初高中数学衔接的知识点二次函数讲解及练习题

1、初高中数学衔接的知识点二次函数讲解及练习题2.2.2 2.1.1二次函数 y y= axax2 2+ bxbx+ c c 的图像和性质问题1函数y=ax2与y=x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y=2x2,y=- x2,y2=-2x2的图象，通过这些函数图象与函数y=x2的图象之间的关系，推导出函数y=ax2与y=x2的图象之间所存在的关 系.先画出函数y=x2,y=2x2的图象.先列表：x -3-2-10123 2x 9410149 2x2 188202818从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了.同学们也可以用类似于上面的方法画出

2、函数y=丄x2,y=2-2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y=x2的图象之间的关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 y y= axax2 2(aJ)(aJ)的图象可以由 y y= x x2 2的图象各点的 纵坐标变为原来的 a a 倍得到.在二次函数 y y= axax2 2(a0)(a0)中，二 次项系数 a a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开 口的大小.问题2函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之图2.2-22(x+1)2+1与y=2x2的图象(如图2-2所示),从函数的同 学我们不难发现，

3、只要把函数y=2x2的图象向左平移一个单 位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2(x+1)2+1的图象.这两个函数图象之间具有形状相同，位置不同”的特点.类似地，还可以通过画函数y=3x2,y=-3(x-1)2+1的图象，研究它们图象之间的相互关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 y y= a(xa(x+ h)h)2 2+ k(a0k(a0) )中，a a 决定了二次函数图象 的开口大小及方向；h h 决定了二次函数图象的左右平移，而 且 h h 正左移，h h 负右移”k k 决定了二次函数图象的上下平移， 而且 k k 正上移，k k 负下移”由上面的结论，我们可以得

4、到研究二次函数y=ax2+bx+c(a和)的图象的方法：2间的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数y=由于y=ax2+bx+c=a(x2+-x)+c=a(x2+ x+)+caa 4a2b -4ac4a所以，y=ax2+bx+c（a和）的图象可以看作是将函数y=ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y=ax2+bx+c（a和）具有下列性质：（1 1）当 a a0 0 时，函数 y y= axax2 2+ bxbx+ c c 图象开口向上；2顶点坐标为（丄,4ac-b）,对称轴为直线 x x=-；当 X XV一 2a 4a2a2a时，y随着x的增大而减小；当x -舟时，y

5、y 随着x的增大（2）当 a av0 0 时，函数 y y= axax2 2+ bxbx+ c c 图象开口向下;2顶点坐标为（-丄兰亠），对称轴为直线 x x=-;当 X XV一 R R2a 4a2a2a时，y y 随着 x x 的增大而增大；当 x x 一 时，y y 随着 x x 的增大2a上述二次函数的性质可以分别通过图2.2-3和图2.2b24a而增大；y y=4ac-b24a而减小；当* 时，函数取最大值4ac - b24a-4直观地表示出来.因此，在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.例1求二次函数y=3x26x+1图象的开口方向、对称轴

6、、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象.解： y=3x26x+1= 3（x+1）2+4,函数图象的开口向下；对称轴是直线x=1；顶点坐标为（一1,4）;当x=1时，函数y取最大值y=4;当xv1时，y随着x的增大而增大；当x1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A（1,4），与x轴交于点B（乙于0）和C（-三尹,0）,与y轴的交点为D（0,1）,过这五 点画出图象（如图25所示）.说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确.例2某种产品的成

7、本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示:x /元130150165y/件705035若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润=日销售量y销售价x120）,日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值.解：由于y是x的一次函数，于是，设y=kx+(B)将x=130,y=70;x=150,y=50代入方程，有70 = 130k b,50 = 150k b,解得k=-1,b=200

8、.y= x+200.设每天的利润为z(元)，则z=(x+200)( x120)= x2+320 x24000=(x160)2+1600,当x=160时，z取最大值1600.答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元. 例3把二次函数y=x2+bx+c的图像向上平移2个单的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的位，再向左平移4个单位，得到函数y=x2的图像，求b,c的值.2解法一：y=x2+bx+c=(x+b)2c-b，把它的图像向上平2移2个单位，再向左平移4个单位，得到y =(x4)22的24图像，也就是函数y=x2的图像，所以，解法二：把二次函数y=x2+bx+c

9、的图像向上平移2个单 位，再向左平移4个单位，得到函数y=x2的图像，等价于把二次函数y=x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y=x2+bx+c的图像.由于把二次函数y=x2的图像向下平移2个单位，再向右 平移4个单位，得到函数y=(x-4)2+2的图像，即为y=x28x+14的图像，.函数y=x28x+14与函数y=x2+bx+c表示同一个函数，b=8,c=14.说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律 来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换 规律.这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接 利用条b4 =0,24解得b=-8,c=14.件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而 解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之 等价的问题来解，具有计算量小的优点.今后，我们在解题 时，可以根据题目的具体情况， 选择恰当的方法来解决问题.例4已知函数y=x2,2$令，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对 应的自变量x的值.分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论.解：(1)当a=2时，函