概率论核心概念及公式

1、概率论与数理统计核心公式第1章随机事件及其概率(1)排 列组合 公式Pmn 二从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。(m n)!Cm m一 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。n!(m n)!加 法和乘 法原理加法原理(两种方法均能完成此事)m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可加种方法完成，第二种方法可加种方 法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事mx n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可加种方法完成，第二个步骤可加 种方 法来完成，则这件事口由mx n种方法来完成。 一些常 见排列重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个) 顺序问题

2、随 机试验 和随机 事件如果一个试验在相同条件卜可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但Z 进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。基 本事 件、样 本空间 和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这组事件，它具做门 性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由 中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字用，B,C,表示事件，它们是 的子集。为必然事件，？为

3、/、可能事件。不可能事件(？)的概率为零，而概率为零的事件/、一定是不可能事件；同理，也 事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。事 件的关 系与运 算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(A发生必有事件B发生)：A B 如果同时有A B, B A,则称事件A匕事件B等价，或称A等于B： A=B A B中至少有一个发生的事件:A B,或者A+R居于A而/、居于B的部分所构成的事件，称朋与B的差，记为A-B,也可表示为 A-AB<者aB,它表示A发生而B不发生的事件。A B同时发生：AB或者AB AB=?则表示A与B不可能同时发生，称事flA与事 件B互不相容

4、或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥 未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A (BUC)=(AU B)UC分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC) (A UB)AC=(AC)J(BC)德摩根率：AB AB，A BAB概 率的公 理化定设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实JP(A),若满足下列三个条 件：1° 0<P(A)< 1,义2 P(Q) =130对于两两互/、相容的事件”有常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件的概率。古 典概型11 , 2n ,12 P( 1) P(

5、 2)P( n) -on设任一事件，它是由1, 2 m组成的，则有P(A)=( 1) ( 2)( m) =P( 1) P( 2)P( m)mA所包含的基本事件数n基本事件总数几 何概型若随机试验的结果为无限/、可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间耳 的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。X 件A,P(A) L，。其中L为几何度量(长度、面积、体积)(10)加法公 式P(A+B尸P(A)+P(B)-P(AB)当 P(ABA0 时,P(A+B)=P(A)+P(B)(11)减法公 式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A时，P(A-B尸P(A)-P(B

6、)当 A=Q时，P(b)=1- P(B)(12)条件概 率定义设A B是两个事件，且P(A)>Q则称J )为事件A发生条件下，事件B发P(A)生的条件概率，记为P(B/A)P(A) 0条件概率是概率的一种，所后概率的性质都适合于条件概率。例如 P(Q/B)=1 P(b/A)=1-P(B/A)(13)乘法公 式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)更一般地，对事件A, A A 若P(AA - A-1)>0,则有0(14)独立性两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是相互独立的。若事件、相互独立，且，则有若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。 必然事件和不可能事件？与

7、任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设AB久三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) P(BC尸P(B)P(C) P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC尸P(A)P(B)P(C)那么A、B C相互独立。对于n个事件类似。(15) 全概公 式设事件满足1。两两互不相容,，2 ,则有0(16)贝叶斯 公式设事件,，及满足1。，两两互不相容，>0, 1, 2, ,2,则P(Bi)P(A/ Bi)P旧/A)n,i=1,2,n。P(Bj)P(A/Bj) j 1此公式即为贝叶斯公式。P(Bi), (, ,),通常叫先验概率。P(Bi/A), (,

8、 ,),通常称为后验概率。 贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律，并作出了 “由果朔因”的推断。(17) 伯努利 概型我们作了次试验，且满足每次试验只启两种可能结果，发生或不发生；次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；每次试验是独立的即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影口 1 的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的前 率，,0第二章随机变量及其分布(1)离散 型随机变 量的分布 律设离散型随机变量的可能取值为X(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=X)的概率为P(X=x)=p<, k=

9、1,2，则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给 出：0显然分布律应满足卜列条件：(1),。(2)连续 型随机变 量的分布 密度设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有卜间4个性质：1°。20(3)离散 与连续型 随机变量 的关系P(X x) P(x X x dx) f (x)dx积分元f (x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用匕在离散型随机变量理论中 所起的作用相类似。(4)分布 函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x) P(X x)称为随机变量X的分布

10、函数，本质上是一个累积函数。P(a X b) F(b) F(a)可以得到X落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-8, x内的概率。分布函数具肩如下性质：1。0 F(x) 1,x；2F(x)是单调/、减的函数，眼1 x2时，有F(xi) F(x2)；3。F( ) xlim F(x)0,F()xlimF(x) 1；4°F(x 0) F(x),即F(x)是右连续的；5°P(X x) F(x)F(x0)。对于离散型随机变量，F(x)Pk ;xk xx对于连续型随机变量，F(x)f(x)dx。八大 分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在

11、n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次 数是随机变量，设为X ,则X可能取值为0,1,2, , n o P(X k) Pn(k) Cnkpkqnk,其中 q 1 p,0 p 1,k 0,1,2, ,n,则称随机变量X服从参数为n , p的二项分布。记为X B(n, p)。 当n 1 时，P(X k) pkq1k, k 0.1,这就是(0-1)分布， 所以(0-1)分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为kP(X k) e ,0, k 0,1,2,k!则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X ()或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布np=X , noo)0超几

12、何分布C； ?cN M k 0,1,2 ,l1-* / XX1 M Ml N Ml7 77Cn ,l min(M ,n)随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n,N,M)。几何分布P(X k) qk 1 p,k 1,2,3,，其中 p>0, q=1-p= 随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量的值只落在a, b内，其密度函数在(a, b上为常数1,即 b a1_awxwbf(x)b a，甘.0其他，则称随机变量在a, b上服从均匀分布，记为XU(a b)。分布函数为0 0,x<a,a < x< b<1,x>b。<

13、;当a&xi<%&b时，X落在区间()内的概率为P(x1 X x2) x2-x1。b a指数分布,0, L其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为J , x<0。记住积分公式： xne xdx n!0正态分布设随机变量的密度函数为1(X2 a)f ( x)一 e其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或高兴 (GausS分布，记为。具启如下性质：1°的图形是关于对称的；-1 ，一，一2 当时，f()国一为最大值；若，则的分布函数为0 0参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为,X,分布函数为1 x -(x)t e 2

14、 dt。V2是不可求积函数，具函数值，已编制成表可供查用。_， 、, _，、L -、1(-x) = 1-(x)且(0)=。X 2如果XN( , 2),则N(0,1)。P(x1 X x2)x 0(6)分位 数下分位表：P(X)=；上分位表：P(X)= 0(7)函数 分布离散型已知X的4XP(X xi) Y g(X)Y/布列为x1, x2, xn,p1, p2, pn,的分布列(yig(x"立/、相等)如下：g(x1), g(x2), g(xn),P(Y y)若由某些gP1,P2, pn,(xi)相等，则应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分

15、布函数F(y) =P(g(X)Wy), 再利用变上下限积分的求导公式求出Y(y)。第三章二维随机变量及其分布(1)联合 分布如果二维随机向量 (X, Y)的所有可能取值为至多可列个有 序对(x,y),则称 为离散型随机量。设=(X, Y)的所有可能取值为(xi, yj)(i,j 1,2,)，且事件 二(,丫上)的概率为口,，称P(X,Y) (Xi,yj) Pj(i, j 1,2,)为二(X, Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有 时也用下面的概率分布表来表示：VIy2yjx1P11P125x2P21P22PjXP1PjN里Pj具切卜回两个性质:(1) Po>0 (i,j=1,

16、2,);Pij 1.对于二维随机向量 (X,Y),如果存在非负函数f(x,y)( xy )，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)|a<x<b,cvyvdW P(X,Y) D f (x, y)dxdy,D则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=(X, Y)的分布密度 或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质： f(x,y) >0;(2) f (x, y)dxdy 1.(2)二维 随机变量 的本质(3)联合 分布函数(X x,Y y) (X x Y y)设(X, Y)为二维随机变量，对于任意实麴,y,二元函数F(x, y) P

17、X x,Y y称为二维随机向量(X, Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件( 1, 2)1 X( 1) x, Y( 2) y的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1) 0 F(x, y) 1;(2) F (x,y)分别对x和y是非减的，即当 x2>x1时，有 F gy) >F(x1,y);当 y2>y1时，有 F(x,y2) >F(x,y 1);(3) F (x,y)分别对x和y是右连续的，即F(x, y) F(x 0, y),F(x,y) F(x, y 0);(4) F()F(

18、,y) F(x, ) 0,F()1.(5)又t于xiX2, yiy2,F(X2, y2) F(X2, yi) F(x1，y) F(x1，y1) 0.(4)离散 型与连续 型的关系P(X x, Y y) P(x X x dx, y Y y dy) f (x, y)dxdy(5)边缘 分布离散型X的边缘分布为P? P(Xxi)Pj(i,j 1,2,).jY的边缘分布为P?jP(Yyj)Pj(i,j 1,2, )o连续型X的边缘分布密度为fX(x)f(x, y)dy;Y的边缘分布密度为fY(y)f(x,y)dx(6)条件 分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为PijP(Y yj |X x

19、)；Pi?在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为PjP(X xi|Y yj), P?j连续型在已知Y=y的条彳下，X的条件分布密度为f (x, y)f(x|y);二； fY(y)在已知X=x的条彳下，Y的条件分布密度为f (x, y)f(y |x)',力fX(x)独立 性一M型F(X,Y)=F(x)F”)离散型PjPi?P?j后零不独立连续型f(x,y)=f G)f <y)直接判断，充要条件：可分离义量正概率密度区间为矩形二维正态分 布221x i2 (x i)(y2 ) y 212(12)11 22f(x,y):e,21 2 寸12=0随机变量的 函数若X,X2，X,Xm+1

20、X相互独立，h,g为连续函数，则： h (X, K,斌 和g (Xm+X)相互独立。特例：若*与丫独立，则：h (X)和g (Y)独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。(8)二维 均匀分布设随机向量区Y)1Sd f (x, y)0,的分布密度函数为(x,y) d其他其中SD为区域D的面积，则称g Y)服从D上的均匀分布，记为X Y)U (D)。图(9)二维 正态分布设随机向量区Y)的分布密度函数为221 x i 2 (x i)(y2) y 212(12)11 22f (x, y)J21 2 V1e,2其中1,2,10,20,1 I 1是5个参数，则称(X, Y)服从一维正态分布

21、,记为(X,Y) -N ( 1,22 )2, 1 ,2 ,八由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布 即XN ( 1，12),YN( 2, 2).但是若XN( 1，12),YN( 2, 2), (X, Y)未必是二维正态分布。(10)函数 分布Z=X+Y根据定义计算：Fz(z) P(Z z) P(X Y z)对于连续型，fz(z) = f (x,z x)dx两个独立的正态分布的和仍木正态分布 (12, 12)。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。222Ci i2Ci2 2iiZ=max,min(Xi,X2, X)若X1,X2Xn相互独立，其分布函数分别

22、为Fx1(x), Fx2 (x)Fxn(x),贝UZ=max,min(XX2,X)的分布函数为：Fmax(x) Fx1(x)?Fx2(x) F%(x)Fmin (x)1 1 Fx1(x)?1 Fx2(x)1 Fxn(x)2分布设n个随机变量X 1, X 2, ,Xn相互独立，且服从标准正态分布， 可以证明它们的平方和n 2WXii 1 的分布酱度为1- 1 unu2 e 2 u 0,f(u) 22 n20,u 0.我们称随机变量WK从自由度为n的2分布，记为M 2(n), 其中n 1n2Xj一x2 e dx.20所谓自由度是指独立正态随机变量的个数匕是随机变量分布 中的一个重要参数。2分布满足

23、可加性：设Yi2(n)则 k 2 ZYi (n1 n2nk).i 1t分布设X, Y是两个相互独立的随机变量，且X-N(0,1),Y 2(n),可以证明函数XTJ4丫 /n的概率密度为n 1n 1r2t22f(t)1(t).nn，n 一2我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。t1 (n) t (n)F分布00X / n1设X 2(njY 2(叫)，且X与Y独立，可以证明F -Y / n2的概率密度函数为n1n2nini n22ni 下 g l ni八f(v)y 1y,y 0f(y)nin2n21220,y 0我们称随机变量F服从第一个自由度为ni,第二个自由度为n2的F分布，

24、记为Ff(n i, n 2).l ，、iFi (ni，n2) L .、F (n2, ni)第四章 随机变量的数字特征(i) 一维 随机 变量 的数 字特 征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分 布律为 P(X Xk)=pk,k=i,2，,n,nE(X)XkPkk i(要求绝对收敛)设X是连续型随机变量，其概 率密度为f(X),E(X) Xf (X)dX(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X) nE(Y)g(Xk)Pkk iY=g(X)E(Y) g(X)f(X)dX、.、.广.力左D(X)=EX-E(X)f,标准差(X) Jd(X),_2D(X)Xk E(X) Pkk2 -D(

25、X) x E(X) f(X)dX矩对于正整数k,称随机变量X 的k次幕的数学期望为X的k 阶原点矩，记为Vk,即,kV k=E(X)=xi Pi ,ik=i,2, .对于正整数k,称随机变量X 与E (X)差的k次幕的数学期 望为X的k阶中心矩，记为 即kk E(X E(X) .=(Xi E(X)kPi ik=i,2,.对于正整数k,称随机变量X 的k次幕的数学期望为X的k 阶原点矩，记为Vk,即v k=E(X)=Xkf(X)dX,k=i,2,.对于正整数k,称随机变量X 与E (X)差的k次幕的数学期 望为X的k阶中心矩，记为 即kk E(X E(X) .=(X E(X)k f(X)dX,k

26、=i,2，.切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E (X)=N ,方差D (X)= J,则对 于任意正数e ,有下列切比雪夫不等式2P(X |)2切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率P(X的一种估计，它在理论上有重要意义。w tt) 乃为性>> 有见布期和差期的质 I方的质 I常分的B方E(C)=CE(CX尸CE(X)nE(X+Y尸E(X)+E(Y) E(Ci Xi)i 1nCiE(Xi) i 1E(XY)=E(X) E(Y),充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(C)=Q E(C)=CD(aX)=c2D(X); E(aX)=aE(X)D(aX+b)=

27、CD(X); E(aX+b)=aE(X)+bD(X)=E(X)-E2(X)D(X± Y)=D(X)+D(Y)充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立。 而E(X+Y尸E(X)+E(Y)无条件成立。维机量数特 二随变的字征期望、.、.广. 力左0-1 分布 B(1,p)Pp(1 p)二项分布B(n, p)npnp(1 p)泊松分布P()几何分布G(p)1P1 p2 p超几何分布H(n,M ,N)nMNnM , M N n1NN N 1均匀分布U (a,b)a b2(b a)212指

28、数分布e()11正态分布N ( , 2)22分布n2nt分布0(n>2) n 2期望nE(X)Xi Pi?i 1 nE(Y)yj p?jj 1E(X) xfX(x)dxE(Y)yfY(y)dy函数的期望EG(X,Y) =G(Xi,yj)pjEG(X,Y) =G(x, y) f (x, y)dxdy_力差_2D(X)Xi E(X) pi?_2D(Y)上Xj E(Y) p?j2 -D(X)x E(X) fx(x)dx2 -D(Y)y E(Y) fY(y)dy协力差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩ii为X与Y的协万差或相关矩，记为xy或cov(X,Y),即XY 11 E(X E(X)

29、(Y E(Y).与记号XY相对应，X与Y的方差D (X与D (Y也可分别记为XX 与 YY 0相关系数对于随机变量X与Y,如果D (X >0, D(Y)>0,则称XYJD(X)JD(Y)为X与Y的相关系数，记作XY (有时可简记为)0| 产1,当|=1时，称X与Y完全相关：P(X aY b) 1人，必正相关，当 1时(a 0)，元全相关上七口"立 口4负相关，当1时(a 0),而当 0时，称X与Y不相关。以卜五个命题是等价的： XY 0 ； cov(X,Y)=0; E(XY尸E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩

30、阵XXXYYXYY混合矩对于随机变量X与Y,如果有E(XkYl)存在，则称之为X与Y 的k+l阶混合原点矩，记为kl ; k+l阶混合中心矩记为：klUkl E(X E(X) (Y E(Y). 协方 差的 性质cov (X, Y)=cov (Y, X); cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); cov(Xi+X, Y)=cov(X i,Y)+cov(X2,Y); cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).7)立不关1独和相若随机变量X与YIM",则XY 0;反之不真。若(X, Y) -N ( 1，2，12,二)，则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章 大数定律

31、和中心极限定理(1)大数定律X切比 雪夫 大数 定律设随机变量X, X,相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D (X) <C(i=1,2,)，则对于任意的正数e ,有1 n 1 n lim P - Xi - E(Xi) n n i 1 n i 11.特殊情形：若X,凡 具有相同的数学期望E (X)二，则上式 成为lim P - Xi nn1.伯努 利大 数定 律设仙是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次 试验中发生的概率，则对于任意的正数e ,有lim P p 1.n n伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与 概率有较大判别的可能性很小，即lim

32、 P n0.这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦 大数 定律设Xi, X ，X,是相互独立同分布的随机变量序列用E (X) 二小，则对于任意的正数e有lim P Xi1.n-(2)中心极限止 理2X N(,)n维林伯定 列一德格理设随机变量X, X 相互独立，服从同一分布，且具有相的数学期望和方差：E(Xk),D(Xk)2 0(k 1,2,)，则(3)二项定理莫一普斯理棣弗拉拉定随机变量n Xk n丫k_1Yn- n的分布函数Fn(x)对任意的实数x,有nXk n_ . ._ k 1lim Fn(x) lim P xnnv n1、2t2e 2 dt.此定理也称为独立同分布的中心极限定理

33、设随机变量Xn为具有参数n, p(0<p<1)的二项分布,实数x,有lim P nXn np np(1 p)1<2t2 x - e 2 dt.则对于任意若当Nk n k CM CN M时,Mp(n,k不变)则N，Cn pk (1 p)nk (N ).超几何分布的极限分布为二项分布(4)泊松定理若当n 时,np0,则k八 kk/、nkCnP(1 p)e(n).k!其中k=0, 1, 2,，n,。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布(1)数理 统计的基 本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全体称 为总体(或母体)。我们总是把总体看成一个具有

34、分布的随机变量 (或随机向量)。个体总体中的每一个单元称为样品(或个体J样本我们把从总体中抽取的部分样/1, X2, , Xn称为样本。样本中所 含的样品数称为样本容量,一般用n表示。在一般情况下，总是把 样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量这样 的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，Xi,X2, ,Xn表小n个随机变量(样本)；在具体的一次抽取之后, Xi, X2 , ,Xn表小n个具体的数值(样本值)我们称之为样本的 两重性。样本曲数和 统计量设Xi,X2, ,Xn为总体的一个样本，称 (Xi,X2, Xn)为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未

35、知参 数，则称(Xi,X2, ,Xn)为一个统计量。常见统计量 及其性质 -i n样本均值X 一 Xi.n i ii nWWtS2 (Xi X)2.n i i i样本标准差S .1 (Xi X)2.n n i i i样本k阶原点矩 i n l Mk -Xk,k i,2,.n i i样本k阶中心矩i nMk 一(XiX)k,k 2,3,.n i i_2E(X), D(X)一,nE(S2)2,E(S*2)2,n nn_一.21、2其中S*一(XiX),为二阶中心矩。n i i(2)正态 总体下的 四大分布正态分布设Xi,X2, ,Xn为来自正态思体N( , 2)的一个样本，则样本函 数def xu

36、= N(0,i)./、' nt分布设Xi,X2,Xn为来自正态总体N( , 2)的一个样本，则样本函数def Xt= t(n 1), s/ v'n其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。2分布设Xi,X2, ,Xn为来自正态总体N( , 2)的一个样本，则样本函 数def(n 1)S22/ 八w-2(n 1),其中2(n 1)表示自由度为n-1的2分布。F分布设X1,X2, ,Xn为来自正态思体N( , 1 )的一个样本，而y1, y2, ,yn为来自正态思体N( , 2)的一个样本，则样本函数def S12 /12F=22F(n1 1,n2 1), S；/ 2其中21n1

37、- 221n2 2S； (Xi x) ,S2(yi y);n11 i 1n21 i 1F(5 1,n2 1)表示第一自由度为R 1,第二自由度为明1的 F分布。(3)正态 总体下分 布的性质X与S2独立。第七章参数估计(1)点 估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数1, 2, , m,则其分布函数可以表 成 F(x; 1, 2, m).它的 k 阶原点矩 Vk E(Xk)(k 1,2,m)中也包含了未知参数1, 2, m ,即Vk Vk( 1, 2, m)。又设X1,X2, ,Xn为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为 1 nXik (k 1,2,m).n i 1这样，我们按照“当参数等于

38、其估同时,总体矩等于相应的样本矩” 的原则建立方程，即有1 n5(1,2, , m) Xi ,n i 11 n 2V2( 1 , 2 , m) xi ,n i 11 n、，/vmvm( 1, 2 , , m)xi .n i 1由上面的m个方程中，解出的m个未知参数(1, 2, , m)即为参数 (1 , 2 , m)的矩估”里。若 为 的矩估计，g(x)为连续函数，则g(?)为g()的矩估计。极大似 然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f(X； 1,2, m),其中1，2，, m为未知参数。又设Xi ,X2 , ,Xn为息体的一个样本，称 nL( 1, 2, m)f(Xi； 1,2

39、, m)i 1为样本的似然函数，简记为Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为PX X P(X； 1 , 2, m),则称nL(X1 , X2 , ,Xn； 1 , 2 , , m)p(Xi； 1 , 2 , , m)i 1为样本的似然函数。若似然函数13？2, ,Xn； 1, 2, , m)在1, 2, , m处取到最大值，则称12m分别为1, 2, m的最大似然估计值，相1 , , m应的统计量称为最大似然估同。ln Ln-0,i 1,2, ,mi 1 i i若 为 的极大似然估计，g(X)为单调函数，则g(。为g()的极 大似然估计。估同的无偏性设(X1,X2, ,Xn)为未知参数

40、的估计量。若£ ()=，则评选标称为的无偏估U里。准E (X) =E (X), E (S2) =D (X)后效性以 11(X1，X,2, ,Xn)和 22(X1, X,2, ,Xn)E木知参数的两个无偏估”里。右D( 1) D( 2)，则称1比2有效。一B性设n是 的一串估计量，如果对于任意的正数，都有lim P(| n |) 0,则称n为的一致估同(或相合估同)若为的无偏估计，且D(?) 0(n)，则为的一致估计。只要总体的E(X川口 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是 相应总体的TH古代。区置信区设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本Xi,X,2 , ,Xn间估计问和置出发，找出两个统计量1 i(Xi,X,2, ,Xn)与信度22 ( X1, X, 2 , , Xn ) ( 12 ) ,使得区间1, 2以1(01)的概率包含这个待估参数，即P 12 1,那么称区间1, 2为 的置信区间，1为该区间的置信度(或置信水平)。单正态 总体的 期望和 方差的 区间估 计设Xi,X,2, ,Xn为总体XN( , 2)的一个样本，在置