构造齐次方程——解决圆锥曲线的一类问题

1、构造齐次方程解决一类问题 一 准备知识   定理：若直线与二次曲线交于P，Q两点，则P，Q与原点O连线的方程是   证明：设点P的坐标为（）,则：又直线OP上任一点的坐标可设为，其中，当时，有             =()=0, 故直线上任一点的坐标（）都适合方程，从而直线OP上任一点都在方程所表示的曲线上。同理直线OQ上任一点都在方程所表示的曲线上。又设直线OP，OQ的方程分别是，则由上证明知方程的左边必含有因式，因为方程

2、的左边为关于的齐二次式，根据多项式因式分解是唯一的，所以方程必与两方程同解。综上知：P，Q与原点O的连线方程可以表示为。注意：本定理给出了直线与二次曲线相交时，两交点与原点连线的直线方程的构造法。若将方程的左边展开整理后得到关于的齐二次方程，其中A=，B=，C=，则可以得到以下两个推论。推论1：若方程（C）表示过原点且不重合的两条直线，则这两条直线的夹角满足。证明：因为方程（C）表示过原点且不重合的两条直线，所以，则其可以化为，又，所以该方程有两个不相等的实数根，这两个根就是这两条直线的斜率，则，依两直线的夹角公式得：。注意：本推论给出了直线与圆锥曲线相交时，相交弦对原点张角大小的计算方法。推

3、论2：方程（C）表示过原点且不重合的两条直线，若这两条直线互相垂直，则。证明：由推论1知：当这两条直线互相垂直时，的值不存在，而=0，即，所以。注意：本推论给出了直线与圆锥曲线相交时，相交弦对原点张直角问题的解决方法。二 例题例1（97年上海高考题）抛物线方程为，直线与轴的交点在抛物线的准线的右边。（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q，R，求关于的函数的表达式；（3）在（2）的条件下，若抛物线的焦点F到直线的距离不大于，求的取值范围。解：（1）由消去整理得：，则，因为直线与轴的交点为，所以，即，所以0，故直线与抛物线总有两个交点。（2）由得代入得，整理得。依推论

4、2得，所以，即。（3）。例2：（04年全国卷）给定抛物线C：，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A，B两点。（1）设的斜率为1，求与夹角的大小；（2）设，若，求在轴的截距的变化范围。解：抛物线的焦点为F（1，0）设直线的方程为即代入得，整理得。由推论1得（取负值），所以，即与所成角的大小为。（2）。例3（02年北京卷改编）设G，M分别为不等边的重心与外心，且。（1）求C点的轨迹E的方程；（2）是否存在直线，使过点（0，1），并与E相交于P，Q两点，且满足=0。若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由？解：（1）。（2）假设存在直线，其方程为符合题设要求。的方程即代入得整理得。由=0及推论2得，解得。故存在直线：符合题设要求。例4（05年山东卷）已知动圆过定点，且于定直线相切，其中。（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）设A，B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线OA，OB的倾斜角分别为，当变化且为定值（）时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。解：（1）。（2）设直线AB的方程为即代入得整理得：，因为，所以。则=，。所以&#