导数应用_含参函数的单调性讨论(一).doc

1、导数应用：含参函数的单调性讨论一、思想方法:f'( x)0xf'( x)0xx D 时 f，(x)B .D .、增区间为 和 f( X)A, B .、增区间为 和 f ( x)C, D .f(x)在区间D上为增函数X D 时 fx)0x D 时T(x)0f(x)在区间D上为减函数f(x)在区间D上为常函数讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。二、典例讲解例1讨论f(x) x 3的单调性，求其单调区间X步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数(化为乘除分解式，便于讨论正负) ，3、先讨论只有一种单调区间的(导函数同号的)情况，4、再讨论有增有减的情

2、况(导函数有正有负，以其零点分界)5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。变式练习1 :讨论f(x) x a In x的单调性，求其单调区间例2.讨论f ( x) ax In x的单调性小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。即先求出 (X)的零点，再其分区间然后定f'(x)在相应区间的符号。一般先讨论 f'(x)。无解情况，再讨论解f' (x) 0过程产生增根的情况(即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量X围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域的)，即根据f'(x)零点个数从少到多，相应原函数单调区

3、间个数从少到多讨论，最后区间(最好结合导函数的图象)确定相应单调性。变式练习2.讨论f(x) laX2 Inx的单调性 2小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如可合并为一类结果。对于二次型函数(如 g(x) ax2 1)讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。 例3. 求f(x) a 2 x3 ax 2 x 1的单调区间小结：求函数单调区间可化为导函数的正负讨论(即分讨论其相应不等式的解区间)，常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要注意讨论两根大小(分大、小、等三 种情况)。含参二次不等式解时要先看能否因式分解，若能则是计算简单的问题，需看开口及两根大小，注

4、意结合图象确定相应区间正负。变式练习3.求f(x) 1X3 laX2 x 1的单调区间32小结：三次函数的导函数是常见二次函数，当二次函数开口定时对其正负进行讨论的，要根据判别式讨 论：无根的或两根相等的导函数只有一种符号，相应原函数是单调的较简单应先讨论；然后再讨论有两不等根的，结合导函数图象列变化表，注意用根的符号xi, X2代替复杂的式，最后结论才写回。个别点处导数为。不影响单调性。只有在某区间导数恒为。时，相应区间原函数为常数，一般中学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此种情况。例4. 已知函数f(x) ax3 3x2 3x l,a R ,讨论函数f ( x)的单调性.分析：讨论单调

5、性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定f'(x) 0的解区间；确定函数的减区间就是确定f'(x)。的解区间；讨论单调性与讨论不等式的解区间相应。小结：导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论（先讨论其为。情形），然后讨论判别式（先讨论判别式为负或为。的情形，对应导函数只有一种符号，原函数在定义域上为单调的）， 判别式为正的情况下还要确定两根的大小（若不能确定的要进行一步讨论），最后根据导函数正负确定原函数相应单调性，记得写出综述结论。1 a例5.已知函数f(x) In x ax1 （a R）.讨论f（x）的单调性;小结：此法是把

6、单调区间讨论化归为导函数符号讨论，而确定导函数符号的分子是常见二次型的，一般 要先讨论二次项系数，确定类型及开口；然后由于定义域限制讨论其根是否在定义域，再讨论两根大 小注，结合g(x)的图象确定其在相应区间的符号，得出导函数符号。讨论要点与解含参不等式的讨论 相应。三、巩固作业：a1 .已知函数f(x)lnx .，求f(x)的单调区间X122 .已知函数f(x)= _x2 ax+(a l)ln x,讨论函数f ( x)的单调性，求出其单调区间。 23 .已知函数f( x)= In(1+x )x+ x2( k 0),求f(x)的单调区间.4、设a 0 ,讨论函数f (x) In x a(l a

7、)x2 2(1 a) x的单调性.注意：必须问什么答什么，分类讨论最后必须有综述1、解：f ( X)X-af'(x) 1X2I)当 a 0 时,f*(X)此时f ( x)在(3的定义域为(,0) (0,)xa同号)X2 a2 (X 0)(它与 g(x) xX 20( x 0)恒成立，,0)和(0,)都是单调增函数，即f（x）的增区间是（，0）和（0,）;件或f-口）当 a 0 时 f 解：f (x) ax ax 1(X 0)X （x）0（ x 0） x v x v af'(x) 0( x 0)此时“*）在（）都是单调增函数,”*）在（%，0）和（ON a）都是单调减函数,变式1

8、 解:即f（x）的增区间为（，J7）和（ Ja, f（x）的减区间为（4,0）和（0,3） f （ x） x a In x的定义域为（0,f'(x) 1a x a- (x 0)(它与 g(x) xa同号）I)当a0时,此时f( x)X X f'(x) 在(0,0（ x 0）恒成立, ）为单调增函数，即f（x）的增区间为(0,）,不存在减区间；D)当 a 0 时 (x) f'(x)0( x0(x0)0)0 xa此时 f(x)S ( a,）为单调增函数,f（x）在（0, a）是单调减函数,即f（x）的增区间为（a,）;f （x）的减区间为（0, a）In x的定义域为（0,

9、f'(x) a（它与g（x） ax 1同号）I)0时,0(x0）恒成立（此时f'（x） Ox此时f（x）在（0, 。时，O（x）为单调增函数，即 f（x）的增区间为（0, 0（x 0）恒成立，1一没有意义）a）（此时f'(x) 0 x此时f（x）在（0,不在定义域，没有意义）a）为单调增函数，即 f（ x）的增区间为（0,HI)当a 0时，令f，（x）aa1即f(x)的增区间为(0,1； f(x)的减区间为(a变式2解：f(X)laX2 In X的定义域为(0,) 2f'(x) ax-Lx0),它与 g(x)令 f'(x)Xax 2 1 0( x0)，0

10、时，无解;0a(另一根不在定义域舍去)ai)当a0时,f'(x)0(x0)恒成立(此时f'( x) 0没有意义)ii)当 a此时f(x)在(0, 0 时，f*( x) 0( x (此时方程ax2此时f(x)在(0,iii)a)为单调增函数，即 f(x)的增区间为(0,0)恒成立,0判别式 0，方程无解)为单调增函数，即 f( x)的增区间为(0,X(0，),)f'(x)ad0a增/iBU当a 。时，当X变化时，f'(x), f(x)的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号);1所以，此时f(x)在(0, y _ )为单调增函数，.a:1即f(x)的增区间为(0,

11、-)； f ( X)的减区间为”在J，)是单调减函数,3 解：f (x) a 2 x3 ax 2 f' ( x) 3a2 x 2 2axI)当 a 0时，f*(x)口)当a 0 时 3a 2i)ii)令 f'(x)0得xif'(x)a1的定义域为R,(V ， )a(3ax l)(ax 1)0 f(x)在R上单调递减，f(x)减区间为R,无增区间。f'( X)是开口向上的二次函数,_L,X23a0 时,Xi±(a 0), a因此可知(结合f'(x)的图象)OxX2或所以此时，f(x)的增区间为(当 a 。时，xi X21一；f'(x)3a

12、r和13a丁3a)；f(x)的减区间为(工Fa 3af'(x)3a1;af'(x)10 一3a所以此时,f(x)的增区间为(变式3解：f( x)的定义域为R, f' ( x)一>和(3a2x ax)；f(x)的减区间为(一,一) af'(x)是开口向上的二次函数,I)当。所以此时2 a 2 时,f* (x) f(x)在R上单调递增，0恒成立f(x)增区间为R，无减区间。H)当令 f'(x)2或a a。得-XI黄一a a2 %X1a a '，xi X222f(x)的减区间为(a a2 24)练习1解：函数的定义域为(0, +0得:令f 若X即

13、0即 0a，则， o f,则由 0*在(0,f x 得 x>-a 0)上单调递增在八(0, ，由f ，在0,-a总之,。时，f X在(0,在(a ,)上单调递增；)上单调递增，在练习2解:f ( x)的定义域为(0,).axxa 1 (x l)(x 1 a) x)上单调递增;° 得 x<-a上单调递减.0,-a上单调递减.令f'x。得:xi0即1 a1, X21时, (X)a 1 f'(2)若 a此时f(x)在(1, 1 0即a 1时，)单调递虬在(0,1)单调递减若a 1 1即a 2时，f'(x) (x I)2 >o,故f(x)在(0,)单

14、调递增.X若Ova 1 1 ,即1 a由 f (x)。得，a2时，1 x 1 ；由 f' (x) 0 得,故f(x)在(a 1,1)单调递减，在(O,a 1),(1,0 x a 1 或 x )单调递增.若a 11,即a由 f'(x) 0 得, 故 f(x)在(l,a2时,1 x a 1 ；由 f (x) 0 得,1)单调递减，在(0,1),(a 1,0 x 1 或 x a )单调递增.综上所述，当a,f(x)单调增区为(1,)，减区间是(0,1);2时，f(x)的减区间是(a 1,1),增区间是(0, a、解：x (1)2)(3)(4)1,所以,2时,2时,)，f(x)在定义域

15、上递增, f(x)的减区间是(l,a x( kx k 1).f'(x)单调增区为(0,)(不存在减区间)；1)，在增区间是(0,1),(a令f x 。得：XI0, X20 时,f!( x)在区间(1,0) ±,故f(x)的单调递增区间是当X2当X2(x)0 ；在区间(0,)上,(1,0),单调递减区间是(0,f,( x).1,1 k).0.XI由 f ( X)。得,1时,时,f'(x)(1 Q k故f(x)的单调递增区间是(5)当21即kX X由 f' ( x) ° 得，故f(x)的单调递增区间是综上知：当k0时,时,4、解：函数f(x)考虑到k&g

16、t;0得,无解.x2x时,0 故f(x)的单调递增区间是(x)。得,工J k(i,o)和(k)时,)，0 ；由 f ( x)。得,1 k1,)和(。,)，f(x)得单调递增区间是(1,0),1,)单调递减区间是(0,1 k). k单调递减区间是单调递减区间是f(x)的单调递增区间是(1,);1 k时，f(x)的单调递增区间是 (1,0)和(f(x)的定义域为(0,)，1 k八 (.0).单调递减区间是(0,12a(l a) x2 2(1 a) x 1Y 2a(l a)x 2(1 a)Y(x>0)令 g(x) 2a(l a) x2 2(1 a) x 1,则 f' ( x)与 g(

17、x)同号(1)当 a1时,g (x)l,f'( x)1-0, f(x) In x在定义域(0,)上为增函数X(2)当 a4(18a(l a) 12 a2 16a4 4(3a l)(a 1)所以由于2a(11时,g(x)开口向上，图象在X轴上方，所以g(X)f(x)a)0 ,则f(x)在(0,)上单调递增1一或a 13，此时令f (x) 0 ,解得XI2a(l，X2a)2a(l a)1 g(x)开口向上且。xiX2，因此可进一步分类讨论如下:i)当 a 1 时，2a(l a)g (x)开口向下,X20 xix 0 , f(x) 01 a则 f(x)在(0,XIf(x) 0XIpa l)(a 1)q 八 7)上单调递增,2a(l a)在(1 a (3a)(a 1),)上单调递减 2a(l a)1ii)当 0 a 时，f ( x) 00 x