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文档简介

1、谈利用导数证明不等式数学组 邹黎华在高考试题中，不等式的证明往往与函数、导数、数列的内容综合，属于在知识网络的交汇处设计的试题，有一定的综合性和难度，突出体现对理性思维的考查，特别是利用高中新增内容的导数来证明不等式，体现了导数的工具，也是与高等数学接轨的有力点。本文通过一些实例，来说明利用导数增证明不等式的基本方法。例1已知x>0，求证：x>ln(1+x) 分析：设f(x)=xlnx。xÎ0,+¥)。考虑到f(0)=0，要证不等式变为：x>0时，f(x)>f(0)， 这只要证明： f(x)在区间是增函数。 证明：令：f(x)=xlnx，容易看出，f

2、(x)在区间上可导。 且 由 可得：当时， 即xlnx>0，所以：x>0时，x>lnx 评注：要证明一个一元函数组成的不等式成立，首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。 例2：（2001年全国卷理20）已知是正整数，且 证明： 分析：要证成立，只要证即要证成立。因为m<n，所以，设函数，只要证f(x)在是减函数。 证明：设函数，则即：因为：所以：，所以在是减函数，而所以，即；从而：。 评注：这类非明显一元函数式的不等式证明问题，首先变换成某一个一元函数式分别在

3、两个不同点处的函数值的大小比较问题，只要将这个函数式找到了，通过设函数，求导判断它的单调性，就可以解决不等式证明问题。难点在于找这个一元函数式，这就是“构造函数法”，通过这类数学方法的练习，对培养分析问题、解决问题的能力是有很大好处的，这也是进一步学习高等数学所需要的。 例3（2004年全国卷理工22题）已知函数，证明：证明：设设则当时，当时， 因此，F（x）在区间（0，a）内是减函数，在区间 内为增函数，于是在 时，F（x）有最小值又，所以设，则当时，因此G（x）在区间内为减函数；因为，所以，即：。评注：本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此，设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右 端点，读者不妨设为左端点试一试，就更能体会到其中的奥妙了。通过以上例题，我们可以体会到用导数来证明不等式的基本要领和它的简捷。总之，利用导数证明不等式的关键是“构造函数”，解决问题的依

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