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文档简介

1、3.第 4 讲导数与函数的最值分层演练亠直击高考分层演练亠直击高考; ;基础达橇基础达橇尸尸一、选择题x1.函数y= ex在0 , 2上的最大值是( )e2B.i D.2 0 , 2,令y 0,得 0Wx1,令y x1,xx所以函数y=r在0 , 1上单调递增,在(1 , 2上单调递减,所以y=x在0 , 2上的最大值 ee1是y|x=1= -,故选 A.Inx2. (2018 安徽模拟)已知f(x)=,则()XA.f(2)f(e)f(3)B.f(3)f(e)f(2)C.f(3)f(2)f(e)D.f(e)f(3)f(2)解析:选 D.f(x)的定义域是(0 ,+),1 _ lnxf,(x)=

2、-2,令f /(x) = 0,得x= e.X7所以当x (0 , e)时,f(x)0,f(x)单调递增,当x(e,+)时,f(x)f(3)f(2).故选 D.3.已知函数f(x) =x3+ 3x2_ 9x+ 1,若f(x)在区间k, 2上的最大值为 28,则实数k的取值范围为( )A. 3,+s)B.(3,+s)C. (s,3)D. (s,32解析:选 D.由题意知f(x) = 3x+ 6x 9,令f(x) = 0,解得x= 1 或x= 3,所以f(x) ,f(x)随x的变化情况如下表:x(s, 3)3(3,1)1(1,+s)f(X)+0一0+f(x)极大值极小值又f( 3) = 28,f(1

3、) = 4,f(2) = 3,f(x)在区间k, 2上的最大值为 28,所以k 0,令f(x) 0,得x 1 ;令f(x)v0,1得 Ovxv1,所以f(x)在x= 1 处取得极小值也是最小值,且f(1) = 2 In 15.已知f(x)是奇函数,当x(0 , 2)时,f(x) = Inxax a ,当x ( 2, 0)时,f(x) 的 最 小 值 为 1, 则a的 值 为()A.141C.2解析:选 D.因为f(x)是奇1时,f(x) =一a,令f(x) = 0,得xD. 1旦古函数,所以f(x)在(0 , 2)上的最大值为一 1,当10 0,a1 1x=孑又咛所以x (0 , 2)1得 x

4、-,所a以f(x)在 0,a上单调递增;令=fJ.=lnf(x)在, 2 j 上单调递减.所以1(x);,所以a XkL11=1,所以 ln = 0,所以a= 1.故选 D.aay= lnx上,则|PQ的最小值为()B.21aaP在曲线y= ex上,Q在直线222、2当x (0 ,2) ,f(X)max=6.A.D. 2x关于直线y=x对称,设F(x, ex),贝 UP到直线y=xC.解析:选 B.因为y=ex与y=lnexx几 7的距离d=;,令f(x) = exf(x) = 0 时,x= 0,f(x)0 时,x0,f(x)0 时,x 1 时,y 0 ;当x 1 时,y 0,由f(x)=1a

5、x 1ax=厂=0,得x=a当x10,a j时,f(x)V0,f(x)单调递减;当x,f(x) 0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1时取得a1a最小值 f - = 1 lna11当0V e 时,由ae In e = 3,得a答案:e210.已知常数 0,f(x) =alnx+ 2x.当f(x)的最小值不小于一a时,则实数a的最 小值为.a=4,舍去.ea+2x解析:因为f(x) =x, z.所以当a0,x (0,+s)时,f(x)0,即f(x)在x (0,+s)上单调递增,没有最小值;a当a0 得,x2,所以f(x)在 i |,+m上单调递增;a由f(x)0 得,0 x 2,所以f(x)

6、在$, 2 上单调递减.(aaa所以当aa,即卩aln( a) In 2 0.根据题意得f( 2j=alna2+2X因为a0,所以 ln( a) ln 2 0,解得一 2a0) , e 为自然对数的底数.(1)若过点A(2 ,f(2)的切线斜率为 2,求实数a的值;6当x0 时,求证f(x) a ;x1e)上 ea eax0 恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)由题意得g(x)g(1) = e 1,x1 要使0)0,即a1 2 0,解得x1,x xg(x)0,解得 0 xa1-卩g所以g(x)的最小值为g=0,(3)由题意可知x1eaeax,化简得x 10,即h(x)在(1 , 所以h(x)

7、 e 1.故实数a的取值范围为e 1,1x 1 + 0,xe)上单调递增,12. (2018 贵阳检测)已知函数f(x) = (x 1)ex+ 1,x 0 ,(1) 证明:f(x) 0;ex 1(2) 若a- 0,即f(x)在0 , 1上单调递增,所以f(x) f(0) = 0,即结论成立.人ex 1 ,(x 1) ex+ 1令g(x)=1x,则g(x)= z.0,x (0,1),所以,当x (0 , 1)时,只需be 1.x 1 +7八Ae i要使-a成立,只需 exax 10 在x (0 , 1)恒成立,令h(x) = exax 1.Xx (0 , 1),则h(x) = exa,由x (0

8、 , 1),得 ex (1 , e),1当awl时,h(x)0,此时x (0 , 1),有h(x)h(0) = 0 成立,所以ae 时,h(x)0,此时x (0 , 1),有h(x)h(0) = 0,不符合题意,舍去;3当 1ae 时,令h(x) = 0,得x= Ina,可得当x (0 , lna)时,h(x)0 ,即x (0 ,Ina)时,h(x)e 1,所以ba的最小值为 e 2.能力提升能力提升_ 21.已知f(x) =ax(a R ,g(x) = 2lnx.(1) 讨论函数F(x) =f(x) g(x)的单调性;(2) 若方程f(x) =g(x)在区间 2,e上有两个不相等的解,求a的

9、取值范围.2解:(1)F(x) =ax 2lnx,其定义域为(0 ,+),所以0(e)v 0( .2).所以0(x)min=0(e),所以F(x) = 2ax-=22 2 (ax 1)(x0).当a 0 时,ax2 1 0,得1x_a,由ax2 1v0,10vxv -,1故当a 0 时,F(x)在区间当故当awo时,awo时,F(x)v0(x 0)恒成立.F(x)在(0,+)上单调递减.(2)原式等价于方程a=空异在区间2 , e上有两个不等解.x2lnx2x(1 2lnx)令0(x) =2,由0(x) =4易知,0(x)在(材 2,材 e)上为增函数,xx在(.e, e)上为减函数,贝U 0

10、(x)max= 0( .e)12ln 2J 而0(e)=g,0( .2)=-由0(e) 0( .2)= J罟4 e2ln2ln e4 ln 2eln 81 ln 22e7-v 0,ln 22+m上单调递增,在区间8如图可知0(x) =a有两个不相等的解时,需9即f(x) =g(x)在2, e上有两个不相等的解时a的取值范围为ln 21丁,e).2.已知f(x) =xlnx.(1)求函数f(x)在t,t+ 2(t0)上的最小值;1 2证明:对一切x(0,+s),都有 Inxr成立.e ex解:(1)由f(x) =xlnx,x0,得f (x) = lnx+ 1,1e令f(x) = 0,得x=:1 时,f(x)0,f(x)单调递减; e当xe11当 0tt+ 2, 即卩 00,f(x)单调递增.f(x)min= f L =当二Wtt+ 2,即t二时,f(x)在t,t+ 2上单调递增,f(x)min=f(t) =tint.所以f(X)min=c11-,0tge(x(0,+s).

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