微积分习题之无穷级数共21页文档

1、填空题1 .数项级数 1的和为-0n i (2n 1)(2n 1)_2_2 .数项级数3的和为 cos1 0no(2n)!注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。13 .设a。0, p 1,且im(np(en 1)a0)1 ,若级数 an收敛，则p的取值范 n 1围是(2,)01分析：因为在n 时，(en 1)与1是等价无穷小量，所以由 n-.1lim(np(en 1再)1可知，当n 时，an与I订是等价无为小三。由因为nnp级数 an收敛，故4T收敛，因此p 2。n 1n 1

2、 n4 .募级数an(x 1)2n在处x 2条件收敛，则其收敛域为 0,2 0n 0分析：根据收敛半径的定义，x 2是收敛区间的端点，所以收敛半径为1。由因为在x 0时，级数 an(x 1)2n an条件收敛，因此应填0,2。n 0n 05 .募级数一-x2n的收敛半径为 <3。n 1 2n ( 3)n分析：因为募级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因为 n 12(n 1)2n ( 3)n1 2lim -nrnn-x 2n x ，n 2n( 3)n 一分析：已知e x (x (,),所以 n 0 n!np3所以，根据比值判敛法，当|x J3时，原级数绝对收敛，当|x 时，原级数

3、发散。由收敛半径的定义，应填 照。6 .募级数 xn的收敛域为1,1)。n 2 nln n 2分析：根据收敛半径的计算公式，募级数，xn收敛半径为1,收敛n 2 nln n域为1,1)；募级数1xn收敛域为(2,2)。因此原级数在1,1)收敛，在n 22n(2, 1) 1一定发散。有根据阿贝尔定理，原级数在(，2 2,)也一定发散。故应填1,1)。7 .已知 f(x)anxn,x (,),且对任意 x, F (x) f(x),则 F(x)在n 0原点的募级数展开式为F(0)axn,x (,)on 1 n分析：根据募级数的逐项积分性质，及f(x)anxn,x (,)，得n 0xxa dF(x)

4、F(0) nf(t)dt antn dt -xn 1 ,00cn 0n 0 n 1故应填 F(0)anJLxn,x (,)。n 1 n8 . 函数f(x)xex在x 1处的募级数展开式为e 11 (x 1)n on 1 (n 1)! n!第14页_xx 1xe e(x 1)e e1e (x1n1)n0n!(x 1)10ni(x 1)1(n 1)!1cn!(x 1) 0根据函数的募级数展开形式的惟一性,这就是所求。9.已知 f(x) x 1,x 0,1,S(x)是f (x)的周期为1的三角级数的和函数,则S(0),苗的值分别为3。210.设 f (x)x,2(1x),12,1,S(x)aoan

5、cosn n 1x, x (其中anf(x)cosn xdx (n0,1,2,),则 S( ) o24选择题11.设常数0,正项级数an收敛,1则级数 ()、n .；a2n 11),n2(A)发散。(B)条件收敛。(C)绝对收敛(D)敛散性与的值有关。分析:n因为 a2k1k 11ak,且正项级数an收敛，所以1a2n 1收敛。1又因为1)n12 a2所以原级数绝对收敛。12.设 an cosn ln(11,2,3,),则级数(A) an 1a2都收敛。(B)都发散。(C) an 1收敛,a2发散1(D)发散,a2收敛。n 1分析:因为，一 1、cosn ln(1 ) .n(1)n1 ln(1

6、 .n所以级数an是满 n 1足莱布尼兹条件的交错级数，因此收敛。因为214In (17)在.n时与1是等价无穷小量，且调和级数 n所以a2发散113.1 , an(nn1,2,3,),则下列级数中肯定收敛的是(A)(B)1)nan。(C)anon 2 In n(D)a2 In n o2分析:(C)因为收敛,a2na2n 1所以114n(1a2 In n收敛2a2 In n另外,a2n 1(2n 1)2'ln n-2 n取anJ)发散，所以 (2n 1)14.下列命题中正确的是(A)若 Un Vn (n 1,2,3,)，则UnVn。1n 1a2n又因为ln n lim 2 n . n

7、n n0,(B)若 UnVn (n 1,2,3,),且Vn收敛，则12n,可以说明不能选(A)14n1)nan发散。收敛。(C)若limun 1,且 Vn收敛，则 Un收敛。 n Vnn 1n 1(D)若Wn Un Vn (n 1,2,3,)，且 亚口与 Vn收敛，则 Un收敛 n 1n 1n 1分析：因为wn答DUn Vn ,所以 0 UnWnVnWn 0 又因为 Wn 与 Vnn 1n 1收敛，所以(Vnn 1Wn)收敛，因而 (Unn 1Wn)收敛。故 Un收敛n 1因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A);选项 (B),(C)将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对

8、。例如取级数1与 口可以说明(B)不对，取级数 与 qX 1就可以说 n 1 n n 1 nn1±n n1.nn明(C)不对。15.下列命题中正确的是(A)若 u2与v2都收敛，则 (Un Vn)2收敛n 1n 1n 1(B)若UnVn收敛，则U2与 V2都收敛。n 1n 1n 1(C)若正项级数 Un发散，则Un 10 n 1n(D)若 UnVn (n1,2,3,)，且 Un发散，则Vn发散。n 1n 1分析：因为(un Vn)2U2 2UnVnVn2(u2 V2),所以当U2 与V2 都n 1n 1收敛时，(Un Vn)2收敛。取Un n 11一，Vn n可以排除选项(B)；取U

9、n n12n排除选项(C);取级数un1与Vn 可以说明(D)不对 n n16.若级数un ,Vn都发散，则n 1n 1(A) (Un Vn)发散。(B)n 1(C)(Un| Vn)发散。 (D)n 1答Cunvn发散。n 1(U2 V2)发散。n 1分析：取un1,Vn 1可以排除选项(A),(B)及(D)。因为级数un ,n nn 1Vn都发散，所以级数n 1unn 1Vn都发散，因而 (/ n 1n 1Vn )发散。故选(C)。17 .设正项级数un收敛，则n 1(A)极限limu小于1。nun(B)极限lim上小于等于1。nun(C)若极限lim 5存在，其值小于1。(D) n uu

10、n若极限lim u存在，其值小于 n un等于1分析：根据比值判敛法，若极限limU存在，则当其值大于1时，级数n unun发散。因此选项(D)正确。取4n 1口排除选项(C)。因为正项级数unnn 1收敛并不能保证极限lim也存在，所以选项(A) , (B)不对。 n un18 .下列命题中正确的是an 1an1。R(B)若极限lim nan 1an不存在，则募级数anxn没有收敛半径。n 0(C)若募级数anxn的收敛域为1,1,则募级数nanxn的收敛域为n 0n 11,1 0(D)若募级数anxn的收敛域为1,1,则募级数0卫xn的收敛域为n 0 n 1(A)若募级数anxn的收敛半径

11、为R 0,则limn 0n1,1 0分析：极限lim nan 1an只是收敛半径为R2的一个充分条件，因此选项(A)不对。募级数anxn没有收敛半径存在而且惟一， 所以选项(B)不对。n 0n选项(D)可以由募级数的逐项积分性质得取级数上产可以排除选项(C)n 1 n . n到。19.若募级数an (x 1)n ® x01处条件收敛，则级数(A)条件收敛。(B)绝对收敛(C)发散。 (D)敛散性不能确定。分析：根据收敛半径的定义,1是收敛区间的一个端点,所以原级数的收敛半径为2。因此募级数(x 1)n在x 2处绝对收敛，即级数an绝对收敛。 n 020.设函数-2_f(x) x,x

12、0,1,而a0S(x) an cosn x, x (,),2 ni1其中an 2 f (x) cosn xdx, n 0,1,2,n 01则S( 1)的值为(A) 1。(B) 工。(C)1 o (D)1。22答D分析：a0an cosn x是对函数f (x) x2, x 0,1作偶延拓得到的三角2 n 1级数展开式，且延拓后得到的函数连续，根据狄里克莱收敛定理，S( 1) f (1) 1。解答题21.求级数 叵g一1一的和。 n 12n n(n 1)解：因为lnn 3n lnk3 ln31 nFn 11,1k 1 2k2 1 123k 1 k k 1) n 12所以lnn 31n 12nn(n

13、 1)22.已知级数(1)n 1解:因为23.1ln1 . n解:因为1 ln一 n所以1 ln U n nn lnk31lim n k12k kk 1)limn2,所以(1)ln n31 -ln32nln32ln32 1n3oln3u2nn 12u21un)5,10。2u2n 11的敛散性。0,且lnlim 一 nn 1n1 n求级数n又因为1,1)un的和。1(1)nn 12,8。与事在nn、n时是等价无穷小又因为级数敛，所以，根据比阶判敛法知级数1lnn 1 n收敛。另解：因为1ln 1 一 n所以已知 3 收敛，所以由比较判敛法知级数 n 1 n . n191n24.判断级数ann!

14、z(an 1 n0）的敛散性解：记Un邛，则Unnlim叩n Unn 1 /a (n 1)! lim 共 n (n 1)n 1n nna n!limn所以根据比值判敛法,a e时级数收敛,当a e时级数发散。a e时，因为limn5 1,所以此时比值判敛法失效，但由于Une T(1 -) n1 ,（因为数列（13n单调递增趋于e） n所以 lim Un 0 ,n因而当ae时，级数发散。25.讨论级数nnan p1 n0的敛散性。解：因为所以根据比值判敛法,当a 1时，由于limnn anpa 1时，级数为 -1 pn 1 nlimn(n 1)pn1时，级数 绝对收敛。pn 1 nn,所以级数

15、M发散。n 1 n,由p级数的敛散性，当0 p 1时级数发散,p 1时级数收敛。a 1时，级数为(1)n1 np,由莱布尼兹判敛法与绝对值判敛法，当0 p 1时级数条件收敛,1时级数绝对收敛26.已知函数yy(x)满足等式x y ,且 y(0)1 ,试讨论级数的收敛性。解：因为 y x由 y(0) 1,得 y (0) 1, y (0) 2。根据泰勒公式，得y(0)1 y(0)- n3 o( n13y4)， n1 2 (0)(-)n1o()n所以y(-) n时与等价，且级数n口收敛，因此级数1 n绝对收敛。注：本题也可先解定解问题勒公式讨论。27.求下列募级数的收敛域n 2n n 1)n=xn,

16、 (2),n解:y(1)n 1 ny yy(0)1x，得到y(x) 2ex x 1后再用泰(1)记，因为第16页第20页1 . .11所以收敛半径为 R 1,收敛区间为(-,-)0 22 2又因为当时，级数条件收；当时，级数发散。0 n故级数 (1)n<xn的收敛域为(-,-0 n 1. n2 2(2)记，由，得收敛半径为,所以募级数仅在处收敛。(3)记，由，得收敛半径为,故级数的收敛域为,028.求募级数 x2n1的收敛域。n 1 3n解：此时不能套用收敛半径的计算公式，而要对该级数用比值判敛法求其 收敛半径。因为所以，当，即时，级数3x2n1绝对收敛；当，即时，级数x2n1发n 1

17、3n 1 3散。根据收敛半径的定义知级数x2n 1的收敛半径为。n 13n又，当时，-v()2n 1 3，级数发散；当时，一般项为，级数也发散。 3n3故级数 4x2n 1的收敛域为，。n 13n注：还可以将级数变形为1x：x2n ,再令u 1 3nx2,研究募级数4unn 1 3n的收敛半径和收敛域，最后得到4x2n 1的收敛域。n 1 3n29.求募级数102n (2x 3)2n1的收敛域。n 1解：因为 102n(2x 3)2n 1n 11202n(x -)2 n122n1,且limnUn 1(x)Un(x)所以，当202(x为1,limn102n 2(2x 3)2n 1102n(2x

18、3)2n 1202(x 1)2,1一 0.05 时，20级数绝对收敛；当0.05时，级数发散。故募级数102n (2xn 13)2n1的收敛区间为(1.45,1.55) 0又当0.05时，原级数的一般项分别是 Un10和Un 10, 所以发散。因此级数102n(2x 3)2n 1 的收敛域为(1.45,1.55)。n 1为一等差数列，且a。0,求级数anxn的收敛域。n 0ana0 nd ,所以limnan 1an因此收敛半径为R 1,又当x 1时，级数成为n 0(心。，1防 an°，1,1)。所以(1)nan发散，于是级数anxn的收敛域为(n 0n 031.将函数ln/展开为x0

19、处的募级数解：因为 ln(1 x)口)一xn,x ( 1,1n 1 n所以Inln(1 x5) ln(1 x)5 n(1)n1(-Xn 1n5n x(1 x 1)。2x ,32.将函数 f (x) arctan2在 x1 x0点展开为募级数解：因为f (x)21 x22( 1)nx2n,(x 1),n 0f(0) 0,2n。7/1 (x 0所以x .n x 2nf(x) 0f (t)dt 2( 1) 0t dtn 033.将函数在点展成募级数，并求。解：将视为，因此只需将'展成即可。 4 x因为,且1/2n/1 x x x x 1 , 1 x所以于是f(x)1131 x 133(x1)

20、由于的募级数的系数34.求募级数在收敛区间11 3(x,所以x 1 (x 1)232(x 1)n3n1)2 3(x 1)332n 1(x 1)3nf (1)(n!)ann!3n 1,内的和函数，并求数项级数的和。解：利用募级数在收敛区间内可以逐项积分和逐项微分，得x0 S(x)dx1)n1 n(n 1)xndx (| x | 1)1)n1 n 1nx(1)nn 11(xn)x21)(1将上式两端对上限求导，得令，得(1)1n(n2n1)18-o227求募级数nxn的和函数S(x)n 1S(x)第15页则S1(x)的定义域为(1,1),且S(x)xS1(x)任名n x ( 1,1),由逐项积分公

21、式得,x0 s1(t)dtnxntn 1dt0因此,S(x)所以,S(x)xS1 (x)12, x(1 x)(1x-2 , xx)-,x (1,1)。 x(1,1),1,1)(1)求募级数n的和函数。则S1(x)的定义域为式得,因此,S(x)所以,由 S(x)1,1),S(x)S1(x)且 S(x)xS1(x)任给,x (1,1),由逐项求导公1,1)。S1(x) S1(0)S(x)C 1,1)得,S(2)求数项级数ln(1x), x(1,1) °xS1(x)xln(1x), x(1,1)。1)1)nn o2n 1limx 1S(x)lim xln(1 x) In 2。x 1的和第1

22、6页考虑募级数dx2n1,则其收敛域为1,1 0若记其和函数为S(x),则n 0 2n 1(1)n 0n 02n 1由于xS(x) S(x) S(0)0S(t)dt(1)nt2n 出n 0x 12 dt arctan x,x ( 11)。0 1 t在上式中令x 1,有 2e n 1 n!又因为S(x) C 1,1,所以S(1) lim S(x) lim arctanx 一。x 1x 14故(1)n on02n 14235.求级数匚的和。n 1 n!n解：由于ex , x (,)0n 0 n!对上式两边求导，得1,n nx0 n!所以此式两边再求导，得xxen n-x ， n 0 n!2x xn

23、 n 1xe e xn 0 n!36.设f(x)时周期为2的周期函数,且 f(x)x,0,12,写出f(x)的傅里叶级数与其和函数，并求级数一二的和n o(2n 1)n0(2n 1)2解：根据傅里叶系数的计算公式，得20 f (x) cos n xdxixcos n xdxo'2 2 (n 1,2,3,)，n211ao 0 f (x)dx 0xdx 2，2bnf (x)sin n xdx01 xsin n xdx0(1)n 1(n 1,2,3, )， n()n 1cosn x ( 1) sin n x 0 n所以f(x)的傅里叶级数为1_!4 n i n其和函数的周期为2,且x, 0 x 1,、1)S(x) -, x 1,0, 1 x2。S(0)4 nUF 4 n。1且 S(0)0'所以第27页37.设级数证： 因为lim bn 1,所以数列bn有界,即存在Mbn于是anbnM anan收敛，由比较判敛法知anbn收敛，故级数anbnn 1绝对收敛。38.已知an 0,且a1 an (n1,2,3,),若级数(1)n 1an发散，证明级数收敛。n1(1 an)证：因为0 an 1 a(n 1,2,3,lim an存在，其值记为Ao由于级数 (1)nan发散，根据莱布尼兹判敛法知 n 100所以存在N