高考数学合情推理与演绎推理

1、推理与证明第一节合情推理与演绎推理1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）证明2、类比推理由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比） 类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个

2、猜想；检验猜想。3、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理；“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情况；结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断题型一 用归纳推理发现规律例1： 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。；.解析：猜想：证明：左边=右边注；注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性”（1）先猜后证是一种常见题型（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）题型二 用类比推理猜想新的

3、命题例2：已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_.解析：原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法，即正四面体的内切球的半径是高注：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；圆锥曲线间的类比等（3）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体），长度对应面积；面积对应体积；点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。（4）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等题型三利用“三段论”进行推理例3 某校对文明班

4、的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为（填入中的某个字母）解析：因都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多注：从分式的性质中寻找S值的变化规律；此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到1.下列说法正确的是 （ ） A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可

5、以作为证明的步骤答案： C2. 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（ ）A使用了归纳推理B使用了类比推理C使用了“三段论”，但大前提错误D使用了“三段论”，但小前提错误答案：C填空题3.已知，考察下列式子：；. 我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为答案：4.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为解析 （见高三复习 步步高）解法的类比（特殊

6、化）易得两个正方体重叠部分的体积为5.已知的三边长为，内切圆半径为（用），则；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积 解析 6.在平面直角坐标系中，直线一般方程为，圆心在的圆的一般方程为；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为_,球心在的球的一般方程为_.答案；7.（1）已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：；（2）已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为_答案：（1）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么

7、这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；（2）；8. 对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，则,若的分解中最小的数是73，则的值为答案：解答题9.（1）已知等差数列，（），求证：仍为等差数列；（2）已知等比数列，（），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明 解析（1），为等差数列为常数，所以仍为等差数列；（2）类比命题：若为等比数列，（），则为等比数列证明：，为常数，为等比数列10将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数，对任意均满足，当且仅当时等号成立。（1）若定义在(0，)上的函数M，试比较与大小.（2）设函数g(x)x2，求证：g(x)M.解析：(1)对于，

8、令得<(2) ,所以g(x)M2、直接证明与间接证明三种证明方法的定义与步骤：1. 综合法 是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。2. 分析法 是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。3. 反证法 假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步

9、骤：(1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止(3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立题型一：用综合法证明数学命题例1 ：对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：对任意的，总有；若，都有成立，则称函数为理想函数(1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数（）是否为理想函数，并予以证明；解析：（1）取可得 又由条件，故 （2）显然在0，1满足条件； 也满足条件若，则 ，即满足条件， 故理想函数 注：紧扣定义，证明函数（）满足三个条件题型二：用分析法证明数学命题例2：已知：，求证：.证明： 要证 ，去分母后需要证：（1a）+4a9a（1a），移

10、项合并同类项，即需要证：96a+10，即要证；（1）而（1）式显然成立， 原不等式成立。题型三：用反证法证明数学命题或判断命题的真假例3 ：已知，证明方程没有负数根解析：假设是的负数根，则且且，解得，这与矛盾，故方程没有负数根注：（1）凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题从正面突破往往比较困难，适宜用反证法。即 “正难则反”；（2）反证法步骤：假设结论不成立推出矛盾假设不成立。选择题1.用反证法证明命题：若整系数方程有有理根，那么中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）.A、假设都是偶数B、假设都不是偶数C、假设中至多有一个偶数D、假设中至多有两个偶数ABCxyPOFE答案；B2若三角形

11、能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（）A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定答案： B3.已知，则使得都成立的取值范围是（ B ）A.（0，） B（0，）C. （0，） D. （0，）提示；x（0，），由得出结论。填空题4若，则=_.答案：5005. 如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点在线段AO上的一点（异于端点），这里均为非零实数，设直线分别与边交于点，某同学已正确求得直线的方程为，请你完成直线的方程： ( )。答案：1234567891011121314156将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为答案：。解答题7. 若且，求证：解析要证，只需证即，因，只需证即，设，则成立，从而成立8.在锐角三角形中,求证:解析为锐角三角形，在上是增函数，同理可得，9. 设为非零向量，且不平行，求证，不平行解析假设，则，不平行，因方程组无解，故假设不成立，即原命题成立10. 已知a、b、c成等差数列且公差，求证：、不可能成等差数列解析 a、b、c成等差数列，假设、成等差数列，则