著名不等式荟萃

1、著名不等式荟萃在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩。下面择要介绍一些著名的不等式。一、平均不等式（均值不等式）设a1，a2，an是 n个实数，A叫做这n个实数的算术平均数。当这 n个实数非负时，G叫做这 n个非负数的几何平均数。当这 n个实数均为正数时，H叫做这 n个正数的调和平均数。设a1，a2，an为 n个正数时，对如下的平均不等式：HGA当且仅当 a1a2an时等号成立。平均不等式AG是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一。设x1，x2，xn是 n个正的变数，则(1)当积 x1x2xnP是定值

2、时，和x1x2xn有最小值，且(x1x2xn)minnn(2)当和 x1x2xnS是定值时，积 x1x2xn有最大值，且(x1x2xn)max()n()n两者都是当且仅当 n个变数彼此相等时，即 x1x2xn时，才能取得最大值或最小值。在 AG中，当n2，3时，分别有，平均不等式 AG经常用到的几个特例是： (a1a2an) ()n2当且仅当a1a2an时等号成立；a12，当且仅当a11时等号成立。二、柯西不等式（柯西许瓦兹不等式或柯西布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数a1，a2，an；b1，b2，bn，有(a1b1a2b2anbn)(a12a22an2) (b12b22bn2)其中等号当且

3、仅当时成立。柯西不等式的几个特例(以下a1，a2，an；b1，b2，bn均为实数)是：(1) a12a22an21，b12b22bn21，则a1b1a2b2anbn1(2) a1a2a2a3a3a1a12a22a32(3) (a1a2an)2n(a12a22an2)柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广。三、闵可夫斯基不等式设 a1，a2，an；b1，b2，bn是两组正数，k0，k1，则(1) k1时，(2) 0k1时，当且仅当 时等号成立。闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当k2，n2时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解。若记(a1，a2)，(b1

4、，b2)，则上式为|四、贝努利不等式(1)设xi1，i1，2，n，n 2且同号，则(1x1)(1x2)(1xn)1x1x2xn不等式(1)的一个重要特例是：(1x)n1nx，x1，x0，nN，n2(2)设x1，则(i) 当01时，有(1x)1x；(ii) 当1或0时，有 (1x)1x。上两式当且仅当x0时等号成立。五、赫尔德不等式已知aibi(1in)是2n个正实数，p0，q0，pq1，则a1pb1qa2pb2qanpbnq(a1a2an) p(b1b2bn)q上式中若令pq，xi2ai，yi2bi，即为柯西不等式。六、契比雪夫不等式(1)若 a1a2an；b1b2bn，则(a1b1a2b2a

5、nbn)；(2)若 a1a2an；b1b2bn，则(a1b1a2b2anbn)；下面给出一个n2时的契比雪夫不等式的直观理解。如图，矩形OPAQ中， a1a2， b1b2，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）。于是有(a1a2) (b1b2)2(a1b1a2b2)，也即(a1b1a2b2)七、排序不等式设有两组数a1，a2，an；b1，b2，bn满足a1a2an；b1b2bn，则有a1bna2bn1anb1a1bk1a2b k2anbkna1b1a2b2anbn，式中的 k1， k2，kn是1，2，n的任意一个排列，式中的等号当且仅

6、当 a1a2an或 b1b2bn时成立。以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和。这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解。八、含有绝对值的不等式a，b为复数，则|a|b|ab|a|b|左边的等号仅当 a，b的幅角差为时成立，右边的等号仅当 a，b的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是|a1a2an|a1| a2|an|绝对值不等式在实数的条件下用得较多。九、琴生不等式设f(x)是(a，b)内的凸函数，则对于(a，b)内任意的几个实数x1，x2，xn有f()f(x1)f(x2)f(xn)等号当且仅当x1x2xn时取得。琴生不等式是丹麦数学家琴生于1905年到1906年间建立的。利用琴生不等式我们可以得到一系列不等式，比如“幂平均不等式”，“加权的琴生不等式”等等。十、艾尔多斯莫迪尔不等式设P为ABC内部或边界上一点，P到三边距离分别为PD，PE，PF，则PAPBPC2(PDPEPF)当且仅当 ABC为正三角形，且P为三