2018考研数学一试题答案及试题解析

1、2018考研数学一试题答案及试题解析（完整版）2018全国研究生入学考试考研数学（数学一）试题解析本试卷满分150,考试时间180分钟一、选择题：】财邀，每小題4分，共32分，下歹悔小题给出的四1噬项中，只有一项符合题目 要求的，诸將所迭项前储母埴在答題纸指定位赛上. 排除,平面x+p-2 = 1的去向量为（1丄-1）,曲面的法 2x.2y.-11 可知切点应为由此求得该点的切平面为*,故（A）排除。可知，唯一正确的选I页是（B）。（B）g 仙字= 5。）嗨竺弊=。，故广（。）=舟c） （02幌D）1 r弋心=lim - = O./（O） = lim1 2X_ 1 =2-片（-力12=：；故/

2、10）不存在，故选（D）ox 2XQQS/x-1-K rvi1LII1XX（屈一1=lim -X吐do,故广（0）mX8（-D”1-0【答案】（B）【解析】言嘩？茁)”耦替詁)法+疙宀故选(B).设“传鵲丄【答案】(C)【解析 5=.輕晋妇E令他=(1+啊丿3=-血(7TTT当=0时，广0)0；当eO时，r(x)0, SftVxe -;_L /(x)/(O)=l,I 2 2丿;(lx)edx ldx = 7T.故Ar Af 1 1 0【解析】记矩阵日二0 1 10 0 1 ,则r(H) = 3 ,特征值为1(三重力F(H-E) = 2(A)： r(4=3,特征值为1(三重力rA-E) =2;(

3、B): r(J5) = 3,特征值为1(三重)，r(-F)=l ；(C： r(Q = 3,特征值为1(三重力r(C-F)=l ;(D; r(P) = 3,特征值为1三重力故选(A)o（6设4为刃阶矩阵，则 ）1答案】（A【解析】设/ =丄卫：M=（凤色L则尽角亠 虑可由5 宀亠心线性表出,从而孤他丄心与企丄：孤久禺丄，久等价，从而厂（4曲）=厂（）。故选 Z（7）设随机变量X.一则AXvO=（）【答案】（A由|；/（xir = 0.6可知阴影部分的面积为0.6，由对称性可知匚八好校=0.2,故卩X = 0.2 ,故选（A）。（8）设总体X.据此样本检殓假设（A）如果在检验水平a = 0.05下

4、拒绝凤，那么在检脸水平a “.01下必拒绝禺（B）如果在检验水平a =0.05下拒绝那么在检验水平a=0.01下必接受禺（C）如果在检验水平Q二005下接受比,那么在检验水平Q=0.01下必拒绝码（D）如果在检验水平& =0.05下接受比，那么在检脸水平Q=0.01下必接受码【答案】（D）6（a） = 001下的接受域为（“-血85命地+必蚀二、頂空 A小題，酬邀4分，共24分，请将答韩在答题鮒錠位g上a 【解析】e（a）=03下的接受域为仏“曲金.心十化应j=） 因为化025 心昭，而,故选（D。【解析】/（关于兀=】对称，故/（兀）團像如下;【答案】左二-2【解析IimriZt5nx=Hm

5、ri_2tanx1 + tan x)1 + tanr(10)设函数f(x). .则xfx)dx=0【答案】2(ln2-l)【解析】由已知条件有r(0) = 0,/(1) = 2./(1) = (2x)r|= 21n 2,故帥 3 心J；讨 3 =(x)心=21n 2-/(x)| =2(ln 2-1) o(10设F(x v=z) = xyi -yzj + zxk9则rotF(l丄0) =_。【答案】i-k(12)设Z为球面. .，则与也=_o【答案】-3【解祈】由(x+y + z)2= ? + y2+ z2+2(xv + +zx) = 0,故2(Q+ N+R = -1由轮换对称性可知；伞冇妇打g

6、 + yz +zxM = -伞& =_芋=一手。26 L63(13)设2阶矩阵乂为有两个不同特征值，是*的线性无关的特征向量，且满足A(q + o) = q+y ,则洌二 _【答和-1【解祈】Aax=/MfAz二入Q”故/(q + a)二Aq二才厲+心仏二耳+仏。1Jk一dddrorF =勿-乎 &zr方一才一卅故”広(M0)=H(9) li云匕空Kl + tanx=s则* =卜mu-2tinxiiu&=e2TX【解析】由于吗耳线性无关，可知才=1,君二1,从而可得/有两个不同的特征值为1,-1,故|.4| =一1。(14)设随机事件.,则P(Q=_。【答案】4【解析】由P3C|曲uO.可得P

7、汽秽f*其中4P(AB + (?)4P(ACr (AB jCy)= P(ACAB AC C) = Pg = P(0 - P(C) = + P(O,P(AB十C) = F(AB) + P(C)_P(ABC) = P(HB)十P(C) = P(A)P(B)十P(C)=扌十P(C),|P(OI代入可得- =可知P(G斗”G444三、解答題：1123小題，共94分请将解答写在答銅錠位蛊上解答应写出文字说明、证明过步骤.(15)(本题淆分10分)求不定积分.o【解析】令则归心DS寻九由第二换元去和分部积分公式可得（16）（本题滔分10分）将长为2m的铁丝分成三段求出最小值.【解析】设分成的三段分别为xj

8、z,则有x+y+z=2及xj,z0,圆的面积为S产丄壬正方形的面积为5z=l.y2,正三角形的面积为为二10则问齡化为在条件 E 十V。下，求函数存十护十密的最小值。令为最小值，最小值为（3严-汽（船时4如9,3）（本题満分10分）设工是曲面.14【答案】I = 7T45【解析】令吝为平面：r=0sy2+z2=十2)dzdx + z22：其中Q为空间区域U j;z)|ox + 2)d2dx-zcbuh-0。0：巾=1 Xj 0 n = k jq 0 J xk =ln-eXk-1 4xvllnl = 0 ,因此对于任青的”，有耳0VT再证明幼的单调性:g J - Q =入x/(x) -1一诸/

9、（x） / （0）= 0,JA而小1一 /0）x na = -l, J a0 J lim兀二0法一：由泰勒公式可知，/加2,其中疋介于0与兀之间，从而可知R-1AX。e Jx”-ln、0,从而数列心有下界。另一方面，有拉格朗日中值定理可知，兀e J=严-1 =ex,- J =兀决,其中0 v v和 从而 可知J f理从而可知数列闯单调递减。由单调有界收敛原理可知，数列兀收敛。令a=limx“易得a = 0om（20）（本题满分11分）o设实二次型.参数.求.的解,（2）求.的规范形.【答案】（1）当2时，有唯一解（OQO）;当2时，通解为;:（一2=-11）丁，kER;（2）当2时，/=? +

10、 ：+3；当a=2时，/ =才+2；。E /（力=一诸，广(兀)=-xex 0 0)73 JC 0.Bl:s is.営).8.EHS o $ sf02)Xj X2+习=0【解析】由/*（百,勺,可）=0可知花+延=0，吗+压=01 -1 1该齐次线性方程组的系数矩阵为卫二0 11，将其经初等行变换化为阶梯形矩阵，即10a1-11_1 -11-11 011-0 110 1 110a0 1a _00a-2当2时，/（耳$宀）=0有唯一解（000）。10 2Z当“2时，AT 0 11，其通解为上（-2=-U）T, R。0 0 0 d=Xj_呂+七（2当a#2时，直接作非退化的线性变换 旳=羽+禺 ，

11、可将原二次型化为规范形3=兀十今卜=勺_召乜当4=2时，作非退化的线性变换怙=勺+冯,可将原二次型化为规范形1乃=再f = f + 2+（J1 +必）=2 X + 2胃+ 2”乃，该二次型正惯性指数为2,员惯性指数为0,故其合同规范形为才+鸟（21）（本题满分11分）。已知d是常数，且.求Q ；求.可逆矩阵P._3-64- 6fc4 6Ag【答案】2； P =-1 + 2占1 + 2An-1十2咫 ,且k?工0JG显然，r(A) = 2,故a = 2o令尸二(匚生逵)=(久仪泯)，由AP = B可轴吗二用二店，即为展=氏的解。因为122M22f1 2 21 2 21 30 i 01 1T0 1

12、 -2-1 -1 -12 7 -2 ! -1 1 10 3-6-3 -3 -3j221221063 4401-2-1-1-101-2-1-1-10000 000000 00所以导出组的基础解系为(621几 三个非齐次线性方程组的特解分别为(3,-1,0),(4-l=0)T,(4-1=0)T三个线性方程组的適解分别为5=(3!-L0)T+ 叙-621)丁，6 =(4:-l:0)T+他(-621)丁 ,=(4=-10)T+fc(-6;25l)3_6匕P=一1十2心对P做初等行变换可得_12a12a12a130T01aT01-a?7-a03-3a_000 _ 1a21a2a2011011011-11

13、10a + 1 3001-a【解析】由题意可知：矩阵与占是等价的，故r(A) = r(B)0对拒阵4和分别进行初等行变换，即A B =3440 1 11 1 1PT-1 -1 -1-1 -1 -1T0 1 1_咫一舛y.0 0 *3-v宙于P可逆，故k2k.O(22)(本题满分11分)设随机变量x与y相互独立，.-令z=xir.(1)求Cov(XZ);(2)求z的概率分布。【答案】Cm(XZ)S【解析】(1)由X与丫相互独立，可得Egj=E(x)-E(y)。由协方差的计算公式，可得Cov(AZ) = (AZ) - E(X) -(Z) = EX-E(X) - E(AT) = (JT2)E(r)一

14、E(JQF - (!)；其中EGY) = lx0.5十(一1)只0.5 = 0, (-r2) =12x0.5-b(-l)2x0.5 = 1, E(F)=x,所以Cm(兀Z)。(2) Y的分布列为尸F二好二仝/(上=0丄2丄)。故Z二AT为离散型随机变量kZ的分布列PZ = Jc = PXY =k = PXY =kcx = l + x = -l = gxr = ArcX=l+巩;rr = jtcX=-l py上扌戶对十土卩丫一阳ka k = 0- kQ.(23)(本题満分11分)设总体X的概率密度,.记。的最大似然估计量为疔。(1)求 6(2)求E庁和Da.几1n.八几/r2【答知7= -区卜E(O)= Q , D(b)=。nr-1n【解祈】(1)设弘心入为耳的观测值丿则似然国数H 1 JL1厶(6心俎二ri