高等数学2D8_5对弧长曲线积分

1、8.5 8.5 曲线积分曲线积分8.5.1 8.5.1 曲线积分的概念与性质曲线积分的概念与性质 8.5.2 8.5.2 曲线积分的计算法曲线积分的计算法 8.5.3 8.5.3 格林公式格林公式 8.5.4 8.5.4 曲线积分与路径无关的条件及曲线积分与路径无关的条件及8.5.68.5.6* * 曲线积分的应用曲线积分的应用 二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积 3.3.理解对坐标的曲线积分的定义理解对坐标的曲线积分的定义; ; 4.4.了解对坐标的曲线积分的性质了解对坐标的曲线积分的性质; ; 5.5.掌握掌握对坐标的曲线积分的计算方法对坐标的曲线积分的计算方法; ; 6.6.了解两

2、类曲线积分的关系了解两类曲线积分的关系; ; 1.1.理解对弧长的曲线积分的定义理解对弧长的曲线积分的定义, ,物理意义和几何意义物理意义和几何意义; ; 2.2.掌握掌握对弧长的曲线积分的性质与计算方法；对弧长的曲线积分的性质与计算方法； 7.7.掌握掌握并能正确运用格林公式并能正确运用格林公式; ; 8.8.掌握掌握平面上关于坐标的曲线积分与路径无关的条件平面上关于坐标的曲线积分与路径无关的条件, , 基本要求基本要求 会求全微分的原函数会求全微分的原函数. . 上页 下页第8.5.1节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的

3、曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第 八章 上页 下页AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占假设曲线形细长构件在空间所占弧段为弧段为AB , 其线密度为其线密度为),(zyxkkkks),(的方法的方法,可得可得nk 10limM为计算此构件的质量为计算此构件的质量, ,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲线形构件的质量曲线形构件的质量采用采用上页 下页“分割、近似代替、求和、取极限分割、近似代替、求和、取极限” ” ),(zyx( , , )x y z注意注意:是定义在是定义在 弧段弧段AB上的函数上的函数. 设设 是空间

4、中一条有限长的光滑曲线是空间中一条有限长的光滑曲线,义在义在 上的一个有界函数上的一个有界函数, kkkksf),(都存在都存在,),(zyxf 上上对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分, 记作记作szyxfd),(若通过对若通过对 的的任意分割任意分割局部的局部的任意取点任意取点, 2. .定义定义是定),(zyxf下列下列“乘积和式极限乘积和式极限”则称此极限为函数则称此极限为函数在曲线在曲线或或第一类曲线积分第一类曲线积分. ),(zyxf称为称为被积函数，被积函数， 称为称为积分弧段积分弧段 .nk 10limks1kMkM),(kkk和对和对上页 下页如果如果 L 是是 xoy 面上的曲

5、线弧面上的曲线弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果如果 L 是闭曲线是闭曲线 , 则记为则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积则定义对弧长的曲线积 分为分为思考思考: (1) 若在若在 L 上上 f (x, y)1, ?d 表示什么问Ls(2) 定积分是否可看作对弧长的曲线积分的特例定积分是否可看作对弧长的曲线积分的特例 ? 否否! 对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中但定积分中dx 可能为负可能为负.上页 下页3.3.对弧长的曲线积分的物理意义和几何意义对弧长的曲线积分的物理意义和几何意义 物理意义物理意义 表示弧表示弧的线密度的线密

6、度. . ( , , )f x y z其中其中几何意义几何意义 表示表示的弧长的弧长. . ds曲线形构件的质量曲线形构件的质量, ( , , )0( , , )df x y zf x y zs当时，4. 性质性质szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 为常数为常数) szyxfd),()3( 由由 组成组成) 21, ),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(21d),(d),(szyxfszyxf上页 下页表示表示 tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思

7、路:计算定积分计算定积分转转 化化定理定理:),(yxf设且且)()(tty上的连续函数上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧是定义在光滑曲线弧则曲线积分则曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分求曲线积分根据定义根据定义 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(上页 下页, ,1kkktt点点),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf连续注意)()(22tt设各分点对应参数为设各分点对应参数为), 1 ,0(nktk对应参数为对应参数为 则则,1kkkttnk 10lim

8、kkkt)()(22 )(, )(kkf上页 下页xdydsdxyoLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22说明说明:, 0, 0) 1 (kkts因此积分限必须满足因此积分限必须满足!(2) 注意到注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式类似于因此上述计算公式类似于“换元法换元法”. 因此因此上页 下页如果曲线如果曲线 L 的方程为的方程为),()(bxaxy则有则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式如果方程为极坐标形式:),()(: rrL则则syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为设空间曲线弧的参

9、数方程为)()(, )(),(:ttztytx则则szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf上页 下页上页 下页由上述定理得由上述定理得对弧长的曲线积分的一般对弧长的曲线积分的一般计算步骤如下计算步骤如下: : 第一步第一步 画出积分曲线画出积分曲线L L的草图；的草图； 第二步第二步 写出写出L L的方程的方程; ; 第三步第三步 化为定积分化为定积分; ; 作法作法：L L的方程形式代入的方程形式代入, ,弧微分用同一形式的表达式代入弧微分用同一形式的表达式代入; ; 把被积函数中的把被积函数中的x,y用

10、积分曲线用积分曲线 变量参数化变量参数化: : 一类小放下一类小放下: : 化为定积分时要用参数的最小值化为定积分时要用参数的最小值 作为作为定积分的下限定积分的下限. .第四步第四步 计算定积分计算定积分. . (L的方程形式决定定积分形式的方程形式决定定积分形式 ) 例例1. 计算计算d ,Ly s其中其中 L 是抛物线是抛物线2xy 与点与点 B (1,1) 之间的一段弧之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLdLy s10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x1(5 51).12上点上点 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B上页 下页22

11、d ,Lxys其中其中 L 是是20,2,yxyyx所围成的扇形的整个边界所围成的扇形的整个边界 . 上页 下页解解 由图可知由图可知 在在 OA上，上，0,02,yx.01)(12dxdxdxxyds2222200()1.2OAxxy dsxdx在在 上上, , 2cos ,2sin ,xt yt故故 222xyAxyyxo) 1 , 1 (B例例2. 求求 (0)4t22( )( )2,dsxtyt dtdt222240( 2cos )( 2cos )2ABxy dsttdt故故 .LOAABOBAB在在 OB上，上， ,01,yxx.211)(12dxdxdxxyds4022.2dt12

12、22202OBxy dsxxdx综上所述，得综上所述，得 222222LOAABxy dsxyxy ds222xyAxyyxo) 1 , 1 (B故故 1210021.xdxx22OBxy ds2.2上页 下页上页 下页例例3. 计算计算d ,Ly s其中其中 L 是抛物线是抛物线24yxA(1,2)到点到点 B (1,-2) 之间的一段弧之间的一段弧 . 上从点上从点解解 为了得到单值函数为了得到单值函数, ,应把应把 的方程写成的方程写成 L)22( ,42yyx因此因此 22221 ()4Lyydsydy( (因为被积函数为奇函数因为被积函数为奇函数). ). 1Lxy24yxo(1,2

13、)A(1,2)B2221 ( )02yydy例例4. 计算曲线积分计算曲线积分 ,d)(222szyx其中其中 为螺旋为螺旋的一段弧的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线线上页 下页d d s例例5. 计算计算,d)(222szyxI其中其中 为球面为球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(2092d18 .2

14、Id2cos221z. 1的交线与平面 zx292 z化为参数方程化为参数方程 21cos2x sin2y则则 上页 下页例例6. 计算计算,d2sx其中其中 为球面为球面 2222azyx被平面被平面 所截的圆周所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2上页 下页内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyx

15、fszyxfszyxf),(21组成由ls d)3( l 曲线弧曲线弧 的长度的长度)Lszyxfd),(),(为常数szyxgLd),(上页 下页3. 计算计算 对光滑曲线弧对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf上页 下页思考与练习思考与练习1. 已知椭圆已知椭圆134:22yxL周长为周长为a , 求求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式原式