2018版高中数学第一章计数原理1.3第1课时组合与组合数公式学案苏教版选修2-3

1、第 1 课时 组合与组合数公式【学习目标】1.理解组合及组合数的概念 2 能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题.IF问题导学-知识点一组合的概念思考 从 3,5,7,11 中任取两个数相除；从 3,5,7,11 中任取两个数相乘.以上两个问题中哪个是排列？与有何不同特点？梳理 一般地，从n个不同元素中取出m(mcn)个元素_，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.知识点二组合数从 3,5,7,11 中任取两个数相除，思考 1 可以得到多少个不同的商？思考 2 如何用分步计数原理求商的个数?思考 3 你能得出 C4的计算公式吗?-2 -梳理组合数及组合数公式-3 -

2、组合数定义及表示从n个不同元素中取出n)个元素的，叫做从n个不冋兀素中取岀m个 元素的组合数，用符号表示.组合数乘积形式Cn=公式阶乘形式Cn=性质C+1=+备注n,N 且n;规定 C=题型探究类型一组合概念的理解例 1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题.(1) 8 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？(2) 8 个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？(3) 从 1,2,3，9 这九个数字中任取 3 个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个?(4) 从 1,2,3，9 这九个数字中任取 3 个，组成一个集合，这样的集合有多少个？-4 -反思与感悟判断一个问题是否是组合问题的流程

3、跟踪训练 1 给出下列问题：(1) 从a,b,c,d四名学生中选 2 名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？(2) 从a，b,c，d四名学生中选 2 名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，_是组合问题，_ 是排列问题.类型二组合的列举问题引申探究若将本例中的a，b，c，d，e看作铁路线上的 5 个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？例 2 从 5 个不同的元素a，b，c，d，e中取出 2 个，列出所有的组合为反思与感悟借助“字典排序法”列出

4、一个具体问题的组合，直观、简洁，而且避免了重复或遗漏，但需注意：若用“树状图法”，当前面的元素写完后，后面不能再出现该元素，这 是与排列问题的一个不同之处.跟踪训练 2 写出从A，B, C, D, E5 个元素中，依次取 3 个元素的所有组合.类型三组合数公式及性质的应用命题角度 1 有关组合数的计算与证明 例 3(1)计算况一 CA3；求证：cm=些CZ1.n+ 1-5 -反思与感悟 涉及具体数字的可以直接用公式C?= Am=nn1 1nmn的1 1计算(3)计算时应注意利用组合数的两个性质:cnmC+1=C+CT跟踪训练 3(1)计算d0o+d00=_.计算C4+C5+ &+C20

5、15的值为_命题角度 2 含组合数的方程或不等式117例 4(1)已知 cmCU10Cm，求 C81+ C8m；解不等式：cncn.反思与感悟(1)解答此类题目易出现忽略根的检验而产生增根的错误，并且常因忽略n N*而导致错误.(2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求 解时，要注意由C1中的m N*,n N,且nm确定m n的范围，因此求解后要验证所得结果 是否适合题意.跟踪训练 4 解方程 3CX3= 5AX4.(2)涉及字母的可以用阶乘式n!nm!计算.-6 -EI当堂训练1. 给出下列问题：1从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名分别去参加 2

6、 个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？2有 4 张电影票，要在 7 人中选出 4 人去观看，有多少种不同的选法？3某人射击 8 枪，击中 4 枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是_.2._集合 M= x|x=C4,n0且n N，集合 Q= 1,2,3,4，贝UMnQ=_.3._ 满足方程 Cx2-X16=CT5的x值为.4不等式 C；。3。2的解集为 _.5.从 7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3 人，则不同的安排方案共有 _种.(用数字作答)p-规律与方法-1. 排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n

7、个不同的元素中取 n(mrcn)个元素.区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序.2. 关于组合数的计算(i)涉及具体数字的可以直接用公式cm= Am=nn-1 1鳥 n-的1 1计算.(2)涉及字母的可以用阶乘式n!Cn=m n-m!计算.-7 -合案精析问题导学知识点一思考 是排列，中选取的两个数是有序的，中选取的两个数是无序的.梳理并成一组知识点二思考 1A4=4X3= 12.思考 2 第 1 步，从这四个数中任取两个数，有C4种方法；第 2 步，将每个组合中的两个数排列，有A2种排法由分步计数原理，可得商的个数为C4A2=12.2 2 2, A思考 3 因为 A4=C4A,所以 C

8、4= A2= 6.梳理 所有组合的个数cmnn1 1nmn讦1 1- cn-mcmcm-11mm (n- my题型探究例 1 解(1)每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题.(2) 每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的.(3) 是排列问题，因为取出 3 个数字后，如果改变这 3 个数字的顺序，便会得到不同的三位数.(4) 是组合问题，因为取出 3 个数字后，无论怎样改变这3 个数字的顺序，其构成的集合都不变.跟踪训练 1 (1) (3)(4)解析(1)2 名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题.2 名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题.(3) 单循环

9、比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.(4) 冠亚军是有顺序的，是排列问题.例 2ab, ac,ad, ae,be,bd,be,cd,ce,de解析 要想列出所有组合，做到不重不漏，先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标示出来.如图所示.nb rd ecde疋d起d引申探究解 因为“a站到b站”与“b站到a站”车票是不同的，故是排列问题，有 甬=20(种).但 票价与顺序无关，“a站到b站”与“b站到a站”是同一种票价，故是组合问题，因为“a站到b站”与“b-8 -站到a站”车票是不同的，但票价一样，所以票价的种数是车票种数的一半，-9 -1故共

10、有 2X20= 10（种）不同的票价.跟踪训练 2 解 所有组合为ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE例 3(1)解原式=CioA=210 210= 0.n+ 1m+ 1 !nm!n!_= C，m (n mj!，左边=C，所以左边=右边，所以原式成立.4跟踪训练 3 (1)5 150(2)C2 016 1解析(1)c10。+C200=C100+ C2001010；9999+ 200= 5 150.(2)C4+C+ G+ +C2 015=G+ G+C+C6+C2 015G=C4+ &+C20151 =G015+ C2 015一 1 = C2 016一 1.117例4解 ：CmCm=说m，m(5m)!m!(6m 5! 一 6!7X7m!m10X7!，7Xm7m6m5m!10X7X6x5!6m(7m6m)6 = 60 ，2即m 23m+ 42= 0,解得 m= 2 或 21.10X9X8x74X3x2X17X6X5证明因为右边=穿嚟1m+ 1n+ 1m5 m!5!6X5!-10 -/ 0n!.4!n4!6!n6 !n，6又n N*,该不等式的解集为6,7,8,9