第八章组合变形习题集

1、8-2 人字架及承受的荷载如图所示。试求 m-m 截面上的最大正应力和 A 点的正应力。 m 解:(1外力分析,判变形。由对称性可知, A 、 C 两处的约束反力为 P/2 ,主动力、约束反力 均在在纵向对称面内,简支折将发生压弯组合变形。引起弯曲的分力沿 y 轴,中性轴 z 过形心 与对称轴 y 轴垂直。截面关于 y 轴对称,形心及惯性矩1122123122328444125A +A200100+200100zy y y I I I -+=+=+-+-=mmmm m(2内力分析,判危险面:沿距 B 端 300毫米的 m-m 横截面将人字架切开,取由左边部 分为研究对象,受力如图所示。梁上各横

2、截面上轴力为常数: 22y N P M P F =-=-=N mN (3应力分析,判危险点,如右所示图 m-m 截面上边缘既有比下边缘较大的弯曲压应力, 还有轴力应力的压应力, 故该面上边缘 是出现最大压应力。m mmaxN zF M y A I -=+-=-=-=-上 A 点是压缩区的点,故m m334F M y A I -=+-=-=-=-注意:最大拉应力出现在下边缘m mmax33410010202.510F M y A I -=+-=+=-+=下8-3 图示起重机的最大起吊重量为 W=35kN,横梁 AC 由两根 NO.18槽钢组成。 材 料 为 Q235,许用应力 =120MPa。试

3、校核横梁的强度。 (a Ay解: 1外力分析:外力在纵向对称面内与轴斜交,故梁 AC 发生压弯组合变形。对 C 取矩 BA 杆所受拉力为:70(3.5( 0sin 303.535(3.5 070203.5C ABAB x mF F x F x -=-=-=kN2内力分析: 轴力、弯矩均是 x 的函数2maxAB B N A F MF x x F x x x x x =-=-=-(3应力分析判危险点:由于发生的是发生压弯组合变形,轴力、弯矩两者均在横截面上引起正应力, x 截面 的上边缘具有最大压应力。查表可知 NO.18槽钢的 A=29.299 cm2,Wz=152 cm332322x ,ma

4、xN x z F M A W x x x x x x x x -=-=+-+-=-+ 对应力关于 x 的函数求导,求应力极值,maxx -=故:当 1.705m x =,起吊重物处的横截面上边缘应力到达极值 :2max 25. (x x -=-=+(4校核 横梁的强度max MPa 1120M 05a .98(P -=故,两根 18号槽钢能满足强度要求。8-5 单 臂 液 压 机 机 架 及 立 柱 的 横 截 面 尺 寸 如 图 所 示 。 F=1800kN, 材 料 的 许 用 应 力=120MPa。试校核机架立柱的强度。 解: 1外力分析:将 P 力平移到立柱的轴线上,需附加一力偶 f

5、M F e =, F 使立柱产生轴向拉伸, f M 使立柱产生平面弯曲,故立柱产生拉弯组合变形。立柱横截面是前后对称 的,形心在图示 y 轴上,形心及惯性矩:222121122123122322.9C z zzy y y I I I -=-=+-+=-=+=+-+-=mm m mm10424102.910-=mm m 。 2内力分析:将立柱假想截开,取上端为脱离体,由平衡条件不难求得立柱的轴力 F N 和弯矩 M 。(3应力分析:载荷作用面为关于前后对称的面,故中性层应为过形心的铅垂面。中 性层的左侧为拉缩区,右侧为压伸区。立柱离轴线最远的左侧各点的具有最大拉应力,右侧 各点的具有最大压应力,

6、均有可能成为危险点。max max , N N z zF F M M y y A I A I +-=+=-左 右 左边缘 右边缘 3校核强度33max 22max 3322F M y A I F My A I +-=+=+=+=-=-=-左 左边缘右 右边缘 ( MPa 59.76MPa 160MPa=故立柱强度足够。8-7:矩形截面悬臂梁受力如图所示。确定固定端截面上中性轴的位置,应力分布图及 A 、 B 、 C 、 D 四点的应力值。解:(1外力分析,判变形。 5kN 作用下构件在 xy 平面内左右弯曲; 25kN 作 用下构件发生轴向压缩的同时,还将在 xz 平面内前后弯曲。结构将发生双

7、向偏心压缩组合变 形。(2内力分析,判危险面 :5kN 作用下构件将使 M z 在固定端面达到最大值弯矩,max 50000.63000N m z M =;25kN 作 用 下 使 构 件 各 横 截 面 具 有 相 同 的 内 力 ,3325000N , 25102510625N m N y F M -=。故该固定端横截面为偏心压缩的危险面。(3 应 力 分析:z M 使固定端横截面左拉右压的弯曲正应力, F N 使每一点具有均匀分布的压应力, y M 使固定端横截面前拉后压的弯曲正应力。应力分布图及 A 、 B 、 C 、 D 四点的应力值。3225103000625-+1.667y N

8、z D Kz y yN z A z yyN z B z yyN z C z yM F M y A W W M F M A W W M F M A W W M F M A W W =-=-+=-=-+-=-=-+-=-=-=-82.5MPa 7.17MPa-+=-故, 固定端截面第一象限的 K 任意点的应力 K 确定固定端截面上中性轴的位置33366625103000625z y K KM F M y z y z A I I y z =-=-+33K K K K K K K K Ky z y z y z y z =-+=-+=+=-8-13 电动机功率 P=10kN,转速 n=715r/min,

9、带轮直径 D=250mm,主轴外伸部分长度为 l =120mm, 主轴直径 d=40mm。 若 材料的许用应力 =65MP, 试用第三强度理论校核轴的强度。 M y 图 (N·mM T 图(N·m(e (d (c (b N384.63解:(1外力分析,判变形。 计算外力偶矩:1095499549133.55N m 715e P M n = 0.250(2 133.55=01068.4N 222e D D F m M F F F =-=-= 主轴外伸部分可以简化为成悬臂梁,自由端受水平向前的集中力 3F=3205.2N和作用面在横截面的外力偶 133.55N m 作用。计算简

10、图如图示,轴发生弯扭组合变形。(2内力分析,判危险面:扭矩图、 弯矩图如图所示, 轴固定端面是危险面:,max 384.63 133.55y M T =N m N m (3 应 力 分析:y M 使轴固定端横截面前后边缘点弯曲正应力和扭转剪应力同时到达最大值,是强度理论的危险点。(4按第三强度理论 校核强度 364.8653P 232a MPa r y=故,按第三强度理论校核强度满足。8-14 图为操纵装置水平杆,截面为空心圆形,内径 d=25mm,外径 D=30mm。材料为 Q235钢 , 许用应力 =60MP。控制片受力 F 1=600N。试用第三强度理论 校核杆的强度 F M y 图 (

11、g M T 图 (d (c (b (f (e M Z 图 (N·m1 解:(1外力分析,判变形。由轴的平衡求 F 2的两分量的大小:2220600200sin803000sin80400N =z m F F F =-=22ctan80400ctan8070.531N y z F F =操纵杆可以简化为成外伸梁,计算简图如图示,轴发生弯扭组合变形。 (2内力分析,判危险面: 扭矩图、弯矩图如图所示。 40.62C B M M =m =71.35N m >N m 故 C 才是危险面: 120C C M T =71.35N m N m (3按第三强度理论 校核强度 3101.7100

12、32Pa MPa r =>=101.7100=1.7%<5%100-故,按第三强度理论校核强度满足8-16 分析: (1本题除 F z 外使轴前后弯,其它的力都使轴上下弯。 (2引起扭转的外力偶 由 F z 来平衡,从而可以求出 F z 的大小。 (3轴在铅锤面、水平内均可简化为两段外伸的外伸 梁。 (略 补充 1 构架如图所示,梁 ACD 由两根槽钢组成。已知 a=3m,b=1m,F=30kN。梁的材料的许 用应力 =170MPa。试选择槽钢的型号。 69.28M kN ·m(d (c F N kN30 (a 解: 1外力分析:梁的计算简图如图 (b所示,外力在纵向对称

13、面内与轴斜交,故梁 AC 段 发生拉弯组合变形。对 A 取矩 BC 杆所受压力为:3(31 3010( 0sin 30( 08030.5A CB CB m F F a a b F F +=-+=N kN2内力分析: 轴力图、弯矩图如图。 C 左截面轴力和弯矩同时达到最大,是危险面。max 69.28kN , 30kN m N F M =(3应力分析判危险点:由于发生的是发生拉弯组合变形,加之截面有有两个对称轴,危险面的上边缘具有最大 拉应力,比下边缘的最大压应力的绝对值大,上边缘上各点正应力最大。(4强度计算选择槽钢的型号:33max max69.28103010170MPa 2222N z

14、zM F A W A W +=+=+= 1忽略轴力项的正应力,仅由弯曲项选槽钢的型号:333010170MPa 88.242z zW W cm 。查表可知,的 2321.95cm , 108.3cm z A W = 2对所选槽钢进行校核:33max46+-=+=+=故,所选择 16号槽钢能满足强度要求。补充 2 如图所示,轴上安装两个圆轮, P 、 Q 分别作用在两轮上,并沿竖直方向。轮轴 处于平衡状态。 若轴的直径 d=110mm, 许用应力 =60MPa。 试按第四强度理论确定许用荷 载 P 。 P M Z 图M T 图 0(e (d (c (b 解:(1外力分析,判变形。力 P 、 Q

15、向轴线平移,必附加引起扭转的力偶,受力如图所示;平移到轴线的外力使轴在 铅锤面平面内上下弯曲。外力沿竖直方向与轴异面垂直,使轴发生弯扭组合变形。1 由于轴平衡,故 :( 010.502xm F P Q Q P=-+=2 将轴进行简化,计算简图如图所示,研究铅垂面内梁的求其约束反力( 0A B BA ABm F Q P F F PP Q F F Pm F=-+=+-=(2内力分析,判危险面:扭矩图、弯矩图如图所示, C 的右截面是危险面:,max2.25P Pz TM M=(3应 力 分析:zM 使 C 横截面上下边缘点弯曲正应力最大, 同时又有最大的扭转剪应力, 故 C 的右截面 上下边缘点是

16、强度理论的危险点。(4按第四强度理论求许可荷载6460102.91kN 3232rzP=补充 3图示铁路圆信号板,装在外径为 D=60mm的空心柱上。若信号板上所受的最大风载 p=2000N/m2。若许用应力 =60MPa。应力。试按第三强度理论选择空心柱 的壁厚。x x x 600 B 800 C P= 392.7N R= 250 P T 235.5 T (N m D= 60 A + z + y a' y 解： （1）外力分析，判变形。 a+ y 314 M z (N m z 2 2 风作用的合力 P = p × R = 2000 × × 0.25 =

17、329.5 (N 与立柱的轴线异面垂直，使 立柱发生弯扭变形。合力 P 向立柱平移，必附加一个引起扭转的力偶，受力如图所示；平移 到轴线的外力使立柱在 xy 平面内前后弯曲。 (2内力分析，判危险面： 立柱固定端达到最大值弯矩 M z ,max = 329.5 × 0.8 = 314N m ; 各横截面具有相同的扭 矩。立柱的固定端是危险面。 (3 应力分析： 分析： 分析 M z 使固定端横截面前拉后压的弯曲正应力，T 使固定端横截面产生扭转剪正应力。固定 端横截面最前 a、最后 a两点是弯扭变形立柱的强度理论危险点。 （4）按第三强度理论选择空心柱的壁厚。 r3 = M z2,m

18、ax + T 2 Wz = M z2,max + T 2 D4 (1 4 32 = 3142 + 235.52 × 0.064 (1 4 32 = 60 ×106 = 0.912 内径 d ： d = D = 0.912 × 0.06 = 54.712(mm 壁厚 t： t = D d 60 54, 712 = = 2.644 (mm 2 2 补充 4 直径 d =40mm 的实心钢圆轴，在某一横截面上的内力分量如图所示。已知此轴的许 用应力 =150 MPa。试按第四强度理论校核轴的强度。 M y = 0.3kN m A F N = 100kN x B M x = 0.5kN m Mx A y x B y z z 解： （1）内力分析： 轴向拉伸使横截面有轴力 N，而圆轴发生上下弯曲才会产生前后纵向对称面的 My，而圆 轴发生扭转变形才会产生力偶作用面与横截面平行的扭矩 Mx。故，此圆轴发生拉弯扭组合变 形。 (2 应力分析： 分析： 分析 My 使圆轴上下弯曲，A、B 两点分别拥有最大的拉、压弯曲正应力；M x 使圆轴横截面上 距圆心最远的周周上各点具有最大的扭转剪应力；N 圆轴横截面上各点具有大小相同的拉应 力。故，A