【解析】河北省衡水中学2015届高三上学期第四次联考数学理

1、【解析】河北省衡水中学2015届高三上学期第四次联考数学理考【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识为载体，以基本能力测试为主导，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、复数、导数、函数模型、函数的性质、三角函数，数列，概率，立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份比较好的试卷.一、 选择题（ 本大题共1 2个小题, 每小题5分, 共6 0分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 ）【题文】1设集合 M= x | x 2+3 x+2<0 , 集合 , 则 MN= （ ）A x | x-2 B x | x>-1 C x

2、| x<-1 D x | x -2【知识点】集合及其运算A1【答案】A【解析】集合M=x|x2+3x+20=x|-2x-1，集合N=x|()x4=x|2-x22=x|-x2=x|x-2，MN=x|x-2，【思路点拨】根据题意先求出集合M和集合N，再求MN【题文】2若x（ e1, 1） , a= l n x, b=2 l n x, c= l n 3x, 则 （ ）Aa<b<c Bc<a<b Cb<a<c Db<c<a【知识点】对数与对数函数B7【答案】C【解析】因为a=lnx在（0，+）上单调递增，故当x（e-1，1）时，a（-1，0），于是

3、b-a=2lnx-lnx=lnx0，从而ba又a-c=lnx-ln3x=a（1+a）（1-a）0，从而ac综上所述，bac【思路点拨】根据函数的单调性，求a的范围，用比较法，比较a、b和a、c的大小【题文】3抛物线y=4 x 2 关于直线x-y=0对称的抛物线的准线方程是 （ ）Ay=-1 By=-1Cx=-1 Dx=-1【知识点】抛物线及其几何性质H7【答案】D【解析】抛物线，准线y=-,关于x=y对称的直线x=-为所求。【思路点拨】先求出的准线方程，再根据对称性求出。【题文】4右图是一个几何体的正（ 主） 视图和侧（ 左） 视图, 其俯视图是面积为8的矩形, 则该几何体的表面积是 （ ）A

4、2 0+8 B2 4+8 C8 D16【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】A【解析】此几何体是一个三棱柱，且其高为，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2=2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为，（2+2+2）×4=16+8，表面积为：2×2+16+8=20+8【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可【题文】5若函数同时具有以下两个性质: 是偶函数; 对任意实数x, 都有 。则的解析式可以是 （ ）A =cos x B = C = D =

5、cos 6 x【知识点】函数的奇偶性B4【答案】C【解析】由题意可得，函数f（x）是偶函数，且它的图象关于直线x=对称f（x）=cosx是偶函数，当x=时，函数f（x）=，不是最值，故不满足图象关于直线x= 对称，故排除A函数f（x）=cos（2x+）=-sin2x，是奇函数，不满足条件，故排除B函数f（x）=sin（4x+）=cos4x是偶函数，当x=时，函数f（x）=-4，是最大值，故满足图象关于直线x=对称，故C满足条件函数f（x）=cos6x是偶函数，当x=时，函数f（x）=0，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除D，【思路点拨】先判断三角函数的奇偶性，再考查三角函数的图象的

6、对称性，从而得出结论【题文】6已知命题px0R, e xm x=0, qxR, x 2+m x+10, 若p（q） 为假命题,则实数 m 的取值范围是 （ ）A（-, 0） （ 2, +） B 0, 2CR DØ【知识点】导数的应用B12【答案】B【解析】若p（¬q）为假命题，则p，¬q都为假命题，即p是假命题，q是真命题，由ex-mx=0得m=，设f（x）= ，则f（x）= =，当x1时，f（x）0，此时函数单调递增，当0x1时，f（x）0，此时函数单调递递减，当x0时，f（x）0，此时函数单调递递减，当x=1时，f（x）= 取得极小值f（1）=e，函数f（x）

7、= 的值域为（-，0）e，+），若p是假命题，则0me；若q是真命题，则由x2+mx+10，则=m2-40，解得-2m2，综上，解得0m2【思路点拨】根据复合函数的真假关系，确定命题p，q的真假，利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论【题文】7若实数x、 y满足不等式组 则z=| x |+2 y的最大值是 （ ）A1 0 B1 1 C1 3 D1 4【知识点】简单的线性规划问题E5【答案】D【解析】当x时，2y=-x+z表示的是斜率为-1截距为z的平行直线系，当过点（1,5）时，截距最大，此时z最大，=1+2=11，当x<0时，2y=x+z表示的是斜率为-1截距为z的平行直线系

8、, 当过点（-4,5）时，=4+2=14.【思路点拨】利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【题文】8已知数列an 满足a1=1, 且, 且nN） , 则数列 an 的通项公式为 （ ）A BCan=n+2 Dan=（ n+2）·3 n【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案】B【解析】an=an-1+()n（n2）3nan=3n-1an-1+13nan-3n-1an-1=1a1=1，31a1=33nan是以3为首项，1为公差的等差数列3nan=3+（n-1）×1=n+2,【思路点拨】由题意，整理可得3nan是以3为首项，1为公差的等差数列，由此可得结论【题文】

9、9已知F1、 F2 为双曲线 Cx2-y2=1的左、 右焦点, 点 P 在 C 上, | P F1|=2 | P F2|, 则c o s F1P F2= （ ）A B C D【知识点】双曲线及其几何性质H6【答案】B【解析】设|PF1|=2|PF2|=2a=2，P F1|=2 | P F2|,|PF1|=4，|PF2|=2|F1F2|=2cosF1PF2=【思路点拨】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cosF1PF2的值【题文】10（x2+2） 展开式中x2 项的系数2 5 0, 则实数 m 的值为 （ ）A±5 B5 CD【知识点】二项式定理J3【

10、答案】C【解析】若第一个因式取2，第二个因式中项为，由3r-10=2得r=4，系数为=5，因第二个因式中没有常数项，所以展开式系数为25=250，m=.【思路点拨】利用二项式定理通项公式求出。【题文】11与向量的夹角相等, 且模为1的向量是 （ ）A B或CD 或【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2【答案】B【解析】设与向量的夹角相等, 且模为1的向量为（x，y），则解得或，【思路点拨】要求的向量与一对模相等的向量夹角相等，所以根据夹角相等列出等式，而已知的向量模是相等的，所以只要向量的数量积相等即可再根据模长为1，列出方程，解出坐标【题文】12在平面直角坐标系x O y中, 圆C 的

11、方程为x2+y2-8 x+1 5=0, 若直线y=k x+2上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 半径为1的圆与圆C 有公共点, 则k的最小值是 （ ）AB C D【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4【答案】A【解析】圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需圆C：（x-4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=2，即3k2-4k，-k0k的最小值是【思路点拨】化圆C的方程为（x

12、-4）2+y2=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x-4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可【题文】第卷（非选择题,共9 0分）二、 填空题（ 本大题共4个小题, 每小题5分, 共2 0分, 请把正确的答案填写在各小题的横线上。 ）【题文】13已知底面边长为 , 各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-A B C 的四个点都在同一球面上, 则此球的表面积为 。【知识点】单元综合G12【答案】3【解析】由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球，此正方体的面对角线为，边长为1正方体的体对角线是故外接球的直径是，半径是故其表面积是4××()2=3【思路点拨】底面边长为

13、，各侧面均为直角三角形的正三棱锥可以看作是正方体的一个角，故此正三棱锥的外接求即此正方体的外接球，由此求出正方体的体对角线即可得到球的直径，表面积易求【题文】14某宾馆安排A、 B、 C、 D、 E 五人入住3个房间, 每个房间至少住1人, 且A、 B 不能住同一房间, 则共有 种不同的安排方法（ 用数字作答） 。【知识点】排列、组合J2【答案】114【解析】【思路点拨】根据房间住人数分类求出安排方法。【题文】15若在区间 0, 1 上存在实数x使2x（3 x+a）<1成立, 则a的取值范围是 。【知识点】函数的单调性与最值B3【答案】（-，1）【解析】2x（3x+a）1可化为a2-x-

14、3x，则在区间0，1上存在实数x使2x（3x+a）1成立，等价于a（2-x-3x）max，而2-x-3x在0，1上单调递减，2-x-3x的最大值为20-0=1，a1，故a的取值范围是（-，1）.【思路点拨】2x（3x+a）1可化为a2-x-3x，则在区间0，1上存在实数x使2x（3x+a）1成立，等价于a（2-x-3x）max，利用函数的单调性可求最值【题文】16已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点, 且左、 右焦点分别为F1、 F2, 这两条曲线在第一象限的交点为P, P F1F2 是以P F1 为底边的等腰三角形。若| P F1|=1 0, 椭圆与双曲线的离心率分别为e1、 e2, 则e

15、1·e2 的取值范围为 。【知识点】单元综合H10【答案】【解析】设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2由题意知r1=10，r2=2c，且r1r2，2r2r1，2c10，2c+2c10，14，e2= ；e1= e1e2= = 。【思路点拨】设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e1e2的取值范围是三、 解答题（ 本大题共6个小题, 共7 0分, 解答应写出文字说明、 证明或演算步骤。 ）【题文】17（ 1 2分） 在A B C 中, 角A、 B、

16、 C 所对的边分别为a、 b、 c, 函数 在处取得最大值。（1） 当x（ 0, ） 时, 求函数的值域;（2） 若a=7且 , 求A B C 的面积。【知识点】单元综合C9【答案】（1）(-，1 （2）10【解析】函数f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA=2cosxsinxcosA-2cosxcosxsinA+sinA=sin2xcosA-cos2xsinA=sin（2x-A）又函数f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA（xR）在x=处取得最大值2×-A=2k+，其中kz，即A=-2k，其中kz，（1）A（0，），A=x(0，)，2x-A(-，)-sin(2x-A

17、)1，即函数f（x）的值域为：(-，1（2）由正弦定理得到，则sinB+sinC=sinA，即=，b+c=13由余弦定理得到a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bccosA即49=169-3bc，bc=40故ABC的面积为：S=bcsinA=×40×=10【思路点拨】利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x+A），由于函数在x=处取得最大值令2×-A=2k+，其中kz，解得A的值，（1）由于A为三角形内角，可得A的值，再由x的范围可得函数的值域；（2）由正弦定理求得b+c=13，再由余弦定理求得bc的值，由ABC的面积等于

18、bcsinA，算出即可【题文】18（1 2分） 若 an 是各项均不为零的等差数列, 公差为d, Sn 为其前n 项和, 且满足。数列 bn 满足 为数列 bn 的前n项和。（） 求an 和Tn;（） 是否存在正整数 m、 n（ 1<m<n） , 使得T1、 Tm、 Tn 成等比数列? 若存在, 求出所有m、 n的值; 若不存在, 请说明理由。【知识点】单元综合D5【答案】(1）an=2n-1（）m=2，n=12【解析】(1）an是等差数列，=anS2n-1= ×(2n-1)=（2n-1）an由an2=S2n-1，得an2=（2n-1）an，又an0，an=2n-1=Tn

19、=1-+-+）=（1-）=（2）2m2-4m-10，1-m1+mN且m1m=2，此时n=12当且仅当m=2，n=12时，T1，Tm，Tn，成等比数列。【思路点拨】由等差数列的性质可知，S2n-1=×(2n-1)=（2n-1）an，结合已知an2=S2n-1，可求an，而，结合数列通项的特点，考虑利用裂项相消法求和。由 ，结合mN且m1可求m，n【题文】19（1 2分） 三棱锥P-A B C 中, 底面A B C 为边长为2的正三角形, 平面P B C平面A B C, P B=P C=2, D 为A P 上一点, AD=2 D P, O 为底面三角形中心。（） 求证: B DA C;（

20、） 设 M 为P C 中点, 求二面角 M-B D-O 的余弦值。【知识点】单元综合G12【答案】（1）略（）【解析】（1）PB=PC，且E为BC中点，PEBC，又平面PBC平面ABC，PE平面ABC， 由（）知，DOPE，DO平面PBC，DOAC连接BO，则ACBO，又DOBO=O，AC平面DOB，ACBD （2）由（）（）知，EA，EB，EP两两互相垂直，且E为BC中点，所以分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(3，0，0)，B(0，0)，P(0，0，1)，D(1，0，)，C(0，-，0)，M(0，-，)=(0，-，)，=(-1，-)设平面BDM的法

21、向量为=(x，y，z)，则，令y=1，则=(-，1，3)由（）知AC平面DBO，=(-3，-，0)为平面DBO的法向量，cos，= = ，由图可知，二面角M-BD-O的余弦值为 【思路点拨】（1）通过证明AC平面DOB，利用直线与平面垂直的性质定理证明BDAC；（2）设M为PC中点，以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出A、B、P、C、D、M的坐标，求出向量，设出平面BDM的法向量为 ，利用，求出，利用cos，=求二面角M-BD-O的余弦值【题文】20（ 1 2分） 已知点A（ -4, 4） 、 B（ 4, 4） , 直线AM 与BM 相交于点M, 且直线AM 的斜

22、率与直线BM 的斜率之差为-2, 点 M 的轨迹为曲线C。（ ） 求曲线C 的轨迹方程;（ ） Q 为直线y=-1上的动点, 过 Q 做曲线C 的切线, 切点分别为 D、 E, 求Q D E 的面积S的最小值。【知识点】抛物线及其几何性质H7【答案】（ ）x2=4y (y)（ ）4【解析】（ ）设M（x，y），则kAM=，kBM=直线BM的斜率与直线AM的斜率的差为2-=2x2=4y (y)（2）设Q(m，-1)因为切线斜率存在且不为0，故可设切线的斜率为k，则切线方程为y+1=k(x-m)得由相切得，代入得，即x=2k,从而得到切点的坐标为（2k, ）在关于k的方程中，所以方程有两个不相等的

23、实数根，分别为故,S=,记切点（2k, ）到Q(m,-1)的距离为d则=，故，S=即当m=0，也就是Q（0，-1）时面积的最小值为4.【思路点拨】根据斜率关系求出轨迹方程，再联立根与系数的关系求出面积的最小值。【题文】2 1（1 2分） 已知函数 且恒成立。（） 求x为何值时, 在 3, 7 上取得最大值;（） 设F（x） =a l n（x-1） , 若 是单调递增函数, 求a的取值范围。【知识点】导数的应用B12【答案】（1）ln5（）1，+）【解析】（1）f（4）是f（x）的最小值对f（x）求导，有f'（x）=（），x=4时，f'（x）=0，=0，t=3；f'（x）

24、=在x（3，4）时，f'（x）0，函数f（x）单调减，在x（4，7）时，f'（x）0，函数f（x）单调增求f（x）在3，7的最大值只要去比f（3）和f（7）的大小就可以了f（3）=ln5，f（7）=f（3）f（7），x=3时，f（x）在3，7上取得最大值，为ln5；（2）F（x）=-f（x）=0在（2，+）上恒成立0在（2，+）上恒成立（a-1）x2+5x-4（a+1）0在（2，+）上恒成立下面分情况讨论（a-1）x2+5x-4（a+1）0在（2，+）上恒成立时，a的解的情况当a-10时，显然不可能有（a-1）x2+5x-4（a+1）0在（2，+）上恒成立当a-1=0时（a-1

25、）x2+5x-4（a+1）=5x-80在（2，+）上恒成立当a-10时，又有两种情况：52+16（a-1）（a+1）0；-2且（a-1）×22+5×2-4（a+1）0由得16a2+90，无解；由得a-，a-10，a1综上所述各种情况，当a1时（a-1）x2+5x-4（a+1）0在（2，+）上恒成立所求的a的取值范围为1，+）【思路点拨】（1）令导函数等于0求出x的值，判断函数的单调性，进而可求出最大值（2）对函数f（x）进行求导，然后令导函数大于等于0在R上恒成立即可求出a的范围请考生在第2 22 4三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题记分。【题文】22（1

26、0分） 【选修4-1几何证明选讲】如右图, A B 是O 的直径, A C 是弦, B A C 的平分线AD 交O 于点D, D EA C, 交A C 的延长线于点E, O E 交AD 于点F。（） 求证: D E 是O 的切线;（） 若, 求的值。【知识点】选修4-1 几何证明选讲N1【答案】（I）略（）【解析】（I）连接OD，可得ODA=OAD=DACODAE又AEDE， DEOD而OD为半径，DE是O的切线 （II）过D作DHAB于H，则有DOH=CABcosDOH=cosCAB=设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，AH=7x，由AEDADH，AE= AH=7x， 又由AEFDOF，得AF：DF=AE：OD=，故   【思路点拨】（I）连接OD，根据角平分线定义和等腰三角形性质推行CAD