6 地图投影的变形

1、二、地图投影的变形二、地图投影的变形（一）投影变形的性质（一）投影变形的性质 由于球面是一个不可直接展成平面的曲面，因此无由于球面是一个不可直接展成平面的曲面，因此无论采用什么投影方法，投影后经纬网的形状与球面上论采用什么投影方法，投影后经纬网的形状与球面上的经纬网形状不完全相似。这表明地图上的经纬网发的经纬网形状不完全相似。这表明地图上的经纬网发生了变形。因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地生了变形。因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物也必然发生了变形。为了正确使用地图，必须面事物也必然发生了变形。为了正确使用地图，必须了解投影后产生的变形，了解投影后产生的变形，所以投影变形问题是地图

2、投所以投影变形问题是地图投影的重要组成部分。研究各种投影变形的大小和分布影的重要组成部分。研究各种投影变形的大小和分布规律，具有重大的实际应用价值。规律，具有重大的实际应用价值。（二）变形椭圆 为更好地说明地图投影的变形特征，特引为更好地说明地图投影的变形特征，特引 入变形椭圆的概念。入变形椭圆的概念。 变形椭圆变形椭圆取地面上一个微分圆（微分圆取地面上一个微分圆（微分圆的面积要足够小，小到可以忽视地球曲面的影的面积要足够小，小到可以忽视地球曲面的影响，即可将它作为平面看待），将这样一个微响，即可将它作为平面看待），将这样一个微分圆投影后变为椭圆，通过研究其在投影平面分圆投影后变为椭圆，通过研

3、究其在投影平面上的变化，作为地图投影变形的几何解释。上的变化，作为地图投影变形的几何解释。 设设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度（为（为1），），M(x,y)是微小圆周上一点，圆心曲线方程为是微小圆周上一点，圆心曲线方程为x2+y2=1 o为为o的投影，以主方向作为坐标轴，的投影，以主方向作为坐标轴，M（x,y）是）是M（x,y）的投影，令主方向长度比为的投影，令主方向长度比为a和和b，则，则: x/x= a, y/y= b则则:x =x/a, y =y/b(x,y)为圆上一点，将其代如圆的方程，得为圆上一点，将其代如圆的方程，

4、得(x/a)2+(y/b)2=1 这是一个椭圆这是一个椭圆方程，这表明该微方程，这表明该微小圆投影后为长半小圆投影后为长半径为径为a短半径为短半径为b的椭圆，这种椭圆的椭圆，这种椭圆可以用来表示投影可以用来表示投影后的变形，故叫做后的变形，故叫做变形椭圆变形椭圆。MM（三）投影变形的相关概念（三）投影变形的相关概念 1)长度比和长度变形 设地球球面上有一微小线段ds,投影到平面上为ds,如图所示。 ds ds 平面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。用公式表示为：=ds/ds 长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化，还随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之比

5、。 通常研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比，通常研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比，而只研究一些特定方向的长度比，即而只研究一些特定方向的长度比，即研究最大长度比（研究最大长度比（a a）和最小长度比（和最小长度比（b b）, ,经线长度比（经线长度比（m m）和纬线长度比（）和纬线长度比（n n）。投影后经纬线成直交者，经纬线长度比就是最大和最小长投影后经纬线成直交者，经纬线长度比就是最大和最小长度比。投影后经纬线不直交，其夹角为度比。投影后经纬线不直交，其夹角为, ,则经纬线长度比则经纬线长度比 m m、n n和最大、最小长度比和最大、最小长度比a a、b b之间具有如下关系：

6、之间具有如下关系： m m2 2+n+n2 2=a=a2 2+b+b2 2mnsin=abmnsin=ab 用长度比可以说明长度变形。所谓用长度比可以说明长度变形。所谓长度变形就是长度长度变形就是长度比（比（ ）与）与1 1之差，用之差，用v v表示长度变形则：表示长度变形则：v v =-1=-1 由此可知，长度变形有正负之分，长度变形为正，表由此可知，长度变形有正负之分，长度变形为正，表示投影后长度增加；长度变形为负表示投影后长度缩短；示投影后长度增加；长度变形为负表示投影后长度缩短；长度变形为零，则长度无变形。长度变形为零，则长度无变形。2)主方向 由于投影要产生变形，所以球面上两条相互垂

7、直的微小线段投影后一般不一定正交，例如设o是球面上一点，过o作两条垂线ac和 bd，投影后为ac和bd。即地球面上角aob和角boc为直角，投影后分别为钝角aob和锐角boc。abcdaoobcd设想ac、bd二垂线相对位置保持不变，并绕o点顺时针旋转，当旋转90度时，直角aob转到原来boc的位置，这时投影由原来的钝角转变成锐角；同样的，直角boc转到了cob的位置，它的投影由原来的锐角变为钝角。由此可见，一个直角在不同的位置下的投影有着不同的的大小，可以由锐角变为钝角，或者相反。那么在变那么在变化的过程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二化的过程中，必然有一特殊位置，直角投影后

8、仍保持直交，此二直交直线方向，称之为直交直线方向，称之为。abcdaoobcd 在研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，来说明变形的性质和数量说明变形的性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度比a和b，而长短半径方向之间，长度比，为ba;椭圆面积与小圆面积之比，可以说明面积变形;椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两方向线夹角之差为角度变形。 3)3)面积比与面积变形面积比与面积变形 投影平面上的微小面积与球面上相应微小面积之比，称为面积比。以投影面上变形椭圆的面积dF=ab,相应球面上微小圆的面积d

9、F=12为例，以P表示面积比，则:P=dF/dF=ab/12=ab 上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬线方向就是主方向时：线方向就是主方向时：P=mn 若经纬线方向不是主方向时，则面积比若经纬线方向不是主方向时，则面积比:P=mnsin(为投影后经纬线夹角为投影后经纬线夹角)面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积变形就面积变形就是面积比与是面积比与1之差之差，以，以Vp表示。表示。Vp=p-1 面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形

10、为正，表示投影后面积增加；面积积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。变形为负，表示投影后面积缩小。4)角度变形 投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线夹角之差，称为角度变形。过一点可以做许多方向线，每两条方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成的角度产生的变形一般也不一样。 公式验证: 见教材。5)等变形线 在各种投影图上，都存在着误差或变形。并且各不同在各种投影图上，都存在着误差或变形。并且各不同点的变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了解绘制点的变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了

11、解绘制区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。布特征。等变形线就是变形值相等的各点的连线，等变形线就是变形值相等的各点的连线，它是根它是根据计算的各种变形的数值（如据计算的各种变形的数值（如p,wp,w）绘于经纬线网格内的，）绘于经纬线网格内的，如面积等变形线。如面积等变形线。 等变形线在不同的投影等变形线在不同的投影图上，具有不同的形状，图上，具有不同的形状，在方位投影中，因投影中在方位投影中，因投影中心点无变形，从投影中心心点无变形，从投影中心向外变形逐渐增大，等变向外变形逐渐增大，等变形线成同心圆状分布。形线成同心圆状分

12、布。 等变形线通常是用点虚等变形线通常是用点虚线来表示的。线来表示的。 地图投影的方法地图投影的方法 1.几何投影（透视投影） 假想地球是一个透明体，光源位于球心，然后把球面上的经纬网投影到平面上，就得到一张球面经纬网投影。所不同的是，地图投影面除了平面之外，还有可展成平面的圆柱面和圆锥面；光源除了位于球心之外，还可以在球面、球外，或无穷远处等。象象这样利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法叫做几何这样利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法叫做几何投影或者几何透视法。投影或者几何透视法。这是人们最早用来解决地球球面和地图平面这一对矛盾的一种方法。当视点（光源）位于地球球心时，即视点

13、距投影面距离为R时，称为中心射方位投影或球心投影。当视点或光源位于地球表面时，即视点到投影面距离为2R时，称为平射方位投影或球面投影。当视点或光源位于无限远时，投影线（光线）成为平行线，称为正射投影。2.2.解析法解析法 随着科学生产的发展，几何透视法远远不能满足编制各种类型地图的需要，这样推动了地图投影的发展，出现了解析法。所谓解析法就是不借助于几何投影光源（而仅仅借助于几何投影的方式），按照某些条件用数学分析法确定球面与平面之间点与点之间一一对应的函数关系。 X=f1(、) Y=f2(、)函数的f1f2具体形式，是由给定的投影条件确定的。有了这种对应关系式，就可把球面上的经纬网交点表示到平

14、面上了。三、地图投影的分类 地图投影的种类很多，由于分类的标志不地图投影的种类很多，由于分类的标志不同，分类的方法也不同。同，分类的方法也不同。 （一）按地图投影的构成方法分类（一）按地图投影的构成方法分类 分为分为几何投影几何投影和和非几何投影非几何投影 （二）按投影变形性质分类（二）按投影变形性质分类 地球球面投影到平面时，产生的变形有长地球球面投影到平面时，产生的变形有长度、角度和面积三种，根据变形特征可分为：度、角度和面积三种，根据变形特征可分为：等角投影等角投影、等积投影等积投影和和任意投影任意投影三种。三种。（一）按地图投影的构成方法分类（一）按地图投影的构成方法分类 1.几何投影

15、 几何投影是把地球球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面而得到的，根据几何面的形状，可进一步分为如下几类： 方位投影 以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。圆柱投影 以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。 圆锥投影圆锥投影 以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。面展为平面而成。2.非几何投影 不借助于任何几何面，根据一定的条件

16、用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中，一般按经纬网形状又可分为伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影和多圆锥投影等。（二）按投影变形性质分类 （1）等角投影（正形投影） 角度变形为0，地球面上的微小圆经过投影后仍为相似的微小圆，其形状保持不变，只有长度和面积变形。等角投影的条件是：w=0sin(w/2)=(ab)/（a+b)=0a=b，m=n 等角投影在同一点任何方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是不同的。 多用于编制航海图、洋流图、风向图等地形图。 等积投影的条件是： Vp=p p=1 因为 p=ab所以a=1/b或b=1/a 由于这类投影可以保持面积没有变形，故有利

17、于在图上进行面积对比。一般用于绘制对面积精度要求较高的自然地图和经济地图。（2）等积投影 投影后图形保持面积大小相等，没有面积误差。也就是球面上的不同地点微小圆投影后为面积相等的各个椭圆，但椭圆的形状不一样。因此有角度和长度变形。（3）任意投影 任意投影是既不等角也不等积的投影。这种投影的特点是面积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影。 在任意投影中，有一种特殊的投影，叫做等距投影等距投影，其条件是，m=1。即误差椭圆上的一个半径和球面上相应微小圆半径相等。 等角投影等角投影 等积投影等积投影 等距投影等距投影 任意投影任意投影 如图表示各种变形性质不同的地图投影中变形椭圆如图表示各种变形性

18、质不同的地图投影中变形椭圆的形状。通过比较可以看出：的形状。通过比较可以看出： 等积投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等等积投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等积特性。积特性。 任意投影不能保持等积、等角特性。任意投影不能保持等积、等角特性。 等积投影的形状变化比较大，等角投影的面积变形等积投影的形状变化比较大，等角投影的面积变形比较大。比较大。 五、地图投影的选择五、地图投影的选择（一）（一） 地图投影的选择依据地图投影的选择依据地图投影的选择是否科学，地图投影的选择是否科学，衡量的标准衡量的标准首先首先是经纬线形状和变形性质能否满足地图内容和用途是经纬线形状和变形性质能否满足地图内

19、容和用途的要求；的要求；其次其次是投影的变形小而分布均匀，等变形是投影的变形小而分布均匀，等变形线的形状与制图区域的轮廓形状接近；线的形状与制图区域的轮廓形状接近；再则再则就是经就是经纬网形状不复杂，便于识别和投影的计算、变换与纬网形状不复杂，便于识别和投影的计算、变换与绘制。绘制。 1. 制图区域的地理位置、形状和范围制图区域的地理位置、形状和范围 2. 制图比例尺制图比例尺 3. 地图的内容地图的内容 4. 出版方式出版方式 无论是编绘地图还是使用地图，对地图投影的选择无论是编绘地图还是使用地图，对地图投影的选择是非常重要的。这里所讲的地图投影选择，主要是指中小是非常重要的。这里所讲的地图

20、投影选择，主要是指中小比例尺地图，不包括国家基本比例尺地图。在选择地图投比例尺地图，不包括国家基本比例尺地图。在选择地图投影时，受到许多地图因素的影响，这就需要正确处理好主影时，受到许多地图因素的影响，这就需要正确处理好主要矛盾和次要矛盾的关系，一般的讲，在选择投影时，需要矛盾和次要矛盾的关系，一般的讲，在选择投影时，需要考虑如下几个条件：要考虑如下几个条件： 1. 1. 制图区域的地理位置、形状和范围制图区域的地理位置、形状和范围 制图区域的位置、形状、大小都直接影响地图投影的选制图区域的位置、形状、大小都直接影响地图投影的选择，任何一幅地图都希望变形减小到最小程度，这就要求择，任何一幅地图

21、都希望变形减小到最小程度，这就要求投影的等变形线基本符合制图区域的轮廓，以保证制图中投影的等变形线基本符合制图区域的轮廓，以保证制图中心地区和靠近中心的地区变形较小。例如制图区域是圆形心地区和靠近中心的地区变形较小。例如制图区域是圆形或两极地区和东、西半球图多采用方位投影；南北延伸的或两极地区和东、西半球图多采用方位投影；南北延伸的国家，如智利，易采用横轴圆柱投影或多圆锥投影；东西国家，如智利，易采用横轴圆柱投影或多圆锥投影；东西延伸且位于中纬度地区的国家，如中国，采用正轴圆锥投延伸且位于中纬度地区的国家，如中国，采用正轴圆锥投影。赤道附近的东西延伸国家易采用正轴圆柱投影。影。赤道附近的东西延伸国家易采用正轴圆柱投影。 2.制图比例尺 不同比例尺地图对精度的要求不同，导致投影选择也不同比例尺地图对精度的要求不同，导致投影选择也不相同。不相同。3.地图的内容 地图内容不同对地图投影要求也不一样。例如经济图地图内容不同对地图投影要求也不一样。例如经济图一般多采用等积投影，因为等积投影能进行地面要素面一般多采用等积投影，因为等积投影能进行地面要素面积的正确对比，从而有利于掌握经济要素的分布情况。积的正确对比，从而有利于掌握经济要素的分布情况。如分布图、人口图、地质图、土壤图等多采用等积投影。如分布图、人口图、地质图