概率论与数理统计习题及答案第二章

1、精品文档习题2-21.设A为任一随机事件，且P(A)=p(0p1).定义随机变量1,放生，0, A不发生.写出随机变量X的分布律.解 PX=1=p, PX=0=1 -p.或者13 5 72c4c8c16cX01P1-pp2.已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,.试确定常数c,并计算条件概率且取这四个值的相应概率依次为P X 1 | X0.由离散型随机变量的分布律的性质知,37162c4c8c所求概率为PX1) 1 92PX 0) 1 q2,5 _ ,-,求 PY 1).92.从而3PY 1)4.在三次独立的重复试验中，19 ，一，一,求每次试验成功的概率.27，、2 31 PY 0)

2、1 (-)3 3每次试验成功的概率相同1927已知至少成功一次的概率为解设每次试验成功的概率为 19一 .p,由题意知至少成功一次的概率是,那么一次都没有成功的概率是5.27若X服从参数为.即(1 p)3的泊松分布，-8 ,故27且PX1P=3.1 PX 3,求参数由泊松分布的分布律可知解6.一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只球，以X表示取出的3只球 中的最大号码，写出随机变量 X的分布律.解 从1, 2, 3, 4, 5中随机取3个，以X表示3个数中的最大值，X的可能取值是3X=3表示取出的3个数以3为最大值,PX=3=C21X=4表示取出的3个数以4为最大值,PX

3、=4=3523110X=5表示取出的3个数以5为最大值,PX=5=C3C423一;103, 4, 5,在5个数中取3个共有C5 10种取法.X的分布律是X345133P10105习题2-3(1) X的分布律为X-101p0.150.200.65PX0, PX2, P-2X1.求分布函数F(x),并计算概率0,x 1,解(1) F(x)= 0.15,0.35,1x 0,0 1.(2) PX0= PX=-1=0.15;(3) PX2= PX=-1+PX=0+PX=1=1;(4) P-2x1= PX=- 1+PX =0=0.35.2.设随机变量X的分布函数为F(x) = A+ Barctanx -

4、00 x+ 00.试求：(1)常数A与B; (2) X落在(-1, 1内的概率.解 (1)由于 F(-8) = 0, F(+8) = 1,可知于是(2) P 1A B( 2)0A B(-) 121A -, B2F(x) 一 arctan x, x 2XW1 F(1) F( 1)1111( arctan1) (一 arctan( 1)221111 /、1 ()24 2423.设随机变量X的分布函数为0, x 0,xF(x)= ,0 1,求 PX0-1, P0.3 X0.7, P0X 2.解 PX 1 F( 1) 0,P0.3 X0.7= F (0.7)- F0.3 - P X=0.7=0.2,

5、P0X 2=F(2)-F(0)=1.5.假设随机变量X的绝对值不大于1; PX111 ,PX 1-;在事件84 1 X 1出现的条件下，X在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比.(1)求X的分布函数F(x) PX x; (2)求X取负值的概率p.解(1)由条件可知，当 x 1 时，F(x) 0; 1当 x 1 时，F( 1)-; 8当 x 1 时，F(1)=PX 1=P(S)=1.,1 15所以P 1 X 1 F(1) F( 1) PX 1 1.8 4 8易见，在X的值属于(1,1)的条件下，事件 1 Xx的条件概率为P 1 X x| 1 X 1 kx ( 1),1取x

6、=1得到1=k(1+1),所以k= 2因此P 1a x 1X 1 2于是，对于 1P 1 X x 1,有xP5P1X x, 1P 5x 5X 1X1,有F(x)81.2从而160,x 1,F(x)5x 7161,1 x 1,x 1.（2） X取负值的概率P PX 0F(0)PX0F(0)F(0) F(0 ) F(0 )-16习题2-41.选择题设 f (x)2x,度函数.(A)应选(C ).(2)(A)解2PX(3)0,(B)由概率密度函数的性质0, c, 如果c=(0, c.(C) 1.),f (x)dx 1 可得设X N(0,1),又常数c满足PXc11.(B) 0.因为 PXc PXc

7、1,从而 PX c则f （x）是某一随机变量的概率密(D)c2xdxPX(C)-.c,所以 1 PX c1,于是cc,则c等于（(D) -1.PX c,即0.5，即 （c） 0.5,得c=0.因此本题应选下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是 （）.1,故本题).(B).(A)f(x)cosx,(C)f(x)P2P(A)(C)解0,e0,0,其它.(x)222由概率密度函数的性质设随机变量X N(Y 5,则(对任意的实数，P1,x 0,x 0.f (x)dx,42), Y N().P2.(B) f (x)(D)1, 20,2,其它.x e f(x)0,1可知本题应选(D).2_,5 ),

8、 P PX 0,x 0.4,P2.只对实数的个别值，有PF2. (D)由正态分布函数的性质可知对任意的实数对任意的实数,有,PiR.1) 1(1) R.因此本题应选(A).(5)设随机变量X的概率密度为f(x)f ( x),又F(x)为分布函数,则对任意实数有().(A)(a) 1 /：f(x)dx(B)F(a)/：f (x)dx.(C)解F(a)F(a).(D)由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为2F(a) 1.(B).(6)设随机变量X服从正态分布N (1,2、 一 .1) ,Y服从正态分布N(2,PX(A)解1PYd 2.1,则下式中成立的是(C)g1 国.).PXX服从正态分布

9、PX xN(0,1),对给定的正数,则x等于().(01),数U满足(A) U_ .-2解 答案是(C).(B)(C) U1-.(D)U12.设连续型随机变量X服从参数为的指数分布，要使Pk2k1一成立,4应当怎样选择数k?解因为随机变量X服从参数为的指数分布,其分布函数为F(x)x 0,0,x0)成立,x 1, 其它，应当怎样选择数a?解 由条件变形，得到1 PX aa , 3 ,14x dx 0.5,因此 a =.04 24.设连续型随机变量 X的分布函数为0,F(x)x2,PX a,可知 PXx 0,0 x1,a0.5 ,于是1, 求：X的概率密度；(2) P0.3 X 0.7. 解(1

10、)根据分布函数与概率密度的关系1,可得2x,f(x) 0,(x)x其它.f(x),1,(2) P0.35.设随机变量X 0.7 F(0.7)x的概率密度为_2_2一F(0.3)0.70.30.4.f(x)=2x,0,0x1,其它， _1求 PX 一 与 P21-X42.1PX2)12 2xdx06.求：解于是所以1 P-4设连续型随机变量1X 2 时，F(x) 1 .X,A x,0,115 1 16 40 x1,x 2, 其它.21(Ax)dxAxx22A 1,12;f (x)dx可得xxdx01xdx00,F(x)7.设随机变量X的概率密度为2x1,f(x)x1(24(x0,对X独立观察3次

11、，求至少有2次的结果大于解根据概率密度与分布函数的关系式可得x)dx2xx1,1,1),Pa X b F(b)x0,于是X22.故方程有实根的概率为2P X 2= 12PX 2P 2 x、.22 1 dx0 52 _ _ 29.设随机变量X N(3,22).(1)计算 P2 XW5, P 4 XW10, P| X | 2, PX 3;确定c使得PX c P X w c;(3)设d满足PX d0,9,问d至多为多少？加 上a 3 X 3 b 3 b 3 a 3解(1)由Pax& b=P 0()0()公式，得22222P2X&5=(1)(0.5) 0.5328,P-4X&10=(3.5)(3.5)

12、 0.9996,P| X | 2 = PX 2 + PX 22 32 3=1 中()+ 中()=0.6977,2 23 3PX 3 =1 PX3 1 0()1 (0)=0.5 .2若 PX c P X c JI 1 PX c Pxc,所以P X 0.9 即 1 0() 0.9,也就是2d 3 中( ) 0.9 (1.282),2因分布函数是一个不减函数，故(d3) 1 2822.解得d 3 2 ( 1.282) 0.436.2、10.设随机变量 X N(2,),若 P0 X 4 0.3,求 PX 0.一 一X解 因为XN 2,所以ZN(0,1)由条件P0 X 4 0.3可知0.3 P0 X 4

13、 PU 口 等(-)(-),一 22于是 2 (一) 1 0.3,从而(一)0.65 .X 2 0 222所以 PX 0 P -4( -) 1(-) 0.35.习题2-51 .选择题(1)设X的分布函数为F(x),则Y 3X 1的分布函数G y为().L/11、(A) F(- y 二).(B) F(3y 1).33CL,、/1 一 、1(C) 3F(y) 1.(D) - F(y)-.33解由随机变量函数的分布可得，本题应选(A).(2)设 X N 0 1 ,令YX 2,则Y().(A) N( 2, 1).(B) N(0,1).(C)N( 2,1).(D) N(2,1).解 由正态分布函数的性质

14、可知本题应选(C).2.设XN(1,2), Z 2X 3,求Z所服从的分布及概率密度.解 若随机变量X N( , 2),则X的线性函数Y aXb也服从正态分布，即Y aX b N(a b,(a )2).这里 1,72,所以 ZN(5,8).概率密度为f(z)1-x 5)216 ,x.3.已知随机变量X的分布律为X-10137P0.370.050.20.130.25求Y= 2X的分布律；(2)求丫 = 3+X2分布律.解(1)2 一 X-5- 1123P0.250.130.20.050.373 + X2341252P0.050.570.130.254.已知随机变量X的概率密度为1 ，1 X 4,

15、 fX(x)= 2xln20, 其它，且丫=2 X,试求丫的概率密度.解先求丫的分布函数FY(y)：FY(y)=PYy P2 X 2 y 2 y1 PX 2 y=i-fX(x)dx.于是可得Y的概率密度为1,1 2 y 4, fY(y)fX(2 y)(2 y) = 2(2 y)ln20,其它.1 ,2 y 1, 即fY(y)2(2 y)ln20,其它.25.设随机变量X服从区间(-2,2)上的均匀分布，求随机变量Y X的概率密度 解由题意可知随机变量 X的概率密度为fX(x)40,其它.2,因为对于0y4,FY(y)PYwy PX2wyP4 1=1(1 0.1)0.40951 ;(3) 所求的概率是PX 3= PX=3+ P X=4+ PX=5=0.00856.x k - e ,x 0,0, x 0,且已知PX 11一,求常数k, 9.2解由概率密度的性质可知dx 1 得到 k=1.由已知条件1 -e dxln 24.某产品的某一质量指标 许最大是多少？2、X N(160,),若要求 P120 x 0.8,何允解由 P120 WXW 200 P120 160 X 160200 16040()(14040(一)2(一)10.8,40 40得到(一)0