高考数学一轮必备考情分析学案34定积分的概念与微积分基本定理

1、3.4定积分的概念与微积分基本定理考情分析本部分主要有两种题型，一是定积分的计算，二是用定积分求平面图形的面积。高考中多以选择、填空的形式考查定积分的概念和计算以及曲边梯形面积的求法。基础知识1、定积分的定义：如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，当时，和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记做：。记：=，分别叫做积分下限和积分上限，区间叫做积分区间。2、定积分几何意义：如果函数在区间上连续且恒有 ，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分分几何意义。3、定积分性质：为常数）4、微积分基本定理一般地，如果函数是区间上的

2、连续函数，并且，那么注意事项1.定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就2. (1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行3.由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算题型一定积分的计算【例1】设f(x)则f(x)dx等于()A. B. C. D. 不存在答案：C解析：本题画图求解，更为清晰，如图，f(x)dxx2dx(2x)

3、dxx3(2xx2)(422).【变式1】若(2x)dx3ln2(a>1)，则a的值是()A. 2B. 3C. 4D. 6答案：A解析：(2x)dx(x2lnx)a2lna(12ln1)a21lna.且(2x)dx3ln2.a21lna3ln2，a2，故选A.题型二利用定积分求面积【例2】如图，已知幂函数yxa的图象过点P(2,4)，则图中阴影部分的面积为()A. B. C. D. 答案：B解析：将(2,4)代入yxa，得a2，所以阴影部分的面积Sx2dx，选B项【变式2】 求曲线y，y2x，yx所围成图形的面积解由得交点A(1,1)；由得交点B(3，1)故所求面积Sdxdx.题型三定积

4、分的应用【例3】已知函数f(x)x3ax2bxc的图象如图，直线y0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为，求f(x)解：由f(0)0得c0，f(x)3x22axb.由f (0)0得b0，f(x)x3ax2x2(xa)，由f(x)dx得a3.f(x)x33x2.【变式3】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A在t1时刻，甲车在乙车前面Bt1时刻后，甲车在乙车后面C在t0时刻，两车的位置相同Dt0时刻后，乙车在甲车前面解析可观察出曲

5、线v甲，直线tt1与t轴围成的面积大于曲线v乙，直线tt1与t轴围成的面积，故选A.答案A巩固提高一、选择题1.曲线yx22x与直线xy0所围成的封闭图形的面积为()A.B. C. D. 答案：D解析：如图，A(1，1)，故所求面积为S(xx22x)dx(x2x3).2.。曲线ysinx(x2)与x轴所围成的封闭区域的面积为()A. 0B. 2C. 2D. 6答案：D解析：先求0，上的面积：|sinxdx|cosx|2.因为三块区域的面积相等，都是2，故总面积为6.3 由曲线yx2，yx3围成的封闭图形面积为 ()A.B.C.D.答案：A解析：由得x0或x1，由图易知封闭图形的面积2(x2x3)dx2，故选A.4.如图，过点A(6,4)作曲线f(x)的切线l；(1)求切线l的方程； (2)求切线l、x轴及曲线f(x)所围成的封闭图形的面积S.