由小学生解决一组图形等式推理题引发的思考

1、由小学生解决一组图形等式推理题引发的思考 天长小学 张 麟一、问题提出的背景。在小学阶段学习“简易方程”前的各册思考题中, 编排了一类含有图形符合如、口等图形等式的思考题, 这类题目不仅以形代数, 孕含着代数思想方法, 为今后学习代数知识作好准备, 而且思考性强, 可用不同的思考方法分析探解, 是培养学生思维能力和开发学生智能的好素材。笔者通过一组图形等式为载体，让三、四、五年级的同学来解决，试图从解决问题的过程中了解学生的不同的思维策略，以及每个年级学生的代数思考能力的差异。希望能对平时的教学中有所帮助。二、测试的问题、对象及过程1、测试的问题。 根据图形之间的关系，填（ ）里的数，并尽可能

2、详细地写出思考过程。 （1）3×5×15×（ ）× （2）2×3×15×（ ）×（3）6×1803×2× （ ）（4）×3×26×（ ）×思考过程： 思考过程：思考过程： 思考过程：如果你已经完成的题目，请选择你认为合适的选项。1、你认为这样类型的题目难吗？ （ ）A、很难 B、有点难 C、一般 D、容易 E、很容易2、你认为这些题目中最简单的是（ ），最难的是（ ）。A、第（1）题 B、第（2）题 C、第（3）题 D、第（4）题3、你对这样类型

3、的题目感兴趣吗？ （ ）A、很感兴趣 B、比较感兴趣 C、一般 D、不感兴趣 E、很没有意思2、测试的对象。 本次测试随机选择了三、四、五年级的各二个班作为测试对象。年龄分别是10岁、11岁、12岁，人数分别是63人、71人、82人。三年级学生虽然没有系统学习过代数方面的知识，但在平时教材的思考题和能力训练中已经对图形推算类题目有所接触，有了一定的解决此类问题的能力。四年级学生刚刚系统学习了图形等式推算的实验材料，大部分学生已基本掌握了此类题目的解题方法。五年级学生已经学习了简易方程，具备了一定的代数思维能力。3、测试和访谈的过程。2008年5月28日中午阅读课时间，在学生不知情的情况下由班主

4、任协助组织六个班同时进行测试。在试测前没有给学生任何的提示也没有读题，直接让学生独立地解答并在20分钟后统一收卷。学生在解题过程中没有任何讨论与交流，整个测试过程基本反映了学生独立地在自然情景下解答这一组图形推算问题的水平。测试后在对学生的解题情况进行初步整理在整理的基础上选择了个别学生在下午进行访谈。四、测试结果1、三年级题目通过率与四、五年级有较大差异，四、五年级的通过率差异不明显。 具体各题通过率见下表：三年级（63人）：题目序号1234做对人数50505539正确率79.4%79.4%87.3%61.9%四年级（71人）：题目序号1234做对人数69686862正确率97.2%95.8

5、%95.8%87.3%五年级（82人）：题目序号1234做对人数82807878正确率100%97.6%95.1%95.1% 由于三年级学生没有系统地学习过相关代数的知识，而且在思维能力和数学经验的积累上明显比四、五年级要弱，表现在通过率上与四、五年级有明显差异。但三年级的通过率基本也都能达到70%以上，可见我们的教材在平时对这方面的渗透是有效的，学生是有能力通过平时的积累来解决这类问题的。如果按照知识储备和心智成熟方面看五年级学生是明显优于四年级学生的，但从通过率来看并没有明显差异，甚至个别题目四年级通过率比五年级高。从这里可以看出，四年级进行的图形等式推算实验材料的学习是非常有效的，通过一

6、个阶段的学习可以使其代数思维能力与学习过简易方程的五年级学生相当，从另一个方面也可以看出，进行这样的实验材料的学习是非常有必要的，学生也是有能力可以接受的。 2、题目的难易度取决于未知图形的个数。 观察上面的表格可以得知，综合三个年级来看，本组题目中的第4小题的通过率为82.9%,而其他13小题的通过率分别是:93.1%，91.7%，93.1%。明显第4小题的通过率是最低的。原因就是这题出现了三个未知的图形，而其他题目只出现了两个，很显然未知图形的增加也相应增加了题目的难度，中间过程的增多导致思考相对复杂，通过率就明显下降。这在对题目难易程度的调查中也得到了印证，三年级有41.3%、四年级有8

7、8.7%、五年级有81.7%都认为第4题是所有题目中难度最大的。非常有意思的是：三年级觉得本题最难的比率反而最小，可见对于题目的分析和辨别能力会随着年级的增高而不断加强。3、三、四、五年级学生解决本组题目在策略选择上有明显不同通过分析试卷发现，三年级的学生在解决本组题目时，比较常用的策略是：用具体的数字代入，而不是考虑图形之间的关系。下面就是一个同学解题的记录：在整理中还发现，思维强的孩子能够直接根据两个图形的关系来假设具体数字，如第1题能很快设出=5，=3。而思维能力弱的孩子，往往从1开始假设，一个个往上试直到成功为止。所以也有相当一部分孩子在写思考过程的时候写：凑出来的。在事后的访谈中也得

8、到了学生的回答：只要用数字一个一个试进去，成功了就可以了。而三年级的同学认为最简单的题目跟其他年级的学生有很大不同，他们有44.4%认为第三题最简单，而四、五年级的认为这题最简单都只有18.3%。其中的原因就是第3小题有具体的数据作为支撑，三年级学生就认为比较简单，说明三年级学生还没有很强的脱离数据来思考图形之间关系的能力。四五年级的孩子一般能够利用两个图形之间已知的关系来进行解题，思考方法比较直接。如下面这个同学的解题过程是比较普遍的：四年级和五年级的孩子的解题过程相比，五年级同学的策略更为多样性，原因在于学生已经学习了等式性质、简易方程和分数应用题等相关知识。以下以第一题为例，几种五年级学

9、生的解题方式：（1） 直接用等式的性质来解题。 （2）转化成带有字母的等式（方程）再用等式的性质解题。 （3）用分数和比的思路来解题。（思维含量最高）4、题目的有趣性和难度辨别与年级高低有密切关系。学生对于题目难度的辨别年级的差异比较明显。见下面的统计表：三年级（63人）：很难有点难一般容易很容易人数百分率人数百分率人数百分率人数百分率人数百分率34.7%1219%1219%1422.2%2234.9% 四年级（71人）：很难有点难一般容易很容易人数百分率人数百分率人数百分率人数百分率人数百分率57%912.7%2231%1622.5%1926.8% 五年级（82人）：很难有点难一般容易很容易

10、人数百分率人数百分率人数百分率人数百分率人数百分率00%33.7%1012.2%2530.5%4453.7%通过数据我们不难发现，题目的难易程度的判断越到高年级越客观，而四年级认为很容易的比三年级明显要少，并不是表明三年级学生比四年级学生解决问题的能力强。而只是说明四年级学生对于题目难度的判断更为客观，也就说明通过图形等式推算的学习，四年级学生对这类题目的了解更加深刻。而三年级学生有些是凭感觉来判断的，甚至出现选很容易而一道都未答对的个例。学生对于题目是否有趣，由于受到题目难度的制约，越到高年级就越觉得没有挑战性，有趣性就不强，说明学生们还是非常喜欢有挑战性的题目。三年级（63人）：很感兴趣比

11、较感兴趣一般不感兴趣很没有意思人数百分率人数百分率人数百分率人数百分率人数百分率3454%1523.8%1117.5%23.2%11.6%四年级（71人）：很感兴趣比较感兴趣一般不感兴趣很没有意思人数百分率人数百分率人数百分率人数百分率人数百分率2738%2332.4%1419.7%45.6%34.2% 五年级（82人）：很感兴趣比较感兴趣一般不感兴趣很没有意思人数百分率人数百分率人数百分率人数百分率人数百分率1214.6%2631.7%3542.7%33.7%67.3%五、对平时教学的启示。1、在低年级时要重视落实含有图形的等式推算的分析和讲解含有图形的等式推算在教材的各个年级都会出现相应的

12、思考题。特别在低年级时，教师一定要引起足够的重视。要认真的进行讲解，特别是对于题目中蕴涵的代数思考方法要进行充分挖掘，要让学生学会方法，了解解题策略。因为在低年级时渗透代数思考方法主要就是依靠这类题目，如果这样的题目学生能够学会学好，那么到高年级时学生的代数思维自然就会有比较好的发展。2、学习图形等式推算对学习方程有很大帮助如果从知识储备和心智成熟上来说，五年级学生应该比四年级有优势。五年级的孩子已经学习过了方程，应该说有了一定的代数思维水平。但从这一次的测试可以看出，四年级的孩子基本能达到五年级的水平。说明当四年级学生系统地完成了图形等式推算实验材料的学习后，他们的代数思维与五年级的孩子并没有太大的差异。从这一点来看，学习图形等式推算可以增强孩子的代数思维能力，当然对后续学习方程可能会有很大的裨益。3、鼓励解决问题策略的多样性。从这次测试中可以看到，简单的一组题目学生们可以用很多种方法来解决，而且每一种方法和策略都有它存在的价值。所以在平时的教学中，对于此类问题教师一定要引导学生打开思维，不要用一种方法来框