高二文科选修 双曲线及其标准方程

1、 已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防 解：（1）椭圆中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0)则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 (2m-1)x2+2mx+2m-m2=0设B(x1,y1),C(x2,y2),

2、则x1+x2=-（2）当m=5时， 当m=2时，点评：此题因最终需求，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差，得，将y0=x0+1，k=1代入得，可见当然，解本题的关键在于对的认识，通过线段在x轴的“投影”发现是解此题的要点。 双曲线及其标准方程 1椭圆的定义是什么？平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a|F1F2|2 椭圆的标准方程是什么？焦点在X轴上的椭圆标准方程为（）；焦点在Y轴上的椭圆标准方程为(二)双曲线的概

3、念把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1、简单实验如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，拉链演示，点m为动点，|MF1|-|MF2|是常数，回答为什么是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形这样作出的曲线就叫做双曲线2、通过设问，与椭圆类比，归纳出双曲线的定义及特点。问题1：平面内与两定点的距离的差等于常数2a（小于|F1F2| ）的轨迹是什么？双曲线的一支问题2：平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（等于|F1F2| ）的轨迹是什么？是在直线F1F2上且

4、以F1、F2为端点向外的两条射线问题3：平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（大于|F1F2| ）的轨迹是什么？当常数|F1F2|时，无轨迹3定义 平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距(三)双曲线的标准方程类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？(1)建系设点取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)建立直角坐标系设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c0)，那么F1、F2的坐标分别是(

5、-c，0)、(c，0)又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P=M|MF1|-|MF2|=2a=M|MF1|-|MF2|=±2a(3)代数方程将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：由双曲线定义，2c2a 即ca，所以c ²-a ²0 设c²-a²=b² (b0)，代入上式得：b²x²-a²y²=a²b²这就是双曲线的标准方程两种标准方程的比较：（1） 表示焦点在X轴上的双曲线，焦点是，这里；（2） 表示焦点在Y轴上的

6、双曲线，焦点是，这里(只须将（1）方程的x,y互换即可得到)；指出：(1)双曲线标准方程中，a0，b0，但a不一定大于b；(2)如果x²项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y²项的系数是正的，那么焦点在y轴上注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c²=a²+b²，不同于椭圆方程中c²=a²-b²1、例题：例1、已知双曲线焦点的坐标为 ，双曲线上一点P到的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以它的标准方程为： （a&g

7、t;0,b>0） 2a=6,2c=10, a=3,c=5 所以所求双曲线的标准方程为：例2、已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点的坐标为（3， ），（，5）求双曲线的标准方程。 解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为（a>0,b>0） 因为点 在双曲线上，所以将（3， ），（，5）分别代入所设方程中，得方程组令,则方程组化为解这个方程组，得即。所以所求的双曲线方程为 （1）已知双曲线的实轴长为6，焦距为10，则该双曲线的标准方程为（ ）A、 B、 C、或 D、 或（2） 已知方程表示双曲线，求m取值范围。双曲线与椭圆之间的区别与联系表椭圆双曲线定义

8、|MF1|+|MF2|=2a （ a 0）|MF1|MF2|=2a （ a 0）图像X轴 Y轴焦点坐标F（±c，0）;F（0，±c）F（±c，0）;F（0，±c）标准方程X轴Y轴a,b,c的关系a>b>0， a>0，b>0，但a不一定大于b1. 如果双曲线1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是（ ）(A)(B)(C)(D)2. 已知双曲线C0,b0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（A）a(B)b(C)(D)3. 以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）ABCD4. 以双曲线

9、的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（）5. 若双曲线（a0,b0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)6. 若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心率是（ ）（A）3 （B）5 （C） （D）7. 过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D8. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则（ ） A. -12 B. -2 C. 0 D. 4选择题：1. A

10、 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 7. C 8. C 填空题： 9. 10. 11. 2 12. 13. 16 14. 15. 16. 9. 过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 11. 过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为_12. 已知点在双曲线上，并且到这条双曲线的右准线的距离恰是到双曲线两个焦点的距离的等差中项，那么点的横坐标是_13. 已知是双曲

11、线的两个焦点，是过点的弦，且的倾斜角为，那么的值是_14. 已知是的两个顶点，内角满足，则顶点的轨迹方程是_15. 过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP|FQ|的值为_.16. 已知是双曲线上除顶点外任意一点，为左右焦点，为半焦距，内切圆与切于点，则的值为_17. 如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，是半圆弧上一点，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；（）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.若的面积不小于，求直线斜率的取值范围.解：（）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2

12、，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得MA-MB=PA-PBAB4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c2，2a2，a2=2,b2=c2-a2=2.曲线C的方程为.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得MA-MB=PA-PBAB4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为0，b0）.则由 解得a2=b2=2,曲线C的方程为()解法1：依题意，可设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， k（-,-1）（-1，1）

13、（1，）.设E（x，y），F(x2,y2)，则由式得x1+x2=,于是EF而原点O到直线l的距离d，SDEF=若OEF面积不小于2,即SOEF，则有 综合、知，直线l的斜率的取值范围为-，-1(1-,1) (1, ).解法2：依题意，可设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k2）x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， .k（-，-1）（-1，1）（1，）.设E(x1,y1),F(x2,y2),则由式得x1-x2= 当E、F在同一去上时（如图1所示），SOEF当E、F在不同支上时（如图2所示）.SODE=综上得SOEF于是由OD2及式，得SOEF=

14、若OEF面积不小于2 综合、知，直线l的斜率的取值范围为-，-1（-1，1）（1，）.17. 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点已知成等差数列，且与同向（）求双曲线的离心率；（）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程解：（）设，由勾股定理可得：得：，由倍角公式，解得,则离心率（）过直线方程为,与双曲线方程联立将，代入，化简有将数值代入，有,解得故所求的双曲线方程为。18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 解：由条件知，设，（I）解法一：（I）设，则则，由得即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，