专题16,三角恒等变换、三角函数应用（知识精讲）（解析版）

1、本文格式为word版，下载可任意编辑专题16,三角恒等变换、三角函数应用（知识精讲）（解析版） 专题十六 三角恒等变换、三角函数的应用 学问精讲 一 一 学问结构图 内 容 考点 关注点 三角恒等变换、 三角函数的应用 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值、化简 角的范围 三角函数图象变换 左右平移 由图象求函数的解析式 五个关键点 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题 公式运用及三角函数的图象与性质 二 二. 学法指导 1解含非特别角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特别角转化为特别角的和或差，正用公式直接求值 (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式

2、的结构形式，然后逆用公式求值 2. 给值求值问题的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要留意观看已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以依据需要敏捷地进行拆角或凑角.常见角的变换有： ()； 2 2； 2()()； 2()(). 3已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，依据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 4.帮助角公式及其运用 (1)公式形式：公式 asin bcos a 2 b 2 si

3、n()(或 asin bcos a 2 b 2 cos()将形如 asin bcos (a，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式. (2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看详细条件而定，一般要求变形后角 的系数为正，这样更有利于讨论函数的性质. 5.公式 t () 的结构特征和符号规律： (1)结构特征：公式 t () 的右侧为分式形式，其中分子为 tan 与 tan 的和或差，分母为 1 与 tan tan 的差或和 (2)符号规律：分子同，分母反 6利用公式 t ( ) 求角的步骤： (1)计算待求角的正切值 (2)缩小待求角的范围，特殊留意隐含的信息 (3)依据角的范

4、围及三角函数值确定角 7.公式 t () 的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要留意常值代换. 如tan 4 1，tan6 33，tan 3 3等. 要特殊留意tan èæøö4 1tan 1tan ，tan èæøö4 1tan 1tan . 8.证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观看恒等式两端的结构形式，处理原则是从简单到简洁，高次降低，复角化单角，假如两端都比较简单，就将两端都化简，即采纳"两头凑'的思想. (2)证明恒等式的一般步骤： 先观看，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；

5、本着"复角化单角'"异名化同名'"变换式子结构'"变量集中'等原则，设法消退差异，达到证明的目的. 9.化简问题中的"三变' (1)变角：三角变换时通常先查找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消退角之间的差异，合理选择联系它们的公式 (2)变名：观看三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切 (3)变式：观看式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等 10.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成 y

6、asin xbcos xk 的形式，借助帮助角公式化为 yasin(x)k(或 yacos(x)k)的形式，将 x 看作一个整体讨论函数的性质. 11.应用三角函数解实际问题的方法及留意事项 (1)方法：解答此类问题，关键是合理引入帮助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关学问求解. (2)留意：在求解过程中，要留意三点：充分借助平面几何性质，查找数量关系.留意实际问题中变量的范围.重视三角函数有界性的影响. 12.由 ysin x 的图象，通过变换可得到函数 yasin(x)(a0，0)的图象，其变化途径有两条： (1)ysin x相位变换ysin(x)周

7、期变换ysin(x) 振幅变换yasin(x) (2)ysin x周期变换ysin x相位变换ysin ëéûù èæøöx sin(x)振幅变换yasin(x) 13.确定函数 yasin(x)的解析式的关键是 的确定，常用方法有： (1)代入法：把图象上的一个已知点代入 此时 a， 已知)或代入图象与 x 轴的交点求解 此时要留意交点在上升区间上还是在下降区间上 . (2)五点法：确定 值时，往往以查找"五点法'中的第一个零点 èæøö ，0 作为突破口

8、."五点'的 x 的值详细如下：,"第一点' 即图象上升时与 x 轴的交点 为 x0；,"其次点' 即图象的"峰点' 为 x 2 ；,"第三点'即图象下降时与 x 轴的交点 为 x；,"第四点' 即图象的"谷点' 为 x 32；,"第五点'为 x2. 14.正弦余弦型函数奇偶性的推断方法 正弦型函数 yasin(x)和余弦型函数 yacos(x)不肯定具备奇偶性对于函数 yasin(x)，当 k(kz)时为奇函数，当 k 2 (kz)时为偶函数；对于函

9、数 yacos(x)，当 k(kz)时为偶函数，当 k 2 (kz)时为奇函数 15与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间 (2)确定函数 yasin(x)(a0，0)单调区间的方法：采纳"换元'法整体代换，将 x 看作一个整体，可令"zx'，即通过求 yasin z 的单调区间而求出函数的单调区间若 0，则可利用诱导公式先将 x 的系数转变为正数，再求单调区间 16.解三角函数应用问题的基本步骤 三 三. 学问点贯穿 学问点 1 给角求值问题 公式：cos()cos_cos_sin_sin_ cos()

10、cos_cos_sin_sin_ sin()sin_cos_cos_sin_ sin()sin_cos_cos_sin_ sin 22sin_cos_ cos 2cos 2 sin 2 tan 22tan 1tan 2 例 1.(1)cos 1312的值为( ) a.6 24 b.6 24 c.2 64 d6 24 (2)求值：cos 75cos 15sin 75sin 195； (1)【答案】d 【解析】cos 1312cos èæøö12cos12 cos èæøö4 6cos 4 cos6 sin4 sin6

11、 22322212 6 24. (2)【解析】cos 75cos 15sin 75sin 195cos 75cos 15sin 75sin(18015) cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 60 12 . (3)cos 70sin 50cos 200sin 40的值为( ) a32 b 12 c.12 d.32 (4)若 是其次象限角且 sin 513 ，则 cos(60)_. (5)求值：(tan 10 3) cos 10sin 50. (3)【答案】d 【解析】(1)cos 200cos(18020)cos 20sin 70，sin 40cos 50，

12、 原式cos 70sin 50(sin 70)cos 50sin(5070)sin 12032. （4）【答案】 125 326 【解析】 是其次象限角且 sin 513 ，cos 1sin 2 1213 ， cos(60) 12 cos 32sin 12 èæøö 121332 513 125 326. (5)【解析】 原式(tan 10tan 60) cos 10sin 50 èæøösin 10cos 10 sin 60cos 60cos 10sin 50 sin(50)cos 10cos 60cos 10s

13、in 502. （ （6 ）cos 7 cos37cos 57的值为( ) a. 14 b14 c.18 d18 (7)求下列各式的值： cos 4 15sin 4 15； 1tan2 75tan 75 （6）【答案】d 【解析】cos 37cos 47，cos 57cos 27， cos 7 cos37cos 57cos 7 cos27cos 478sin 7 cos7 cos27cos 478sin 7 4sin 27cos 27cos 478sin 72sin 47cos 478sin 7sin 878sin 7 18 . (7)【解析】cos 4 15sin 4 15(cos 2 15

14、sin 2 15)(cos 2 15sin 2 15)cos 2 15sin 2 15cos 3032. 1tan2 75tan 7521tan 2 752tan 75 21tan 1502 3. 学问点二 给值求值、求角问题 公式：cos()cos_cos_sin_sin_ cos()cos_cos_sin_sin_ sin()sin_cos_cos_sin_ sin()sin_cos_cos_sin_ 题 例题 2 ：(1)已知 sin sin 132，cos cos 12 ，则 cos()( ) a32 b 12 c.12 d.32 (2)已知 sin èæø

15、;ö3 1213 ， èæøö6 ，23，求 cos 的值 (1)【答案】d 【解析】由于 sin sin 132， 所以 sin 2 2sin sin sin 2 èæøö1322 ， 由于 cos cos 12 ，所以 cos2 2cos cos cos 2 è æøö122 ， ，两式相加得 12cos()11 3 34 14 所以2cos() 3 所以 cos()32. (2)【解析】 èæøö6 ，23， 3 

16、32;æøö2 ， ， cos èæøö3 1sin 2 èæøö3 1 èæøö12132 513 . èæøö3 3 ， cos cos ëéûùèæøö3 3cos èæøö3 cos3 sin èæøö3 sin3 513 12 1213 3

17、2 12 3526. （3）已知 cos 55，sin()1010，且 ， èæøö0， 2.求：cos(2)的值； 的值 (3)【解析】 由于 ， èæøö0， 2， 所以 èæøö 2 ，2，又 sin()10100， 所以 0 2 ， 所以 sin 1cos 2 2 55， cos() 1sin 2 () 3 1010， cos(2)cos()cos cos()sin sin() 553 1010 2 551010210 . cos cos()cos cos()sin

18、sin() 553 1010 2 55101022， 又由于 èæøö0， 2，所以 4 . （4）已知锐角 ， 满意 cos 2 55，sin() 35 ，求 sin 的值 【解析】 由于 ， 是锐角，即 0 2 ，02 ，所以2 2 ， 由于 sin() 35 0，所以 cos()45 ， 由于 cos 2 55，所以 sin 55， 所以 sin sin()sin cos()cos sin()5545 2 5535 2 55. （ （5 ）已知 cos èæøö 4 35 ，2 32，求 cos è

19、æøö2 4的值； (5)【解析】 2 32， 34 4 74. cos èæøö 40， 32 4 74， sin èæøö 4 1cos 2 èæøö 4 1 èæøö352 45 ， cos 2sin èæøö2 22sin èæøö 4cos èæøö 42èæ

20、øö 4535 2425 ， sin 2cos èæøö2 212cos 2 èæøö 412èæøö352 725 ， cos èæøö2 422cos 222sin 222èæøö 242522 725 31 250. 学问点三 帮助角公式的应用 帮助角公式：asin xbcos x a 2 b 2 sin(x)，其中 èæøötan

21、 ba 题 例题 3 .(1)sin12 3cos12 _. (2)已知 f(x) 3sin xcos x，求函数 f(x)的周期，值域，单调递增区间 (1)【答案】 2 【解析】原式2 èæøö12 sin12 32cos12. 法一：(化正弦)原式2 èæøöcos 3 sin12 sin3 cos12 2 èæøösin12 cos3 cos12 sin32sin èæøö12 32sin èæø&#

22、246; 4 2. 法二：(化余弦)原式2 èæøösin 6 sin12 cos6 cos12 2 èæøöcos 6 cos12 sin6 sin122cos èæøö6 122cos 4 2. (2)【解析】 f(x) 3sin xcos x2 èæøösin x32cos x122 èæøösin xcos 6 cos xsin6 2sin èæøö

23、x 6， t 2 2，值域2,2 由 2 2kx6 2 2k，得递增区间 ëéûù 3 2k，232k ，kz. 学问点四 两角和与差的正切公式的运用 两角和与差的正切公式 tan()tan tan 1tan tan tan()tan tan 1tan tan 题 例题 4 (1)已知 ， 均为锐角，tan 12 ，tan 13 ，则 _. (1)【答案】 4 【解析】tan 12 ，tan 13 ， tan()tan tan 1tan tan 12 131 12 131. ， 均为锐角，(0，)， 4 . (2) 1tan 151tan 15_. (3

24、) 1 3tan 753tan 75_. (2)【答案】 3 【解析】原式tan 45tan 151tan 45tan 15tan(4515)tan 60 3. （3）【答案】1 【解析】原式33tan 75133tan 75tan 30tan 751tan 30tan 75 tan(3075)tan 451. 学问点五 恒等变换与三角函数图象性质的综合 例 5.已知函数 f(x) 3cos èæøö2x 32sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期 (2)求证：当 x ëéûù 4 ，4时，f(x)

25、 12 . 【解析】(1)f(x) 3cos èæøö2x 32sin xcos x32cos 2x 32 sin 2xsin 2x12 sin 2x32cos 2xsin èæøö2x 3，所以 t 22. (2)证明：令 t2x 3 ，由于4 x4 ， 所以 6 2x3 56， 由于 ysin t 在 ëéûù 6 ，2上单调递增，在 ëéûù2 ，56上单调递减， 所以 f(x)sin èæø

26、6; 6 12 ，得证 学问点六 三角函数图象之间的变换 1. 对 ysin(x)，xr 的图象的影响 2(0)对 ysin(x)的图象的影响 3a(a0)对 yasin(x)的图象的影响 例 6.(1)将函数 y 2cos èæøö2x 3的图象向左平移 3 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，则所得图象的解析式为_ (2)将 ysin x 的图象怎样变换可得到函数 y2sin（2x 4 ）1 的图象？ (1)【答案】y 2cos 2x3 【解析】y 2cos èæøö2x 3的图象向左平移 3 个单位长度，

27、 得 y 2cos ëéûù2 èæøöx 3 3 2cos(2x) 2cos 2x， 再向下平移 3 个单位长度得 y 2cos 2x3 的图象 (2)【解析】 法一：(先伸缩法)把 ysin x 的图象上全部点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到y2sin x 的图象；将所得图象上全部点的横坐标缩短到原来的 12 倍，得 y2sin 2x 的图象；将所得图象沿 x 轴向左平移 8 个单位，得 y2sin 2 èæøöx 8的图象； 将所得图象沿 y 轴向上平移 1 个单位，

28、 得 y2sin èæøö2x 41 的图象 法二：(先平移法)将 ysin x 的图象沿 x 轴向左平移 4 个单位，得 ysin èæøöx 4的图象；将所得图象上全部点的横坐标缩短到原来的 12 倍，得 y sin èæøö2x 4的图象；把所得图象上全部点的纵坐标伸长到原来 2 倍，得到 y2sin èæøö2x 4的图象；将所得图象沿 y 轴向上平移 1 个单位，得 y2sin èæøö

29、2x 41 的图象 学问点七 已知函数图象求解析式 例 7.已知函数 f(x)acos(x)b èæøöa0，0，| 2的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析 式为( ) ay2cos èæøöx2 44 by2cos èæøöx2 44 cy4cos èæøöx2 42 dy4cos èæøöx2 42 【答案】a 【解析】由函数 f(x)的最大值和最小值得 ab6，ab2，所以 a2，b4

30、， 函数 f(x)的周期为 ëéûù2 èæøö 244，又 0， 所以 12 ，又由于点 èæøö2 ，6 在函数 f(x)的图象上 所以 62cos èæøö12 2 4，所以 cos èæøö4 1， 所以 4 2k，kz，所以 2k4 ，kz，又|2 所以 4 ，所以 f(x)2cos èæøö12 x44. 学问点八 三角函数图象与性质的综合应用

31、例 8 (1)已知函数 f(x)sin èæøöx 3(0)，若 f èæøö6f èæøö3，且 f(x)在区间 èæøö6 ，3上有最小值，无最大值，则 ( ) a. 23 b.143 c. 263 d. 383 (2)已知函数 f(x)sin(x)(0,0)是 r 上的偶函数，其图象关于点 m èæøö34，0 对称，且在区间 ëéûù0， 2上是单调

32、函数，求 和 的值 (1)【答案】b 【解析】由于 f èæøö6f èæøö3，所以直线 x6 32 4 是函数 f(x)图象的一条对称轴， 又由于 f(x)在区间 èæøö6 ，3上有最小值，无最大值， 所以当 x 4 时，f(x)取得最小值 所以 4 3 2k2 ，kz，解得 8k103，(kz) 又由于 t 2 3 6 6 ，所以 12，又由于 0， 所以 k1，即 8 103 143. (2)【解析】 由 f(x)是偶函数，得 f(x)f(x)，即函数 f(x)的图

33、象关于 y 轴对称， f(x)在 x0 时取得最值，即 sin 1 或1. 依题设 0，解得 2 . 由 f(x)的图象关于点 m 对称，可知 sin èæøö34 20，即 34 2 k，解得 4k3 23 ，kz. 又 f(x)在 ëéûù0， 2上是单调函数，所以 t，即 2 . 2，又 0，k1 时， 23 ；k2 时，2. 故 2 ，2 或23 . 学问点九 三角函数模型的实际应用 例 9.已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(时)的函数，其中 0t24，记 yf(t)，下表是某日各时的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测，yf(