

3、变形与协调关系与力之间的物理关系带入几何方程得到补充方程,再与静力平衡方程联立求解,可得到全部未知力。解题步骤:(1 画出杆件或节点的受力图,列出平衡方程,确定超静定次数; (2 根据结构的约束条件画出变形位移图,建立变形几何方程; (3 将力与变形间的物理关系代入变形几何方程,得补充方程; (4 联立静力平衡方程及补充方程,求出全部未知力。 超静定结构的特点:(1 各杆的内力按其刚度分配;(2 温度变化,制造不准确与支座沉陷等都可能使杆内产生初应力。3.圆轴的扭转变形与刚度条件 超静定问题 1, 变形计算圆轴扭转时,任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。相距为l 的两个横截面的相对扭

4、转角为 dx GITlP= (rad (4.4若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数,则上式化为PGITl = (rad (4.5图4.2式中P GI 称为圆轴的抗扭刚度。显然,的正负号与扭矩正负号相同。公式(4.4的适用条件:(1 材料在线弹性范围内的等截面圆轴,即P ;(2 在长度l 内,T 、G 、P I 均为常量。当以上参数沿轴线分段变化时,则应分段计算扭转角,然后求代数和得总扭转角。即=ni P i i i iI Gl T 1 (rad (4.6当T 、P I 沿轴线连续变化时,用式(4.4计算。 2, 刚度条件扭转的刚度条件 圆轴最大的单位长度扭转角max '不得超过许可的单位

5、长度扭转角',即''max max =PGIT(rad/m (4.7式 '180'm a x m a x =PGIT(m / (4.8根据刚度条件可以进行校核刚度、设计截面与确定许可载荷等三类刚度计算。3,扭转超静定问题定义 当杆端的支反力偶矩或横截面上的扭矩仅由平衡方程不能完全确定,这类问题称为扭转超静定问题。扭转超静定问题的解法 根据变形协调条件建立变形几何方程,将扭转角与扭矩间的物理关系代入变形几何方程得到补充方程,再与静力平衡方程联立求解,可得全部未知力偶。4.梁的变形 挠曲线近似微分方程及其积分 1,挠曲线 挠度与转角 在外力作用下,梁的轴线由

6、直线变为光滑连续的弹性曲线,称为挠曲线。在对称弯曲情况下,挠曲线为纵向对称平面内的平面曲线,其方程为(x f = 梁横截面的形心在垂直于轴线方向的线位移,称为挠度,用表示。梁横截面相对于原来位置绕中性轴转过的角度,称为截面转角,用表示。小变形时,有 图4.3(x f ''tan =在图4.3所示坐标系中,向上的挠度和反时针的转角为正,反之为负。 2,挠曲线的近似微分方程及其积分在分析纯弯曲梁的正应力时,得到弯矩与曲率的关系EIM =1对于跨度远大于截面高度的梁,略去剪力对弯曲变形的影响,由上式可得(EIx M x =1利用平面曲线的曲率公式,并忽略高阶微量,得挠曲线的近似微分方

7、程,即(EIx M ='' (4.9将上式积分一次得转角方程为(Cd x EIx M +=' (4.10再积分得挠曲线方程 (DCx dx dx EI x M += (4.11式中,C,D 为积分常数,它们可由梁的边界条件确定。当梁分为若干段积分时,积分常数的确定除需利用边界条件外,还需要利用连续条件。挠曲线的某些点上的挠度或转角是已知的,称为边界条件。挠曲线是一条连续光滑的曲线,在其上任意一点,有唯一确定的挠度与转角,称为连续性边界条件。3,梁的刚度条件限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值,就得到梁的刚度条件,即m a x,max(4.125.用叠加法求弯曲

8、变形叠加原理 在小变形和线弹性范围内,梁在几种载荷共同作用下任一横截面的挠度与转角,分别等于每一种载荷单独作用下该截面的挠度与转角的代数和。 应用叠加原理的条件 小变形与材料在线弹性范围。6.简单超静定梁梁上未知力的数目超过静力平衡方程数目,仅由平衡方程不能确定全部未知力,这类梁称为超静定梁。超静定梁的解法与前述拉(压杆、扭转超静定相同。具体步骤如下:1,首先判断超静定梁的次数。解除多余约束代之以多余约束力,得到原超静定梁的相当系统。注意解除多余约束以后的梁应该是静定梁的形式。2,根据相当系统的变形与原超静定梁的变形应该相同,建立变形协调方程。 3,将变形与力之间的物理关系代入上述变形协调方程

9、,得补充方程。由补充方程解出多余约束力。4,由平衡方程求梁上其余的约束反力。然后就可以进行梁的强度与刚度的计算。 7.杆件的应变能1,应变能 弹性体在外力作用下,因发生弹性变形而储存在弹性体内的能量,称为应变能或变形能。用V 或r V 表示。2,弹性体的功能原理 在弹性体变形过程中,储存在弹性体内的应变能V (或r V 在数值上等于外力所做的功W ,即W V = (4.13图4.43,轴向拉伸或压缩杆件的应变能 在线弹性范围内,由功能原理得 l F W V =21当杆件的横截面面积A 、轴力F N 为常量时,由胡克定律EAl F l N =,可得EAl F V N 22= (4.14杆单位体积

10、内的应变能称为应变能密度,用V 表示。线弹性范围内,得 21=V (4.154,圆截面直杆扭转应变能 在线弹性范围内,由功能原理得 e r M W V 21=将T M e =与PGITl =代入上式得Pr GIlT V 22=(4.16 图4.5根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功,得应变能的密度r V : r V r 21=(4.175,梁的弯曲应变能在线弹性范围内,纯弯曲时,由功能原理得e M W V 21= 将M M e =与EIMl =代入上式得EIl M V 22= (4.18图4.6横力弯曲时,梁横截面上的弯矩沿轴线变化,此时,对于微段梁应用式(4.18,积分得全梁的弯曲应

11、变能V ,即(=lEIdxx MV 22 (4.19三、典型例题分析例4-1 设横梁ABCD 为刚体。横截面积为76.36mm 2的钢索绕过无摩擦的 一直线。小变形条件下。可以“以切线代替圆弧”画变形图。由B 1向钢索作垂线得B '点,设1l B B ='。同理由D 1向钢索作垂线得D '点,设2l D D ='。则钢索的伸长为21l l l +=。由胡克定律mm 368.1m 10368.110693N =-EAl F l 由图C ,得C 点的垂直位移C 为(mm 79.060sin 260sin 260sin 60sin 21212121111=+= +=+

12、=l l l l l DD BBCC C 解法二 用能量法求解C 点的垂直位移解:1.求钢索内的应力与解法一相同,得kN 56.11N =FMPa 151N =AF 2.求C 点的垂直位移C 由弹性体的功能原理W V =,即C F EAl F 2122N =m 1079.010201036.76101776.11056.11(3369232N -=EAFl F C ,0=x F030cos N2N1=-F F(1作结构的变形位移图如图c 所示。图中t l 为温度引起的变形,1l 为N1F 引起的变形,2l 为N2F 引起的变形。小变形条件下,以切线代替圆弧。变形后B 点位移至B 1点,即两杆在

13、B 1点铰接。由图c 得变形协调方程1230cos l l l t -=(2物理方程为EAl F l EAl F l l T l l t 2N 21N 1,30cos ,30cos =(3式中T 为温度改变量。将式(3代入式(2,得补充方程-=30cos 30cos 30cos 1N 2N EA l F l T EAl F l (4联立求解式(1与式(4,得,130cos 31N +=EA T F l =30cos 1N 2N F F杆1 (拉应力MPa 3.30130cos 31N 1=+=TEA F l 500n m,.N 42729549m,.N 2848954931e 22e =nP

14、M nP M2作轴的扭矩图,如图b 所示。 3按强度条件设计直径=PW T max max ,16W 3P d =3d AB 段 mm3.80m 103.8010707120163361=-dBC 段 mm7.67m 107.6710704272163362=-d4按刚度条件设计直径'='180max maxpGIT ,32I 4P d =4218032'G T dAB 段 mm9.84m 104291=-dBC 段 mm7.74m 104292=-d经比较,取mm 851=d ,mm 752=d2.若AB 和BC 两段选用同一直径,则mm 85=d 。3.若将主动轮放

15、在两从动轮之间,则m .N 4272max=T ,有利于提高轴的强度和刚度,故较合理。 EIa w BA4='='2在均布载荷q 单独作用时,图(c 所示,为求B''与A w '',可利用图(d 与(e 两种情况,即分别考虑AB 段与BC 段的变形。由图(e ,查表4.1得EIqaEI aqaB3322132-=-='由图(d 、(e 两种情况,应用叠加法,得EIqaa EIqaEIqaw A241138434-=-=''3在两种载荷共同作用下,应用叠加法得EIqaEIqaEI qaB BB 1234333-=-='

16、;'+'=EIqaEIqaEIqaw w w AA A 24524114444-=-=''+'= D C (1由表4.1,得wD = （2） 由胡克定律，得 l = FN × 2 3 3EI FN l EA （3） 为求图 b 中 BE 梁 C 点的挠度，将 F 等效平移至 C 点，如图 c 所示，这样 做并不改变 BC 段的边界条件与受力，故有 wC = (F FN × 2 3 3EI + F × 2 × 22 2 EI （4） 将式（2）、（3）与（4）代入式（1），得补充方程 8(F FN 4 F 8 FN

17、FN l + = 3EI EI 3EI EA （5 ） 由式（5）解得 FN = 0.91F wD = FN × 2 3 0.91 × 50 × 10 3 × 8 = 5.05 × 10 3 m = 5.05 mm = 6 3EI 3 × 24 × 10 本章小结 1.杆件发生拉伸和压缩变形时，杆件的伸长为 l = 2.杆件发生扭转变形时的变形计算公式 Nl , = EA E = 强度条件 Tl GI max = 刚度条件 T Wt = T 180 × GI 其中剪切胡克定律，危险剪应力 0 （ = 0 n ）均依

18、赖扭转实验研究。 3.在小变形和材料为线弹性的条件下研究梁的变形，并且忽略剪力的影响，平面假设仍 然成立。 变形后梁横截面的形心沿垂直梁轴线方向的位移称为挠度 v ； 横截面变形前后的夹角称 梁的轴线在变形后成为一条连续光滑的曲线， 称为挠度曲线 v(x 。 挠度曲线 v(x 为转角 。 的一阶导数即为转角 ( x = dv( x 。 dx d 2 v( x M ( x 4根据小挠度微分方程 = ，对 M (x 积分一次，求得 EI dx 2 ( x = 积分二次，求得 dv( x M ( x = dx + C dx EI M ( x dxdx + Cx + D EI 若 M (x 分为 n 段，则应分 n 段进行积分，出现 2n 个积分常数。积分常数根据边界 v( x = 条件和连续条件确定。 由以上运算可以看出，梁的挠度曲线取决于两个因素：受力（弯矩）和边界条件。 5在小变形和弹性范围内，梁的位移与载荷为线性关系，可以用叠加法求梁的位 移：将梁的载荷分为若干种简单载荷，分别求出各