高考数学一轮复习总教案183 不等式的证明二_第1页
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文档简介

1、18.3不等式的证明(二)典例精析题型一用放缩法、反证法证明不等式 【例1】已知a,bR,且ab1,求证:(a2)2(b2)2.【证明】 方法一:(放缩法)因为ab1,所以左边(a2)2(b2)222(ab)42右边.方法二:(反证法)假设(a2)2(b2)2,则 a2b24(ab)8.由ab1,得b1a,于是有a2(1a)212.所以(a)20,这与(a)20矛盾.故假设不成立,所以(a2)2(b2)2.【点拨】 根据不等式左边是平方和及ab1这个特点,选用重要不等式a2 b22()2来证明比较好,它可以将具备a2b2形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立,结合条件ab1,得到

2、关于a的不等式,最后与数的平方非负的性质矛盾,从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练1】设a0,a1,a2,an1,an满足a0an0,且有a02a1a20,a12a2a30,an22an1an0,求证:a1,a2,an10.【证明】由题设a02a1a20得a2a1a1a0.同理,anan1an1an2a2a1a1a0.假设a1,a2,an1中存在大于0的数,假设ar是a1,a2,an1中第一个出现的正数. 即a10,a20,ar10,ar0,则有arar10,于是有anan1an1an2arar10.并由此得anan1an2ar0.这与题设an0矛盾.由此证

3、得a1,a2,an10成立.题型二用数学归纳法证明不等式【例2】用放缩法、数学归纳法证明:设an,nN*,求证:an.【证明】 方法一:(放缩法),即n.所以12nan13(2n1).所以an·,即an.方法二:(数学归纳法)当n1时,a1,而12,所以原不等式成立.假设nk (k1)时,不等式成立,即ak.则当nk1时,ak1,所以ak1.而(k1),.所以ak1.故当nk1时,不等式也成立.综合知当nN*,都有an.【点拨】 在用放缩法时,常利用基本不等式将某个相乘的的式子进行放缩,而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.

4、【变式训练2】已知数列,Sn为其前n项和,计算得S1,S2,S3,S4,观察上述结果推测出计算Sn的公式且用数学归纳法加以证明.【解析】猜想Sn(nN).证明:当n1时,S1,等式成立.假设当nk(k1)时等式成立,即Sk.则Sk1Sk.即当nk1时,等式也成立.综合得,对任何nN,等式都成立.题型三用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a,且每年增长率为25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b,设an为n年后该地区森林木材存量.(1)求an的表达式;(2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年森林木材量应不少于a,如果ba,那么该地区今后会发生水土流失吗?若

5、会,需要经过几年?(取lg 20.30)【解析】(1)依题意得a1a(1)bab,a2a1b(ab)b()2a(1)b,a3a2b()3a()2(1)b,由此猜测an()na()n1()n21b()na4()n1b(nN).下面用数学归纳法证明:当n1时,a1ab,猜测成立.假设nk(k2)时猜测成立,即ak()ka4()k1b成立.那么当nk1时,ak1akbb()k1a4()k11b,即当nk1时,猜测仍成立.由知,对任意nN,猜测成立.(2)当ba时,若该地区今后发生水土流失,则森林木材存量必须少于a,所以()na4()n1·aa,整理得()n5,两边取对数得nlg lg 5,

6、所以n7.故经过8年该地区就开始水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y(v0).(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内?【解析】(1)依题意,y,当且仅当v,即v40时,上式等号成立,所以ymax11.1(千辆/时).(2)由条件得10,整理得v289v1 6000,即(v25)(v64)0,解得25v64.答:当v40千米/时时,车流量最大,最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.总结提高1.有些不等式,从正面证如果不易说清,可以考虑反证法,凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中,也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.2.放缩法是证明不等式特有的方法,在证明不等式过程中常常要用到它,放缩要有目标,目标在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有:(1)添加或舍去一些项,如,n;(2)将分子或分母放大(或缩

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