2012年浙江省高考数学(理科)试卷-附详解

1、2012年浙江省高考数学（理科）试卷 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所在试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。1 设集合，集合，则A B C D【答案】B【解析】，则，故选B。2 已知是虚数单位，则A B C D【答案】D【解析】。3 设，则“”是“直线：与直线：平行”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“直线：

2、与直线：平行”的充要条件是，解得，或，所以是充分不必要条件。4 把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】，故选A。5 设，是两个非零向量A若，则B若，则C若，则存在实数，使得D若存在实数，使得，则【答案】C【解析】，则，所以不垂直，A不正确，同理B也不正确；，则，所以共线，故存在实数，使得，C正确；若，则，此时，所以D不正确。6 若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A60种 B63种 C65种 D66种【答案】D【解析】和为偶数，则4个数都是偶数，都是奇

3、数或者两个奇数两个偶数，则有种取法。7 设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是A若，则数列有最大项B若数列有最大项，则C若数列是递增数列，则对任意，均有D若对任意，均有，则数列是递增数列【答案】C【解析】当时，则存在，有，故C错误。8 如图，分别是双曲线：的左、右两焦点，是虚轴的端点，直线与的两条渐近线分别交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点若，则的离心率是A B C D【答案】B【解析】，则点坐标。直线方程为，可得，两点坐标分别为，则，中点坐标为。依题意可得，则，即，整理可得，从而有。9 设，A若，则 B若，则C若，则 D若，则【答案】A【解析】记，则，当时，当时。，则有

4、。，此时无法确定大小关系，故选A。10已知矩形，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，A存在某个位置，使得直线与直线垂直B存在某个位置，使得直线与直线垂直C存在某个位置，使得直线与直线垂直D对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直【答案】B【解析】故点作，若存在某个位置，使得，则面，从而有，计算可得，则A不正确；当翻折到时，因为，所以面，从而可得；若，因为，所以面，从而可得，而，所以这样的位置不存在，故C不正确；同理，D也不正确，故选B。非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11已知某三棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该三棱锥的体积

5、等于 【答案】1【解析】由三视图可知，该三棱锥的底面面积为，高为2，则。12若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 【答案】【解析】第一次运行：；第二次运行：；第三次运行：；第四次运行：；第五次运行：，故输出值为。13设公比为的等比数列的前项和为若，则 【答案】【解析】依题意可得，两式相减可得，即，解得（舍）或或。因为，所以。14若将函数表示为，其中，为实数，则 【答案】10【解析】，则。15在中，是的中点，则 【答案】-16【解析】依题意可得，。由余弦定理可得，因为，所以，即，则有，而，则，所以。16定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离已知曲线：到直线：的距离等于

6、曲线：到直线：的距离，则实数 【答案】【解析】曲线：到直线：的距离为圆心到直线的距离减去半径，即。依题意可得，且知曲线：到直线：的距离等于曲线上切线斜率为1的切线与的距离。令，可得，所以切线斜率为1的切线方程为，即，所以，解得或（舍）。17设，若时均有，则 【答案】【解析】根据图象分析，函数和都过定点，要使得时均有，则当时，保持同号，所以与的零点相同，即存在，使得，解得，（舍）或。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（本题满分14分）在中，内角，的对边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，求的面积本题主要考查三角变换、正弦定理等基础知识，同时考查运

7、算求解能力。满分14分解：（1）因为，得又所以（2）由，得于是，由及正弦定理，得设的面积为，则.19（本题满分14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3个球，记随机变量为取出此3球所得分数之和（1）求的分布列；（2）求的数学期望本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。解：（1）由题意得取3,4,5,6，且，所以的分布列为3456（2）由（1）知，.20（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且平面，分别为，的中点（

8、1）证明：平面；（2）过点作，垂足为点，求二面角的平面角的余弦值本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。（1）证：因为，分别为，的中点，所以是的中位线，所以又因为平面，所以平面（2）解：方法一：连接交于，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示。在菱形中，得又因为平面，所以在直角中，得由此知个点坐标如下，设为平面的法向量，由知，取，得设为平面的法向量，由知，取，得于是，所以二面角的平面角的余弦值为方法二：在菱形中，得又因为平面，所以所以所以而，分别为，的中点，所以，且取线段中点，连接，则所以是二面角的平面

9、角由，故在中，得在直角中，得在中，得在等腰中，得所以二面角的平面角的余弦值为21（本题满分15分）如图，椭圆：的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分（1）求椭圆的方程；（2）求面积取最大值时直线的方程本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分解：（10设椭圆左焦点为，则由题意得，得所以椭圆方程为（2）设，线段的中点为当直线与轴垂直时，直线的方程为，与不过原点的条件不符，舍去。故可设直线的方程为由消去，整理得 则，所以线段的中点因为在直线上，所以，得（舍）或此时方程为，则所以设点到直线距离为，则设的面积为，则其中令，所以当且仅当，取到最大值故当且仅当，取到最大值综上，所求直线方程为：22（本题满分14分）已知，函数（1）证明：当时， 函数的最大值为； ；（2）若对恒成立，求的取值范围本题主要考查利用导数研究函数的性质、线性规划等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14分。（1）证： 当时，有，此时在上单调递