第五节 点的轨迹的构造

1、第五节 点的轨迹的构造例1：P为圆上任意一点，O为圆外的点，当P在圆上运动时，线段OP中点M的轨迹是什么？操作步骤：1，作基本图形。作一圆，在圆上取一点P，在圆外作一点O，连接OP，构造其中点M2，制作P点的动画。选择点P，执行“编辑/操作类按钮/动画”命令制作点P的动画按钮3，追踪点M的轨迹。选择点M，执行“显示/追踪中点”命令4，单击按钮，查看结果，按“Esc”就能清除轨迹5，构造点M的轨迹：选定点P和点M（没有先后），单击菜单命令：【构造】【轨迹（U）】构造轨迹的前提条件是：选定两点，一点是在一条路径上的自由点和能够跟随此点运动的点即被动点。路径可以是任何线（线段、直线、射线）轨迹、函数

2、图像。例2：椭圆的画法（一）操作步骤：1，画圆，圆心为A，在圆周上画一点D，在圆内画一点C，连结AD，CD2，作线段CD的垂直平分线，作垂直平分线和直线AD的交点E。3，构造轨迹：选定E点和D点，单击菜单命令：【构造】【轨迹（U）】4，隐藏不必要对象 选定圆、两直线、点E、D、B例3画出一条直线绕一点旋转的轨迹操作步骤：，画一圆，圆心为A，在圆上画一点C，作线段AC，作过C点垂直于AC的垂线，选择垂线，执行“显示/追踪直线”命令；3，隐藏圆、线段AC、点B，执行“显示/显示运动控制台”4，选择C点，单击运动控制台上的播放按钮，修改速度5，按Esc键取消追踪结果，选择点C及垂线，执行【构造】【轨

3、迹（U）】例4作过两点的圆系，即过两点的所有圆操作步骤：，作两点、，过此两点的线段，线段的中点，中垂线，在垂线上取一点，作以该点为圆心，为圆上点的圆，选择圆，执行“显示/追踪圆”命令；，选择圆心，建立动画例5探索线段的端点在圆上运动时其中点及中垂线的轨迹操作步骤：，作一圆，作一线段，为圆上的一点，为圆外的点，作的中点及中垂线，选择中点，执行“显示/追踪点”命令；选择中垂线，执行“显示/追踪垂线”命令；，建立点的动画：选择点，通过“编辑/操作类按钮/动画”命令建立动画。综合实例：一、正方形的画法（一） 二、菱形的画法（一） 例6画双曲线操作步骤：1，作一圆，圆心为A2，在圆周的水平方向上（右边）

4、作一点C，选择点A，C，执行“构造/射线”3，在A的延长线上作一点D，过D作一线段D，其中E为圆的下半部分上的一点4，作DE的中点F，过F作DE的垂线4，选择点E、A，作一直线交的中垂线于G6，依次选择E、G，执行“构造/轨迹”命令第三章 用变换菜单作图在几何画板中，研究的是图形的演变。我们能对图形进行平移、旋转、缩放、反射、迭代等变换。一、旋转对象一个或一个以上图形以某一点为标记中心作旋转变换。点B以点A为标记中心旋转度，即固定线段AB的端点A，然后线段AB逆时针旋转度得到线段AB，则B为B点以A为标记中心旋转度后得到的点，图形的旋转是先旋转图上的各点，然后再连结得到旋转后的图形。例1：画一

5、个正方形作图思路：将一线段以其左端点为中心旋转90度操作步骤：1、画线段AB。2、用选择工具双击点A，点A被标记为中心。3、用选择工具选取点B和线段AB，由菜单“变换”-“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中以固定角度旋转90度4、双击点B，标记新的中心。5、用选择工具选取点A和线段AB，由菜单“变换”-“旋转”，在弹出的“旋转”对话框中以固定角度旋转-90度6、连结上方两个顶点得第四边。练习：用旋转交换的方法画一个正三角形，并与前面用工具画正三角形的方法比较，你觉得哪种方法简便些？例2六角形1，通过旋转的方法作一角度为60度的菱形：作一线段AB，双击A点，选择B点，执行“变换/旋转”命令，旋转6

6、0度得到点C，以其点为中心将B点旋转60得到点D2，以A为标记中心，将菱形旋转60度，重复旋转5次。例3.四瓣花将半圆以圆上中点为标记中心旋转90度1，作半圆：作一水平线段DE，及线段上的中点F，以中点F为中心点将右边点E旋转90度得到点E'，选择、'、通过构造菜单作一过三点的弧2，以'为中心点，将弧及直径旋转90度3，反复旋转次例4立体图1，作一菱形ABA'B'，2，以菱形左上角的顶点B'为中心将菱形旋转120度，旋转2次3，选择菱形的顶点，构造四边形内部，然后通过显示菜单中的颜色命令设置四边形内部的颜色4，对另两个四边形重复的操作。二、平移对

7、象 平移是指：对于两个几何图形，如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系，并且以一个图形上任一点为起点，另一个图形上的对应点为终点作向量，所得的一切向量都彼此相等，那么 其中一个图形到另一个图形的变换叫做平移。平移是一个保距变换，又是一个保角变换。几何画板中，平移可以按三大类：1，极坐标下的平移选择平移对象后，通过“变换/平移”命令打开平移对话框，设置平移的角度和距离2，直角坐标下的平移在平移对话框中设置的是水平与垂直方向上的改变量3，标记平移先标记好向量，然后按向量的方向和距离平移例1 画一个半径为cm的圆操作思路：将一个点在水平与垂直方向上都平移1cm生成一个长为cm的线段，然后以

8、圆心和半径绘圆例2 全等三角形将一个三角形按水平方向平移例3平行四边形的画法将其中一条边标记为向量，对另一顶点按标记平移例4矩形三、缩放对象缩放是指对象关于“标记的中心”按固定的比例或“标记的比例”进行位似变换。1，按固定比例缩放先设定标记中心（双击该点），然后选择缩放的对象，再执行“变换/缩放”命令2，按标记比缩放（1）依次选择作为分子与分母的线段，执行菜单“变换/标记线段比例”（2）选择缩放的对象，再执行“变换/缩放”命令例1 相似三角形四、反射对象反射是指将选中的对象按标记的镜面（即对称轴，可以是直线、射线或线段）构造轴对称关系。但并不是所有的对象都可以反射，例如轨迹就不能反射。反射命令

9、不会弹出对话框，反射前必须标记镜面，否则即使能够进行反射，得到的结果一般不会是你想要的。例1 轴对称三角形关于对称轴的反射对象五、迭代与深度迭代问题：我们用旋转变换不难画出正多边形，但边数太多，如要画正十七边型，如图所示，你不嫌繁的话，得用旋转变换16次，那么有没有简单的方法呢，有，那就是“迭代”例1、正十七边形的画法操作步骤：1、画两个点，让B点围绕点A旋转得，连接。2、选定B点，单击菜单“变换”“迭代”，出现下面对话框3、单击，对话框变为上图，注意到“迭代规则数：3”，图形在原有的基础上，增加了3条线段。（想一想，应让计算机重复画几条线段？）4、重复按小键盘上的“”键，直到迭代规则数变为1

10、6（也就是要让计算机重复画16条），注意工作区中图形的变化5、单击“迭代”按钮，正十七边形构造完毕，如上图：迭代变换使用的前提条件：1)选定一个（或几个）自由的点，即平面上任一点，或线（直线、线段、射线、圆、轨迹）上的任一点，如上例的B点。2)由选定的点产生的目标点（不要选定，出现迭代对话框后，再选），如线段的中点，或由选定点经过变换产生的点当然迭代的对象还有参数，请看进阶篇：再说迭代迭代的深度（即重复的次数），可用参数控制，即深度迭代，请看例2例2、正n边形的画法运行结果：如图，选定参数n，按小键盘上的“”或“”键，可改变n的值，从而改变多边形的边数，即得到正n边形（这在黑板上是画不出的）。

11、基本思路：1、画两个点，标记其中一个点作为正n 边形的中心。另一个点为最基本的第一顶点；2、“新建参数”n，用3600除以n，得正n边形的圆心角；3、选取圆心角后“标记角度”，让第一顶点绕中心按“标记的角度”旋转,得第二顶点；4、选取参数n、进行第一顶点到第二顶点的“深度迭代”；5、选取参数n，按小键盘上的“+、”键可以改变参数，得到动态的正n边形。操作步骤：一、准备工作（确定旋转角的度数和迭代的深度）按“alt”键，调出计算器，输入“360°÷”（“°”由单位按钮输入）单击计算器的“数值”按钮单击“新建参数”按钮将新建参数的对话框改为下图单击新建参数的对话框的“确定按钮”后，单击计算器上的“确定按钮”，再调出计算器，计算n1。画出点A和点B，如下图所示6、让B点，绕点A旋转“”，得，连接。如下图所示：二、深度迭代1、同时选取点B、“n15”；2、按住Shift键不放，单击菜单“变换”“深度迭代”弹出如图5的迭代对话框；图5说明：此步如不按住Shift 键，菜单中的命令项是“迭代”，几何画板中部分菜单项会根据按键、工具按钮的选