二次函数与圆、相似形地综合

1、实用文档文案大全二次函数的综合应用一、典例精析考点一：二次函数与圆93.（2011 邵阳）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点 A（ 4，0），点 C（0, 3），点 B 是 x 轴上一点（位于点 A 的右侧），以 AB 为直径的圆恰好经过 点 C.（1）求/ ACB 的度数；（2） 已知抛物线 y= ax1 2+ bx+ 3 经过 A、B 两点，求抛物线的解析式;（3）线段 BC 上是否存在点 D，使 BOD 为等腰三角形若存在，则求出所有若不存在，请说明理由.解：（1）T以 AB 为直径的圆恰好经过.点 C2OC = AO *OB9AOOC = 341求此抛物线的解析式；2以 OA

2、 的中点 M 为圆心，OM 长为半径作O(2)/ AOC ABC 9- A(4, 0)，点 C(0, 3) ,32=9OB0B=44二B(4,0)实用文档文案大全43DG:3=1:5 OG=DG=-55在（1）中的抛物线上是否存在这样的点请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）解析式为：y-Hx2-83 4*99作OM 的切线 I，且 I 与 x 轴的夹角为 30,若存在,（注意：本题中的结果可保留根号）12y x3(3)OD=OB , D 在 OB 的中垂线上，过13OH OB D(2,3)22把 A、B、C 三点坐标代入得x 312D 作 DH 丄 OB,垂足是 H则 H

3、是 OB 中点。DH=-OC2 BD=BO过 D 作 DG 丄 OB,垂足是G OG:OB=CD:CBDG:OC=1:52. （2010 昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过(0, 0)、A(4, 0)、B (3, -)3三占- 八、 、- OG:4=1:54 3D(5,5)P,过点 P实用文档文案大全实用文档文案大全(2)存在抛物线y =/3x2-H3X的顶点坐标是(2,-99，作抛物线和OM (如图)，设满足条件的切线 I 与 x 轴交于点 B，与OM 相切于点 C连接 MC，过 C 作 CD 丄 x 轴于 DMC = OM = 2,/ CBM = 30, CM 丄 BC/ BCM = 9

4、0，/ BMC = 60, BM = 2CM = 4 ,二 B (-2, 0)在 Rt CDM 中，/ DCM = / CDM - / CMD = 30 DM = 1, CD =.CM2-DM2= .3C (1, .3)P1c=2设切线 I 的解析式为：y二kx+ b(k? 0)，点 B、C 在上，可得:k b *3-2k b =0 切线 BC 的解析式为：y x3点P为抛物线与切线的交点由_I 73 2廳y = xL 33解得:I1x1 2V3 r1点 P 的坐标为：R(,2 23),P2(6,28 3抛物线y x2x的对称轴是直线 x =299此抛物线、OM 都与直线 x=2成轴对称图形于

5、是作切线 I 关于直线 x=2的对称直线 I(如图)得到 B、C 关于直线 x=2 的对称点 C1I满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线 x=2 的对称点:9、38.3F3( ,),F4(-2,)即为所求的点.2 23这样的点P共有4个:Rf)，P2(6号)，哺于)，竽12分实用文档.4文案大全3.(2011桂林)已知二次函数y=_丄x2 3x的图象如图.42(1)求它的对称轴与X轴交点 D 的坐标；(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与X轴，y轴的交点分别为 A、B、C 三点， 若/ACB=90，求此时抛物线的解析式；13b解：(1 )由yx2 x得x3 .1 分

6、422aD (3,0) .2 分13(2)方法一：如图 1,设平移后的抛物线的解析式为. 3 分4213则 C(0,k)OC=k令y =0即 一一x2 x k=042得为=3. 4k 9X2= 3 - 4k 9 .4 分 A(3-、4k 9,0), B(3,4k 9,0)AB2=( 一4k 93-3,4k 9)16k 36.5 分AC2BC2二k2(3-.4k 9)2k2(3. 4k 9)2= 2k28k 36.6 分/ AC2BC2二AB2123抛物线的解析式为y- x亠3x亠442即：2k28k 36 =16k 36得k(3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为 M， 以 AB 为直径， D

7、为圆心作OD，试判断直线 CM 与OD 的 位置关系，并说明理由.实用文档文案大全方法y匚23x42顶点坐标实用文档.4文案大全f 9设抛物线向上平移h个单位,则得到Com顶点坐标M 3,-129平移后的抛物线：y =一X 3 j亠-h.44当y=0时，_（x_3 ） +_+h =0,得% =3_j4h+944 A（3 _、4h 9,0）B（3、4h 9,0）/ ACB=90AOCCOB2- OC=OA OB=.4h 9 -3.4h 93得h!= 4,h = 0舍去平移后的抛物-x34（3）方法如图 2,由抛物线的解析式-x 4可得2A（-2 ，0），B（8，0）,C（4,过 C、M 作直线，

8、则MH -3DM2二浮）24连结CD，过0），M（3）M 作 MH 垂直 y 轴于 H,62516CM2讪2CH22（号-4）222516在 RtACOD 中，CD=柑42=5=AD.点C在OD上/ DM10 分62516222225CD2CM2=521641611 分实用文档文案大全作直线 CM,过 D 作 DE 丄 CM 于 E,过 M 作 MH 垂直 y 轴于 H,则MH =3,DM二254由勾股2 2 2- DM二CM CD CDM 是直角三角形， CD 丄 CM直线 CM 与OD 相切 . 12 分方法二：如图 3,由抛物线的解析式可得25A（-2，0），B（8，0），C（ 4,0）

9、，（3書）实用文档文案大全定理得 CM = 4/ DM / OC/MCH=/EMD RtACMHsRtADME . 10 分得DE=5. 11 分OD 的半径为 5直线 CM 与OD 相切 .12 分考点二：二次函数与相似形4、(09安顺)如图，已知抛物线与x交于 A( 1, 0)、E(3, 0)两点，与y轴交于点 B(0 , 3)。求抛物线的解析式；设抛物线顶点为 D，求四边形 AEDB 的面积； AOB 与厶 DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。5、( 09 年遂宁)如图，二次函数的图象经过点D(0 , 7. 3)，且顶点 C 的横坐标为 4,该图象在 x 轴上

10、截9得的线段 AB 的长为 6.求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点P,使 PA+PD 最小，求出点 P 的坐标；在抛物线上是否存在点 Q 使厶 QAB 与 ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由._DMDMH CM由(2)知AB =10实用文档3、已知抛物线的顶点为A(2, 1)，且经过原点 0,与 x 轴的另一交点为 B。(1) 求抛物线的解析式；(2) 若点 C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以 0、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标；(3)连接 OA、AB，如图，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点P，使得OBP

11、与厶OAB 相似？若存在,求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。即即y y = =-/ /十十 T = =CxCx 2)2)2 2+ 1,000,-(5 分分) )图图1強分強分) )由一十由一十( (工工2 尸尸+ + 1 4IS jr j = 01Xi = 4TF0)TQB = 4*3D 点的横坐标为点的横坐标为 6,A 拋物线的解析式为拋物线的解析式为 yi yA图得得 当当( (m + i =-3,4Z.D1)-( (8 分分) )(3)如图乙由抛物线的对称性可知；如图乙由抛物线的对称性可知；AOAO = = ABAB= ZABO.若厶BOPBOPAAOBAAOB相似相似. .必须有

12、必须有 ZTOB = ZBOA =ZBPO.ZBPO. rilBB1!11! KB I 1*| ,P 12 zr *设设OP交拋物线的对称轴于点交拋物线的对称轴于点* * 显然显然化直线化直线 OP 的解析式为的解析式为CO 分分) )I*II图x*实用文档实用文档文案大全二、能力提升1、(08 昆明)如图，在直角坐标系中，以点M (3, 0)为圆心，以 6 为半径的圆分别交 x 轴的正半轴于点A,交 x 轴的负半轴交于点 B，交 y 轴的正半轴于点 C ,过点 C 的直线交 x 轴的负半轴于点 D( 9, 0)(1)求 A、C 两点的坐标；求证直线 CD 是OM 的切线2(3)若抛物线y =

13、x bx c经过 M、A 两点，求此抛物线的解析式；(4)连接人心人心，若(3 )中抛物线的对称轴分别与直线CD 交于点 E,与 AC 交于点 F。如果点 P 是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得SPAM:SCEF=J3：3，若 存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。(注意：本题中的结果均保留根号)22.(09 长沙)如图，二次函数y二ax bx c(a=0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C.连 结AC、BC,A、C两点的坐标分别为A(-3,0)、C(0,3)，且当x =-4和x=2时二次函数的函数值y相等.(1) 求实数a,b, c的值；(2)若点M、N同时从B点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到 达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连结MN，将BMN沿MN翻折，B点恰好 落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；(3)在(2)的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B,N,Q为项点的三角形与实用文档