快乐课堂初中数学精讲-华师大数学八上第十五章-平移与旋转

1、快乐课堂初中数学精讲华东师范大学出版社（简称“华师版”）第15章 八上第四单元 平移与旋转说明：课本和一般辅导书已有内容，一般不再重复。全日制义务教育数学课程标准关于本单元内容的标准要求第一学段（13年级） 二、空间与图形 3图形与变换 （1）结合实例，感知平移、旋转、对称现象。例：在下列现象中，哪些是平移或旋转现象? （1）方向盘的转动； （2）水龙头开关的转动； （3）电梯的上下移动； （4）钟摆的运动。（2）能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。第二学段（46年级） 二、空间与图形3图形与变换 （3）通过观察实例，认识图形的平移与旋转，能在方格纸上将简单图形平移或

2、旋转90°。（4）欣赏生活中的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。第三学段（79年级） 二、空间与图形2图形与变换（2）图形的平移通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质。能按要求作出简单平面图形平移后的图形。利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。（3）图形的旋转通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。了解平行四边形、圆是中心对称图形。能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。欣赏旋转在现实生活中的应用。探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其

3、组合)。灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。*平移、旋转，再加上已经学习过的轴对称，这三种图形变换，统称为“全等变换”。“全等变换”在九年义务教育的三个学段，都安排了学习。所以，本单元的基本知识是很简单的，小学生都可以掌握好。作为中学生，在学习“全等变换”时，应该注意什么呢？一、概念的准确掌握。语言叙述的完整和严谨。二、更重要的是体会，“全等变换”在图形问题的思维中的重要性。平移的定义：将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移的基本性质：（1）平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)，只是位置发生变

4、化。 经过平移，对应线段平行（或共线）且相等（对应线段相等，即不改变图形的大小）；经过平移，对应角相等（对应角相等，即不改变图形的形状）；经过平移，对应点所连接的线段平行（或共线）且相等（即不改变图形有方向）； (2)平移是由方向，距离决定的（平移的两个要素）。 (3)多次平移相当于一次平移。（4）偶数次轴对称（对称轴平行）或中心对称后（简说为“2N次对称后”）的图形等于平移后的图形。 平移的画法：一、根据平移的定义画。1、根据平移的方向和距离，画出一个“要素点”的对应点。2、用画平行线的方法，画出所有要素点的对应点。3、根据平移后的要素点，画出平移后的图形。说明：要素点，即用以确定图形的形状

5、的点。可以在图形上，如线段的端点；也可以不在图形是，如圆的圆心。二、根据平移的性质画。（只适用于由直线或线段组成的图形）1、根据平移的方向和距离，画出一个“要素点”的对应点。2、用画平行线的方法，画出所有的对应线段或直线。平移的思维作用:平移常与平行线有关。所以，画平行线是解决图形问题时，经常使用的辅助线。平移可以将一个角,一条线段,一个图形平移到另一个位置,使分散的条件集中到一起,使问题得到解决。例1：平行四边形面积公式，就是用平移的方法得到的。从而得到：等底等高的平行四边形面积相等。再得到：等底等高的三角形面积相等。例2：求此图形的周长。图形由6条线段围成，且其中4条线段还不知道长度。利用

6、平移，把图形变换成求长方形的周长。得图形周长=（3+5）*2=16例3：如图：长11米宽31米的长方形草地内，有两条宽1米的小道，求阴影部分的面积。利用平移，把小道平移到边上，这样就把四个小块阴影部分，集中到了一起。得出阴影部分面积=（31-1）*（11-1）=300（平方米）例4：如图，直角梯形ABCD中，AB=8，CD=2，BC=8，求AD的长。利用平移，将AD移动后，组成直角三角形。由勾股定理得，AD=根号（6方+8方）=10旋转的定义在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转运动，简称旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 旋转的基本性质（1

7、）旋转变换不改变图形的形状、大小(旋转前后的两个图形是全等形)，但是方向和位置发生变化。 经过旋转，对应线段相等（即不改变图形的大小）；经过旋转，对应角相等（即不改变图形的形状）；(2)旋转的三要素：旋转中心；旋转方向；旋转角度。 注意：三要素中只要任意改变一个，图形变换的结果就会不一样。 (3)对应点到旋转中心的距离相等。（可联想到扇形，等腰三角形）。（4）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。（5）对应线段所在直线的夹角等于旋转角。 （6）绕同一个定点多次旋转相当于一次旋转。（7）偶数次轴对称（对称轴交于一点）后的图形等于旋转后的图形。 旋转的画法：一般旋转没有什么特别的画法，就是根据

8、旋转的定义画。旋转对称图形把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。（ 0度< 旋转角<360度）。常见的旋转对称图形有：线段、正多边形、平行四边形、圆 等。 例（1） 正多边形都是旋转对称图形，偶数边的正多边形还是中心对称图形。正多边形最小旋转角等于360°除以边数。 例（2）线段、长方形、平行四边形、圆是中心对称图形；等腰梯形不是旋转对称图形。 注：所有的中心对称图形都是旋转对称图形。 圆的旋转角为任意角。旋转的思维作用:旋转与平移一样，可以将一个角,一条线段,一个图形移动到另一个位

9、置,使分散的条件集中到一起,使问题得到解决。旋转常与旋转对称图形有关，而且由于旋转时“对应点到旋转中心的距离相等”，所以等腰三角形也会使用到旋转。（对于等腰三角形，也可以看是线段旋转而构成两腰。）再由等腰三角形拓展，当图形中出现两条线段长度相等地，且有一个公共端点，则可能使用旋转方法。例1：等边三角形ABC中有一点D，使得DA=3，DC=4，DB=5，求角ADC分析：由3，4，5很容易想到勾股定理，可是它们并不在一个三角形中，怎么办？旋转呀！将三角形ABD绕点A旋转60度到三角形ACE。则三角形ADE是等边三角形，角ADE是60度，DE=AD=4，又CE=BD=5得角EDC=90度最后得角AD

10、C=90度+60度=150度。*例2：如图，B在AD上，三角形ABC和BDE都是等边三角形，请说明CD和AE的关系。分析：CD在三角形CDB中，另两边CB和BD分别是两等边三角形的边。同样，AE在三角形AEB中，另两边AB和BE分别是两等边三角形的边。且有一个公共点B。可用旋转说明，三角形ABE绕点B旋转60度，可得到三角形CBD，所以，AE=CD。*例3：如图，正方形ABCD中，E在BC上，F在CD上，BE+DF=EF，求角EAF。分析：条件中BE+DF=EF，而BE和DF不在一起，应该想办法移到一起，而正方形邻边相等，正好做旋转。将直角三角形ADF绕A旋转90度到三角形ABP，则角PAF=

11、90度，PE=EF，AP=AF即三角形PAE与FAE成轴对称，得角EAF=90度/2=45度。*例4：如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，角ABC+角AED=180度，请说明AD平分角CDE。分析：此题同样是出现了有公共端点且相等的两边，也出现了已知条件中不在一起的线段BC和DE，不在一起的角ABC和角AED，利用旋转。将三角形ADE旋转到三角形AFB，得FC=CD，AF=AD，进而得角ADC=角AFC=角ADE从而说明AD平分角CDE。中心对称把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中

12、心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。中心对称是旋转的特殊情况，旋转角是180度，正好成一条直线。中心对称可以简称为点对称，轴对称可以简称为线对称，一般说“对称”，就是说这两种情况。中心对称的性质关于中心对称的两个图形是全等形。 即对应边相等，对应角相等。关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（轴对称是垂直平分） 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。（又是平行且相等，不过，与平移不同的是，对应线段的方向是相反的。） 中心对称的画法一是根据定义画。即用旋转的方法。但由于180度的特殊性，不使用量角器即可画出。1、从要素点开始，连接

13、对称中心，并延长，在延长线上取要素点的对称点。对称中心是要素点和对应点的中点。2、用上1 方法，画出所有要素点的对应点。3、连接对应点，画出中心对称后的图形。二、根据中心对称的性质画。（只适用于由直线或线段组成的图形）1、用“一“的方法画出一个“要素点”的对应点。2、用画平行线的方法，画出所有的对应线段或直线。（注意：方向相反）中心对称图形在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。中心对称图形与轴对称图形、旋转对称图形一样，都是描述图形的整体特征对称性的。我们在观察或描述一个图形时，首先要看整体，即对称性

14、；再分别看边、角、对角线等。中心对称图形的性质中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分。（对称中心是中点，所以，中心也就可能成为对称中心。） 过对称中心的任意一条直线，可以把图形分成全等的成中心对称的两个图形。（包括面积相等哦。）常见中心对称图形矩形，菱形，正方形，平行四边形，圆,正（2N）边形（N为大于1的正整数），线段，直线等。此外，以后要学的函数图像中，反比例函数的图像双曲线是以原点为对称中心的中心对称图形。实际上，除了直线外，所有中心对称图形都只有一个对称点。注意：正偶边形是中心对称图形，正奇边形不是中心对称图形 。说下语文某对称（包括中心对称、轴对称等），是说两个图形之

15、间的关系。某对称在使用时，应该说：两图形“成”某对称，或者，两图形“关于某点（或某线）”对称。*某对称图形，是说一个图形的整体特征。某对称图形在使用时，应该说：图形是某对称图形。*从以上可以看出，某对称图形是名词，而某对称是形容词，并引申为动词。中心对称的思维作用中心对称与旋转、平移一样，可以将一个角,一条线段,一个图形移动到另一个位置,使分散的条件集中到一起,使问题得到解决。中心对称图形中用到中心对称就不多说了。在下一章“平行四边形”中，会经常用到。由于对称中心平分对应点之间的连线，即对称中心是两对应点的中点，所以，当题目条件中出现中点时，可使用中心对称。如果题目已出现平行，则可选非平行线的

16、中心做对称中心。由于对应线段平行且相等，使用中心对称时，所用辅导线就是平行线。由于过对称中心的任意直线将中心对称图形分成全等且成中心对称的两部分。所以，涉及面积平分，也使用中心对称，不过这时是找对称中心。例1：梯形的面积公式就使用了中心对称。因两底平行，利用腰上的中点做中心对称。可以变成平行四边形，平行四边形的底是梯形的（上底+下底）/2。可心变成三角形，三角形的底是梯形的上底+下底。都得到梯形面积公式：（上底+下底）*高/2而且第一种，还得到梯形中位线公式。（这在以后会学到用到。）*例2：如图，BC平分EF，BE=CF，试说明AB=AC。条件中的BE=CF，两线段没有直接关系，得移动，再加上D是EF中点，选择中心对称。做EG平行AF，交BC于G，因中心对称，得EG=CF=BE然后你就会说明AB=AC了。*例3：如图，将类似L型的图形面积平分。把图形用割或补的方法，变出两个中心对称图形，再取两个对称中心，过两对称中心的直线，将图形面积平分。如果你观察细心，你会发现什么？不错，符合要求的三条直线L1、L2、L3都交于一点。而且过这一交点的所有直线都可以将图形面积平分。因为这一交点，就是该图形的重心。关于重心，在这就不多说了，