微积分A1(第五章第1、2节)

1、01. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积由三条直线段，一条曲线段围成的形如由三条直线段，一条曲线段围成的形如的几何形称为的几何形称为。的几何形称为的几何形称为，它也归于曲边梯形的范畴。它也归于曲边梯形的范畴。形如形如12AAA 1A 求任何曲线围成的几何形的面积求任何曲线围成的几何形的面积，都可都可归结为求若干个曲边梯形的面积的和归结为求若干个曲边梯形的面积的和。2AAA1A2An iiAA设曲边梯形由连续曲线设曲边梯形由连续曲线 y = f (x) (设设 f (x)0), y = 0, x = a, x = b (a b 时时， xdxfba)(性质性质1.1. 函数和的定积分等于定积分的和。

2、函数和的定积分等于定积分的和。 xdxgxfba )()(（此性质可推广到有限个函数中去此性质可推广到有限个函数中去）xdxgxdxfbaba )()(xdxfab )(性质性质2.2. 被积函数的常数因子可提到积分号外。被积函数的常数因子可提到积分号外。xdxfxdxfbaba )()(kkk：常数常数性质性质3.3.，设有设有bca xdxfxdxfxdxfabba )()()(则则cc（积分区间具有可加性）（积分区间具有可加性）性质性质4.4.若在若在 a, b 上上, f (x) 1 , baxd1则则（区间长度）（区间长度）推论推论: 不论不论 a, b, c 相对位置任何相对位置任

3、何, 上式总成立。上式总成立。 baxdab 性质性质5.5. (1) 若在若在a, b上上, f (x)0 , 则则xdxfba)( 0 ，( a 0 ，( a 0 ，( a b ).于零，于零，则则,),(0时时当当 xUx , 02)()(0 xfxf, ),(0bax ),(),(0baxU 所所以以存存在在则则 baxdxf)( bxxxxaxdxfxdxfxdxf 0000)()()( 00)(xxxdxf iixf )(lim0 ixxf 2)(lim00 22)(lim00 xf )(0 xf . 0 性质性质5.5. (1) 若在若在a, b上上, f (x)0 , 则则xd

4、xfba)( 推论推论1 1 若在若在 a, b 上上, f (x) g(x), 则则xdxgxdxfbaba )()( 0 ，( a b ).推论推论2 2xdxfxdxfbaba )()()()()(即可证即可证由不等式由不等式xfxfxf ( a b ).( a 0 ，( a b ).于零，于零，则则性质性质6.6.（估值定理）（估值定理）),(min),(max,xfmxfMbaxbax 设设)()()(abMxdxfabmba 则则性质性质7.7.（定积分中值定理）（定积分中值定理） 若若 f (x) 在在 a, b 上连续上连续，则在则在 a, b 上至少上至少)( )()(abf

5、xdxfba )(ba ( a 0 时时，有有 f (x) f (0) = 0)10()1ln( xxx 10 xdx 10)1ln(xdx)10(01 xxx例例2.估计估计 的取值范围。的取值范围。 xdexx 022，设设xxexf 2)(xxexxf 2)12()(,)21(41 ef, 1)0( f由性质由性质6， 202xdexx 412e22e 21 x,)2(2ef 所以在所以在 0, 2 上上，f (x)的最大值为的最大值为,2e最小值为最小值为,41 e41222022 exdeexx0 ,lim122xdexnnxn )1(22221nnexdexxnn 例例3. 利用定

6、积分中值定理，计算利用定积分中值定理，计算)1(22 nne 22221limlim exdexxnnn22lim e = 0 22lim2 e例例4.设设)(xf在在1 ,0上是单调递减的连续函数上是单调递减的连续函数， 1 ,0 q都有不等式都有不等式 100)()(xdxfqxdxfq证明证明：1,0 qq时结论成立时结论成立.(用积分中值定理用积分中值定理) qxdxf0)( 10)(xdxfq qxdxfq0)()1( 1)(qxdxfq)1(q )(1 fq q )()1(2 fq , 01q 1,2q 10 q当当时时,)()()1(21 ffqq 0 故所给不等式成立故所给不等

7、式成立.试证明对于任何试证明对于任何显然显然习题习题 5 1(A)1(2), 4(2, 4), 5(1, 3)习题习题 5 1(B)1(2, 4), 2特例：特例：设时刻设时刻 t 时质点的速度为时质点的速度为 v(t) 0 , T1, T2 所经过的路程所经过的路程则质点在时间间隔则质点在时间间隔.)(21tdtvsTT 若又已知位置函数若又已知位置函数 s = s(t) , 则则 T1, T2 上上所经过的路程又可表为所经过的路程又可表为),()(12TsTss ).()()(1221TsTstdtvTT 即即),()(tvts s(t) 是是 v(t) 的原函数的原函数。说明了说明了 v

8、(t) 在在 T1, T2 上的定积分等于上的定积分等于 )()()(1221TsTstdtvTT 一般：一般： 若若 F(x) 是连续函数是连续函数 f (x) 在在a,b上的原函上的原函. )()()(aFbFxdxfba 为证明这一点，现引进一种变上限的定积分为证明这一点，现引进一种变上限的定积分。v(t) 的原函数的原函数 s(t) 在在 T1, T2 上的增量上的增量。数数，则有则有设设 f (x) 在在 a, b 上连续上连续，并设并设 x 为为 a, b 上一点上一点，则则 f (t) 在在 a, x 上连续上连续，存在。存在。tdtfxa )(x)(x )(xfy 记记tdtf

9、xa )()(x 称为称为。上的函数，上的函数，是定义在是定义在,)(bax abyx0)(x 定理定理0. . 设设 f (x) 在在 a, b 上可积上可积，则积分上限函数则积分上限函数tdtfxxa )()( 在在 a, b 上连续。上连续。定理定理1. . 设设 f (x) 在在 a, b 上连续上连续，则积分上限函数则积分上限函数tdtfxxa )()( 在在 a, b 上可导上可导，且且tdtfxddxxa )()( )(xf )(bxa ,)()(tdtfxxa ).()( xfx )(xf )(x tdtfxx )()()( (1)(2)tdtftdtfaxxa)()()()(

10、 tdtftdtfxaxa)()()()( tdtfxddxx )()()( )(xf )(x )(xf ).(x tdtfa)( )(x tdtfxdda)( )(x 例例1：,11)(022tdttttxfx 设设. )1(f 求求,11)(22xxxxxf .31)1( f例例2: : badxxfdxd)()1(0 0sin)2(xxdxdxdxsin 2021)3(xdttdxd)(124 xx412xx xxdxdxd0sin例例3：xdxxxddxx 22cos)1ln(tan)cos1(ln)(costan22xx xx2)sin(2 )1ln(tan22xx x2 +,)()

11、(0tdtfxxFx 设设. )(xF 求求)()(0 xtdtfxxF )(xF例例4：f 为可导函数为可导函数，tdtfx 0)().(2)(xfxfx )( xfx tdtfxFx 0)()(x)()(xfxxf )( xf xxxsin12lim0 xxxtdttttdt00230)sin(lim2)sin(2)(lim2320 xxxxxx 例例5原式原式 = ”“00 xxxxsin2lim30 xxxcos16lim20 = 12 .例例6：所确定，所确定，tdtttdttdexyt 01020sincos2由方程由方程设设)(xyy .dxdy求求yyey 22.4cos2xy

12、xeyy 两边对两边对 x 求导求导：xx21cos 0 例例7. .,)(上连续上连续，在在设设baxf xbxatfdtdttfxF)()()(而而, 0)( xf且且内有且仅有一个根。内有且仅有一个根。在在方程方程证明证明),(0)()2(; 2)()1(baxFxF )(1)()()1(xfxfxF 2)(1)(2 xfxf, 02)()2( xF所以所以 F(x) 在在 a, b 上单增上单增,所以所以 F(x) = 0 在在 a, b 内至多只有一个根内至多只有一个根。又又 F(x) 在在 a, b 上连续上连续，且且 abtfdtaF)()(, 0)()( badttfbF所以由

13、零点存在定理知所以由零点存在定理知方程方程 F(x) = 0 在在 (a, b) 内至少有一个根内至少有一个根。综上，本题得证综上，本题得证。 xbxatfdtdttfxF)()()( batfdt)(, 0 例例8： 已知已知 g(x) 处处连续处处连续，且且 g(1) = 5,)()(21)(, 2)(0210 xdttgtxxfdttg设设证明：证明： xxdttgtdttgxxf00)()()(从而计算从而计算)1(),1(ff xdttgtxtxxf022)()2(21)( xdttgx02)(21 xdttgtx0)( xdttgt02)(21 xdttgxxf0)(221)( x

14、xdttgtdttgx00)()( xdttgxf0)()( xdttg0)()()(xgxf , 2)()1(10 dttgf)(212xgx xdttgt0)()(xxgx )(212xgx . 5)1()1( gf)(xxg )(xxg xxxdttgtdttgtxdttgxxf02002)(21)()(21)(2)(5)1(10 tdtgg有有由由于于,)()(xfx tdtfxxa )()( 设设 f (x) 在在a, b 上连续上连续，则积分上限的函数则积分上限的函数就是就是 f (x) 在在 a, b 上的一个原函数上的一个原函数。习题习题 5 2(A)2(2, 3), 4习题习

15、题 5 2(B)1, 3 在牛顿和莱布尼兹之前，微分和积分作为两种数学在牛顿和莱布尼兹之前，微分和积分作为两种数学运算、两种数学问题，是分别加以研究的。虽然有不少运算、两种数学问题，是分别加以研究的。虽然有不少数学家已经开始考虑微分和积分之间的联系，然而只有数学家已经开始考虑微分和积分之间的联系，然而只有牛顿和莱布尼兹（各自独立地）将微分和积分真正沟通牛顿和莱布尼兹（各自独立地）将微分和积分真正沟通起来，明确地找到了两者之间内在的直接联系，指出微起来，明确地找到了两者之间内在的直接联系，指出微分和积分是互逆的两种运算。而这正是建立微积分学的分和积分是互逆的两种运算。而这正是建立微积分学的关键所

16、在。牛顿在关键所在。牛顿在1666年发表的著作年发表的著作流数简论流数简论中，中，从确定面积的变化率入手，通过反微分计算面积，把面从确定面积的变化率入手，通过反微分计算面积，把面积计算看成是求切线的逆，从而得到了微积分基本定理。积计算看成是求切线的逆，从而得到了微积分基本定理。在在1675年，莱布尼兹就认识到，作为求和过程的积分是年，莱布尼兹就认识到，作为求和过程的积分是微分的逆，他于微分的逆，他于16751676年给出了微积分基本定理年给出了微积分基本定理)()()(afbfdxdxxdfba 并于并于1693年给出了这个定理的证明。年给出了这个定理的证明。.)()()()(babaxFaF

17、bFxdxf tdtfxxa )()( 而而 设设 F (x) 是连续函数是连续函数 f (x) 在在 a, b上的上的已知已知 F(x) 是是 f (x) 的一个原函数的一个原函数，也是也是 f (x)的一个原函数的一个原函数,所以二者仅相差一个常数所以二者仅相差一个常数 C ,)(,)()(bxaCxxF 任一个原函数任一个原函数，则则,)()(CaaF aatdtfa0)()( )()()(aFxxF ：得得tdtfbba )()( )(,)()(bxaCxxF 对对令令 x = a ,)(aFC )()()(aFbbF 令令 x = b ,)()()(aFbFxdxfba )()()(

18、aFxdxfbFba baxF)( xdxfba )(它进一步表明了定积分与不定积分的联系，它进一步表明了定积分与不定积分的联系，揭示了原函数揭示了原函数、不定积分不定积分、定定积分的内在联系积分的内在联系，成为沟通微分与积分的桥梁成为沟通微分与积分的桥梁。, )()()(aFbFxdxfba 即：一个连续函数在即：一个连续函数在 a, b 上的定积分上的定积分等于它的任一个原函数在等于它的任一个原函数在 a, b 上的增量上的增量。这三个定理统称为这三个定理统称为NL公式又称为公式又称为 由此，当被积函数的原函数可以求得时，由此，当被积函数的原函数可以求得时，计算定积分就不必从定义出发求和式

19、极限，而计算定积分就不必从定义出发求和式极限，而只要算出原函数在上、下限的函数值的差即只要算出原函数在上、下限的函数值的差即可。求定积分问题就转化为求原函数。可。求定积分问题就转化为求原函数。计算下列定积分：计算下列定积分：10221x 10. 1xdx.21)01(21 xdx 11211. 211arctan x 4 0sin. 3xdx 0cosx )( 4 .2 .2 11 xdx 301. 410221 xxxdxd 311031221 xx.25 xdx 202, 1max. 5xdxd 1021 21,10,1, 1max22xxxx2x.310 213311x )1(x )1( x.343232 xdxx 03sinsin. 6xdxx 02)sin1(sinxdxx cossin0 xdxx cossin20 xdxxdxsinsinsinsin220 2232023)(sin32)(sin32xx xdxx cossin2 )1ln(1 e 101. 7xedxxdeexx 101110)1(ln xex.12ln1 exxee 1)2ln0( 3234)(2 xxxf解：解：8. 设设求求定积分为常数定积分为常数, ,)(10axdxf 设设bxdxf 20)(abxxxf