湖南大学第五章采样

1、第五章 采样 基本题 考虑正弦信号 若用频率采样，那么离散时间信号就等于 假定采样频率固定在。1假设并定义T=1/8192。创建向量n=0:8192，使得t=n*T包含了区间内8192个时间样本。创建向量x，它包含在t的时间样本上的样本。2用stem对展示前50个样本，用plot对采样时间展示的前50个样本。 为了计算带限重建信号的连续时间傅立叶变换的样本，今用下列函数function X,w=ctffts(x,T)N=length(x);X=fftshift(fft(x,N)*(2*pi/N);w=linspace(-1,1-1/N,N)/(2*T);这个函数用fft计算重建信号的傅立叶变换

2、。文件ctffts.m应该装在相应的MATLABPATH中。3用X,w=ctffts(x,T)计算重建信号的连续时间傅立叶变换。画出X对w的幅值图。X在合理的频率值上是非零吗？假定当X接近于零时，相位等于零，X的相位正确吗？中等题4对正弦频率和重作13。X的幅值对于所预计的频率还是非零吗？X的相位正确吗？t=linspace(0,1,8192);w=2*pi*2000;y=;T=1/8192;x=sin(w*t);for n=1:50 y(n)=x(n);endX,w=ctffts(x,T);subplot(211)plot(w,X);axis(-2500 2500 0 1.5);subplo

3、t(212)xn=angle(X);plot(xn);5用sound(x,1/T)将4中创建的每个采样信号放出来。你听到的音调随频率的提高而提高吗？注意，和plot一样，sound函数也有内插的作用。有提高6现在对正弦频率，和重作1和3。也用sound将每个采样信号放出来。你所听到的音调高度随每次频率的增加而提高吗？如果不是，你能解释这个现象吗？深入题 现在考虑信号 由于这个信号当通过一个扬声器放出来时，其声音听起来像鸟叫的声音，所以常称它为鸟声信号，这是由于这个信号的瞬时频率随时间而增加的缘故。一个正弦信号的瞬时频率是它的相位的导数，即sin(.)的宗量的导数。对于这个鸟声信号，其瞬时频率是

4、 在下面习题中，假设。7设和，将该鸟声信号在区间内的样本存入时间向量x中。w=2*pi*30000;r=2000;T=1/8192;n=0:8192;t=T*n;x=sin(w*t+1/2*r*t.2)sound(x,1/T);plot(t,x);当t等于0.548的时候，即瞬时频率等于抽样频率的一半时，鸟声的强度最大。8用sound放出在x中的鸟声信号。你能解释刚才听到的吗？9确定鸟声信号有最大强度的近似时间样本。已知瞬时频率的线性方程和你对混叠的理解，请解释怎样本就能预计到这个时间样本。§5.2 由样本重建信号目的 这个练习讨论由样本重建原连续时间信号。相关知识 这个练习包含信号

5、从它的样本的重建，这里T是采样周期，是任意整数。正如在练习5.1中所讨论的。如果的带宽小于，那么就能用低通过滤的冲激串采样完全恢复 由重建所用的低通滤波器是 它是一个截止频率为的理想低通滤波器。这个滤波器的单位冲激响应 然后带限重建由下式给出 这个信号是否是的一个“好”的重建取决于的带宽。正如在练习5.1所指出的，如果的带宽是大于，那么这个重建信号一般不等于。 如果的带宽超过，仍然有可能从它的样本恢复，如果还有关于的样本的另外一些信息的话。譬如，若已知是分段线性的，那么就可以用一个线性内插器重建。样本的线性内插器由与下面单位冲激响应卷积给出： 连续时间重建信号等效于用直线将这些样本连起来。然而

6、，就如同在采样率低于奈奎斯特率时，带限内插在不能很好的恢复一个信号一样，如果原信号不是分段线性的，线性内插器不能产生一个很好的重建。下面的练习将说明，任何内插滤波器的性能都取决于原信号的特征。 在下面的练习中，既用带限内插，又用线性内插从采样时刻得到的样本来重建下列信号： 基本题1用解析法证明，在采样时刻和都等于样本值。这样的内插器称为严格内插器，因为它们保留了原始信号在采样时刻的真正值。这个带限内插和线性内插滤波器时因果的吗？2和带限吗？若是，带宽是多少？syms t;x1t=sym('cos(8*pi*t/5)');ht=sym('heaviside(t+2)-he

7、aviside(t-2)')x2=sym('1-abs(t)/2');x2t=ht.*x2;subplot(1,4,1);ezplot(x1t);grid on; subplot(1,4,2);ezplot(x2t);grid on; F1=fourier(x1t);subplot(1,4,3);ezplot(F1,-100,100);grid on; F2=fourier(x2t);subplot(1,4,4);ezplot(F2,-10,10);grid on;根据频谱图形可以看出x1t是带限的，其大小是8*pi/5*2,x2t不是带限的 3创建一个向量ts，它包含

8、在内的采样间隔。将对应于ts的和的样本存入向量xs1和xs2，用stem画出xs1和xs2对ts的图。T=1/2;n=-4:4;ts=n*T;x1t=cos(8*pi*ts/5);x2t=(1-abs(ts)/2).*(heaviside(ts+2)-heaviside(ts-2);xs1=x1t;xs2=x2t;figure;subplot(1,2,1);stem(ts,xs1);grid on;title('xs1µÄͼÐÎ');Xlabel('x1n');subplot(1,2,2);stem(

9、ts,xs2);grid on;title('xs2µÄͼÐÎ');Xlabel('x2n'); 为了从这个样本重建和，要注意到这些重建信号在MATLAB中仅仅能够一个有限的样本数上被计算出。因此，要计算这些内插信号仅在区间上，将含在xs1和xs2中的每个样本之间计算3个样本。因此这个内插信号的采样间隔就是。另一个问题是的无限长持续时间问题。下面将用有限长内插器来代替； 用这个内插滤波器内插和的样本所得出的信号称作和。相类似地，用线性内插器内插和的样本所得出的信号称作和。4假设Ti=1/8并创建一个内

10、插时刻ti=-2:Ti:2向量。将在内插时刻和的值存入向量hb1和hlin中。用plot画出这两个单位冲激响应对ti的图。在采样时刻ts上这两个单位冲激响应的值是什么？每个单位冲激响应的峰值都应该在处。Ts=1/8;ws=4*pi;n1=-16:16;t1=n1*Ts;hb1f=sinc(2.*t1).*(heaviside(t1+2)-heaviside(t1-2);x1t1=cos(8*pi*t1/5);x2t1=(1-abs(t1)/2).*(heaviside(t1+2)-heaviside(t1-2);y1b1=conv(hb1f,x1t1);y2b1=conv(hb1f,x2t1)

11、;hlin=(1-abs(t1)/T).*(heaviside(t1+T)-heaviside(t1-T);y1lin=conv(hlin,x1t1);y2lin=conv(hlin,x2t1);中等题 因为和都仅对于为非零，所以在区间上的这些内插信号就仅是在区间的样本的函数。下面的练习将用conv（离散卷积）函数从在xs1和xs2中的样本，在ti的内插时刻上重建这些信号。然而，为了考虑这些内插滤波器的非因果性，并且要保持住与在xs1和xs2中样本的关系，还应做以下练习。5计算在ti时刻点上的内插信号要求作许多hlin或（hb1）移位形式的叠加，每个都用适当的样本值加权。这个求和式等效于一个卷

12、积，它能用函数conv来实现。现考虑样本的线性内插。第一步是要使在xs2中的样本时刻对应于在hlin中的样本的时刻。这可以用创建如下向量来完成>> N=4*(length(xs2)-1)+1;>> xe2=zeros(1,N);>> xe2(1:4:N)=xs2;在xe2中每个元素的时间由te=-4:Ti:4给出。对于在te中的每一个时刻等于在ts中的一个样本时间，xe2就包含了在xs2中的相应值；否则，xe2是零。用stem画出xe2对te的图，并将它与xs2图比较。N=4*(length(xs2)-1)+1;xe2=zeros(1,N);xe2(1:4:N)=xs2;te=-4:1/4:4;figure;stem(te,xe2,'fill','-');grid on;6利用conv将xe2与hlin作卷积，conv输出的一个子集含有在时刻ti上的线性内插。记住，存在hlin中的线性的内插器对应于一个非因果滤波器，而conv则认为滤波器是因果的。参照8.1节有关conv如何能用来实现非因果滤波器的说明，提取对应于输出的所要求部分，并将它存入向量ylin中。用plot画出